(完整版)平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量复习

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。 向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

uuuruuurAB（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是uuur)；

|AB|（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定：

零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

uuuruuurr AC共线； ③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A、B、C共线AB、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，

rrr则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的

坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

r3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有

r且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。

4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：

rr1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当

rr＝0时，a0，注意：a≠0。

5、平面向量的数量积：

uuurruuurr（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB0称为向量a，

时，a，b垂直。 2rr（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与

rrb的数量积（或内积或点积），记作：a•b，即a•b＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积

b的夹角。当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝

是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

rrrab（3）b在a上的投影为|b|cos或r，它是一个实数，但不一定大于0。

|a|r（4）a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：

rrrr①aba•b0；

rrrrr2rrr2rr2b同向时，a•b＝ab，a•b＝－ab；②当a，特别地，当a与b反向时，aa•aa,aa；

rrrr b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a•b当为锐角时，a•b＞0，且a、rrrr b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件； ＜0，且a、

1

rrrrrrab③非零向量a，b夹角的计算公式：cosrr；④|a•b||a||b|。

ab6、向量的运算：（1）几何运算：①向量的加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”

uuuruuurruuurr只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量ACrruuuruuuruuurrr叫做a与b的和，即abABBCAC；②向量的减法：用“三角形法则”：设uuurruuurrrruuuruuuruuurABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量

与被减向量的起点相同。

rr（2）坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

rr①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。

ruuur②实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，

即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

rr④平面向量数量积：a•bx1x2y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－

311，0）。（1）若x＝，求向量a、c的夹角；（2）若x∈[,]，函数f(x)ab的最大值为，

84231o求的值（答：(1)150;(2)或21）

2rrrr2r22o222；⑤向量的模：|a|xy,a|a|xy。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么uurr|a3b|＝_____（答：13）；

⑥两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则|AB|x2x1y2y1。

rrrrrrrrrr7、向量的运算律：（1）交换律：abba，aa，a•bb•a；

22rrrrrrrrrrrrrrrrrr(2)结合律：abcabc,abcabc，a•ba•ba•b；

rrrrrrrrrrrrrr（3）分配律：aaa,abab，ab•ca•cb•c。

提醒：

（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)(a•b)c。

rr2rr2rrrr8、向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)(|a||b|)x1y2y1x2＝0。

rrrrrrrr9、向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab| x1x2y1y20.

10.线段的定比分点：

uuuruuurPP2，（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数 ，使PP1uuuuruuuur则叫做点P分有向线段PP12所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为的定比分点；

（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时>0；当P点在线段 P1P2的延

uuuur长线上时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；若点P分有向线段PP12所成的比

uuuur1为，则点P分有向线段P所成的比为。 P21uuuur（3）线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的比为，则

2

x1x2xxx12x21，特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式yy1y2。在使用定比分点的坐yy2y121标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。11.平移公式：如果

rxxh点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y)，则； yykr曲线yfx按向量ah,k平移得曲线ykfxh.

12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）

rrrrrr||a||b|||ab||a||b|，（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，重心坐标

uuuruuuruuuruuurx1x2x3y1y2y31G,。②PG3(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地

33uuuruuuruuurruuuruuuruuuruuuruuuruuurPAPBPC0P为ABC的重心；③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；④向

uuuruuurACABuuruuur)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；量(u|AB||AC|uuuruuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuur⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；（4）向量PA、B、C共、 PB、 PC中三终点Auuuruuuruuur线存在实数、使得PAPBPC且1.

1．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 2．下列命题中，一定正确的是 A.C.

≥

B.若 D.

，则

，则四边形

3．在四边形中，，

A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 4．若向量=(cos

,sin

)，=(cos－

,sin

)，则a与一定满足（ ）

A．与的夹角等于 B．(＋)⊥(－) C．∥ D．⊥

5．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则 （ ） A.⊥ B.⊥(－) C.⊥(－) D.(＋)⊥(－)

已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则 （ ） A ⊥ B ⊥(－) C

⊥(－) D (＋)⊥(－)

6．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点（2，－1），（－1，3），若点满足其中0≤ A. C.

≤1，且

，则点的轨迹方程为

（－1≤

≤2） B.

（－1≤

≤2）

D.

7．若，且，则向量与的夹角为 ( ) A 30° B 60° C 120° D 150°

3

8．已知向量（，），（，），与的夹角为，则直线

与圆

A.相离 B.相交 C.相切 D.随

的位置关系是（ ）

的值而定

的值为（ ）

9．在△ABC中，已知

A．－2 B．2 C．±4 D．±2

10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为( ) A （－2，4） B （10，－5） C （－30，25） D （5，－10） 11．.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有A 2 B

C －3 D －

等于 ( ）

12．为了得到函数y＝sin(2x-A 向右平移

)的图像,可以将函数y＝cos2x的图像 ( )

个单位长度

个单位长度 B 向左平移

C 向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．） 13．已知向量14．直角坐标平面__________．

中，若定点

与动点

，且A、B、C三点共线，则k=_ __

满足

，则点P的轨迹方程是取得最小值的点P的坐标

； ②为单位向量，且∥，与

共线，则

与

共线；⑤若

15．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x运动，则使是 ． 16．下列命题中： ①∥则

=±|

|·

；③

存在唯一的实数

； ④

与

，使得共线，

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应有证明过程或演算步骤） 17．已知△ABC中,∠C＝120°，c=7,a+b=8,求18．设向量

的坐标．

19．已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，

sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y =

·

(O是坐标原点)(1)

，向量

的值。 垂直于向量

，向量

平行于

，试求

求y关于x的函数关系式y=f(x)； (2)若x∈[0，可由y=2sin(x+

]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象

)的图象经过怎样的变换而得到．

，满足向量

都在斜率为6的同一条直线上。若

。求

4

20．在平面直角坐标系中,已知共线，且点

与向量

(1)数列的通项 (2)数列{}的前n项和

)。

21．已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α((1)若22．已知向量 (1)

; (2)若，求角α的值； (2)若

=－1，求

的值.

（3）求函数

的最小值。 5