三斜求积术:从三角形到单纯形
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发布时间：2024-10-24 01:30
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时间：2024-11-19 08:51
故事从著名的海伦－秦九韶公式开始，探讨如何计算三角形的面积。易得两个公式等价，于是问题自然浮现：如何将结论推广到高维情况？定义内积空间与单纯形，问题转化为已知顶点间距离，求单纯形大小。引入平行形概念，定义为内积空间上的集合。二维与三维对应情况为平行四边形与平行六面体。
设集合为顶点，诱导 Lebesgue 测度，则有如下命题：平行形大小为，则有，其中 Gram 矩阵。证明过程涉及 Lebesgue 测度与行列式性质，Gram-Schmidt 正交化保持不变。对于任意，有。运用行列式性质，证明类比三角形与四面体不难。
记向量，矩阵为伴随矩阵。注意到对行列式第一行、第一列展开后，每一项都是的代数余子式。代入得到。
进一步讨论求出维单纯形内（旁）切球的半径，以及该单纯形外接球半径的方法。将外接球球心加入顶点构成点集合，且到每个顶点距离都为。这 个点构成维单纯形，体积为。故有。最终解得。
通过上述方法，得到了海伦－秦九韶公式的又一等价形式。将外接球球心加入顶点，构成维单纯形，体积计算得出外接球半径。整个过程揭示了从三角形到单纯形的计算方法，以及高维空间中球体与单纯形的关系。
