立体几何

1. 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

1. （1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积 为a2,从而只要算出四棱锥的高就行了.

PB面ABCD,

∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB， ∴PA⊥DA，

∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角， ∠PAB=60°.

而PB是四棱锥P—ABCD的高，PB=AB·tg60°=3a,

133 3aa2a.

33（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与PCD恒为全等三角形. 作AE⊥DP，垂足为E，连结EC，则△ADE≌△CDE，

AECE,CED90,故CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角.

设AC与DB相交于点O，连结EO，则EO⊥AC，

V锥 2aOAAEADa. 2

222AEEC(2OA)(AE2OA)(AE2OA) 在AEC中,cosAEC0. 22AEECAE 故平面PAD与平面PCD所成的二面角恒大于90°.

2 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，

3，D为AB的中点. 2（1）求证：AB1⊥平面CED；

（2）求异面直线AB1与CD之间的距离； （3）求二面角B1—AC—B的平面角.

2. （1）∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=900，∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1， ∴AB1⊥平面CDE； （2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE ∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1 C1∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段

A1B132∵CE=，AC=1 , ∴CD=.

221∴DE(CE)2(CD)2；

2CE（3）连结B1C，易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,

C点到AB1的距离为CE=

A

1

DB∴∠B1CB是二面角B1—AC—B的平面角.

3在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

20

∴∠B1AC=60

12， ∴BB1(AB1)2(AB)22, ∴AB12cos60BB12 , ∴B1CBarctg2. ∴ tgB1CBBC

3. 如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。 3. （1）取A1C1中点F，连结B1F，DF，∵D1E分别为AC1和BB1的中点，DF∥AA1， DF=（1/2）AA1，B1E∥AA1，B1E=（1/2）AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F为平行四边形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1内，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1B1C1

（2）连结A1D，A1E，在正棱柱ABC—A1B1C1中，因为平面A1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1与平面ACC1A1的交线，又因为B1F在平面A1B1C1内，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1为二面角A1—DE—B1的平面角。并且∠FDA1=（1/2）∠A1DC1，设正三棱柱的棱长为1，因为∠AA1C1=900，D是AC1的中点，所以

220DC1,A1D,A1DC1900,FDA145,即为所求的二面角的度数。

22AA1

D

C1 CBB1 E4．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。

（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； （II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论 4．（I）连结DF，DC ∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC ∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C 3＇

∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，

在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，DC12＝CC12＋DC2＝10a2，

FC12＝B1F2＋B1C12＝5a2， ∴DC12＝DF2＋FC12，∴DF⊥FC1

FC1⊥EF

（II）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角 在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝3·5a＝15a，

∴15a＞3a，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上

2

故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角。 5.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱

，E是PC的中点，作交PB于点F。

(I)证明 平面； (II)证明平面EFD； (III)求二面角的大小。 5.：

(I)证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，。 而平面EDB且平面EDB， 所以，平面EDB。 (II)证明：底在ABCD且底面ABCD， ① 同样由底面ABCD，得

底面ABCD是正方形，有平面PDC 而平面PDC，② ………………………………6分 由①和②推得平面PBC 而平面PBC， 又且(III)解：由(II)知， 由(II)知，

，所以平面EFD ，故是二面角

底面ABCD，

的平面角

，则

设正方形ABCD的边长为

在

在

中，

中，

所以，二面角

的大小为

3