第37卷第15期
JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCK
Vol.37 No. 15 2018
复杂边界条件板壳耦合结构振动分析
代
路
林
原
胜
柳
勇白
凡
吴君杨铁军2
(.武汉第二船舶设计研究所热能动力技术重点实验室，武汉
1
430205;
2.哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，哈尔滨150001)
摘要：板壳类结构在工程领域被广泛应用，使得板壳耦合结构动力学特性成为备受关注的研究话题。针对现有 研究方法在复杂耦合结构动力学特性分析方面的局限性，构建复杂边界条件下板壳耦合结构振动分析模型，采用二维改 进傅里叶级数对弹性板和圆柱壳结构各位移函数分别进行描述，复杂边界条件通过不同组合的弹性约束来模拟，并依赖 四类耦合弹簧充分考虑结构之间弯矩、横向剪力、面内纵向力以及面内剪切力的机械耦合效应，进而基于哈密顿原理和瑞 利-里兹方法得到板壳耦合结构系统的特征方程与振动响应。研究结果表明，该方法预测板壳耦合结构模态参数优于文 献结果，预测强迫响应结果与测试结果吻合良好，验证了该分析方法的正确性。建立的板壳耦合结构分析模型可适用于 各类复杂边界条件，无需重新进行理论推导和计算程序编写，是一种可靠而高效的分析手段，可为开展复杂耦合结构的振 动分析与动力学设计提供通用性的分析模型基础。
关键词：板壳耦合结构'改进傅里叶级数；复杂边界；振动分析中图分类号 # O327
文献标志码：A
DOI：10. 13465/j. cnki. jvs. 2018.15.037
Vibration analysis for pltite-shell coupled structures under complex boundary conditions
(1. Science and Technology on Thermal Energy and Power Laboratory，Wuhan Second Ship Design & Research Institute，Wuhan 430205，China； 2. College of Power and Energy Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)
Abstract:
DAI Lu1LINYuansheng1LIUYong1，BAI Fan1WUJun1YANGTiejun2，，，，Plate-shell coupled structures are extensively applied in practical engineering fields. The dynamiccharacteristics of plate-sliei coupled structures become a study topic receiving many attentions. Hfor vibration of plate-shell coupled structures under complex boundary conditions was consplate-shell coupled structure system was described with two-dimensional improved Fourier series. The conditions were simulated with different combinations of elastic restraints. 4 types of fully consider mechanical coupling effects among bending moments， transverse shear forces， in-plane longitudinal forces and in-plane shear forces on structures’ interfaces. Furthermore，based on Hamilton ’ s principle and Rayleigh-Ritz method，the characteristic equation of the plate-shell coupled structural system was derived and thesystem vibrationresponses were gained. The study results showed that the correctness of the proposed method is verified through comparing the calculated results using the proposed method with those published in literatures and tests; the established analysis model for plate-shell coupled structure systems here is applicable to various complex boundary conditions，and it is areliable and effective analysis means; the results provide an analysis model basis for vibration analof complex coupled structures.
Key words ： plate-siiel coupled structure; improved Fourier series; complex boundary ； vibration analysis
由于具有结构和力学等方面的优良性能，板壳类 结构在船舶、航空航天以及化工等工程领域中得到了 广泛应用，因此开展此类结构的动力学特性研究具有 重要而普遍的意义。在很多场合中采用单一板或壳模 型对实际结构进行描述显得过于简化，为使所建立的
基金项目：国家自然科学基金青年基金(51509192)
收稿日期：2016 -12-08修改稿收到日期：2017 - 04 - 23 第一作者代路男，博士，高级工程师,1982年生
分析模型更为接近实际，往往需要考虑板壳结构的耦 合形式，如飞机机身以及水下舰船的主体结构等均由 板与壳这些基本结构组合而成。普遍认为，对板壳耦 合结构进行准确建模是深入开展相关理论研究的关键 所在，其与数值方法相比，有利于获得描述板壳耦合结 构动力学特性的全面信息，进而深层次揭示板壳耦合 结构的各种动力学行为机理。
近年来，国内外学者们围绕板壳类耦合结构的动
第15期
代路等#复杂边界条件板壳耦合结构振动分析
271
力学理论建模以及分析方法开展了大量研究工作[1_12]。 Peteurn等采用扩展的瑞利-里兹法获得了内部带有纵 向底板圆柱壳自由振动的解析解，然而他们所建立的 研究模型只适用于简支边界条件，原因是仅在简支边 界下描述壳结构位移方程中的轴向模态函数才是准确 的。Langley等为了研究飞机机身的全局振动，采用一 种动态刚度技术分析了带底板圆柱壳的振动问题，该 方法是基于边界简支的正交曲壳单元的近似方法，加 强底板部分被平摊于壳单元之中，通过哈密顿方程使 其近似满足圆柱壳的振动微分方程及边界条件，进而 本文将采用改进傅里叶级数方法建立复杂边界条 件下弹性板-圆柱壳耦合结构振动分析模型，充分考虑 二者结构连接处各种内力和力矩的相互耦合作用，基 于能量原理并结合瑞利-里兹方法分析复杂边界条件下 壳 合
力学 性。
过 本文方法计 由
求
的
果 性以
与现有文献结果以及有限元结果进行比较，验证本文
方法 于 壳 合
及复杂边界的适应性。最后，开展了相关的实验研究， 通过与试验测试结果对比进一步验证本文分析方法对 于板壳耦合结构强迫振动预报的正确性。
获得动态刚度矩阵和单元的载荷向量。其研究结果表 明，Langley等与Peterson等的结果存在较大偏差，且平 板距离中心越远，偏差越大。Huang等采用位移导纳法 开展了带圆形隔板的边界简支圆柱壳振动问题研究， 其中圆形隔板可处于轴向任意位置;YB等将此问题 延伸到悬臂边界条件。之后，L
e等把该方法拓展到带
有内部平板的圆柱壳以及层状复合型圆柱壳的自由振 动分析中，然而文献[+ ]在频率方程的简化过程中忽略 了由动态力矩产生的面内位移以及法向转角，导致其 数值仿真结果与有限元以及测试结果相比吻合程度
。
在结构的特定区域将子结构单独来处理，采用约 束方程来加强子结构之间的动力学协调关系，这种处 理方式经常被用来求解加强壳体的振动问题（比如环 肋和加筋壳体），以及不同类型壳体之间的连接问 题[13C4]。Wag等采用子结构法研究了板壳耦合结构 系统的功率流特性，其中板壳耦合结构之间包括保守 和非保守的耦合条件，但其外在边界条件受限于简支 边界。模态耦合方法中采用子结构模态分析复杂结构 模态[15_16]的基本思想亦如此。然而，这类方法的求解 均存在一定程度的模型误差，而且受限于特定的边界 条件形式。
吴仕昊等采用半解析区域分解法分析了一般边界 条件下圆柱壳-圆柱壳-球壳组合结构的自由振动，通过 将计算结果与有限元法计算结果进行对比，验证了该 方法 类型壳体 合 由 的 性和计算精度，进而分析了组合壳体长径比及厚径比对 其自由振动频率的影响。
综上所述，现有针对板壳类耦合结构以及类似结 系统的 力学 型均存 的局 性， 且考虑了一些经典边界条件，然而，在实际工程中将会遭 遇各式各样的结构边界形式。事实上，边界条件对于 结构的动力学特性具有重要影响[17]，并且在一定条件 下结构边界条件的影响可能比结构参数本身更为敏 感[18]。因此，此类问题的研究极大地受到研究模型和 结构边界条件的制约。
1
板壳耦合结构分析模型及理论推导
弹性板-圆柱壳耦合结构的示意图和坐标系统如图
1所示，其中:.s，W，P和.c，W，P分别表示圆柱壳体与
弹性板的轴向、切向和横向位移;$表示弹性板与圆柱 壳的耦合角;K，'，％分别表示圆柱壳半径以及周向和轴 向位移变量。其中，下标带“s”和“C”的符号分别表示
壳和 性 相
的 量。
Fig. 1 Schematic illustration of an elastic plate-
cylindrical shdl coupled structure
1
?
边界建模
首先，对弹性板-圆柱壳耦合结构各自的外在边界 情况进行描述，其建模如图2所示。
如图2所示，分别在圆柱壳与弹性板两端边界上 施加四类连续分布的弹簧约束，S卩轴向、切向、横向的 线性弹簧约束和横向的旋转弹簧约束。采取了这样的 边界建模处理之后，则能轻松解除复杂边界条件对于 板壳耦合结构振动分析的制约，本文中所提的复杂边 界条件情况均可通过调节各类弹簧支撑刚度值的大小
边界
， 如，
所
的
刚 值为
大或者零则可分别模拟固支和自由的边界条件，并采 用两套改进傅里叶级数分别统一描述各种边界条件下 圆柱壳和弹性板结构的位移场函数，而不需要像以往 重新构建位移场函数的形式去适应不同的边界条件。
弹性板-圆柱壳耦合结构的耦合边界建模如图3所 示，弹性板分别在圆柱壳周向角'=2)
- $
和'=$的
位置与圆柱壳相连接。在两条耦合边界上，分别设置 四类连续分布的耦合弹簧A#，1，Aj，1，A〇，1，Hv，1 (下标
272振动与冲击2018年第37卷
式中:Am k G)/3，t =0，1分别为对称模态和反对称模 态的位移级数，面内和面外位移的辅助函数\"和2与 图2弹性板-圆柱壳耦合结构的各自外在边界建模
Fig. 2 Modeling of boundaries for an elastic plate-
cylindrical shell coupled structure
带“c”表示耦合 ，以别于边界上布置的约束弹)，这类
考虑
合边处的面内纵向波、剪切波、横弯曲波（包括横 力和横向弯矩产
生的弯曲波）的合效应。类于
边界条件的，过 这
性耦合的
边界连接模型，即方便地
各种复杂的
合条件，如刚性耦
合、铰接以及其它形式的耦合条件等。
图Fig. 3 3弹性板Modeling of coupling boundaries for an elastic
-圆柱壳耦合结构的耦合边界建模
plate-cylindrical shell coupled structure
! 2
位移级数描述
采用两套改进傅里叶级数分别 壳和弹性板振动的位移场函数 。首
，
性约束边界下的
壳
移，
壳的
、切和横向
位移形式描述如下.s = %
%
( % \"mn COS Am1 > 2 t& «1 ( l) + hTn «2 ( l) ) U
cos ( n' - t( )/2) ) ( 1)
1 I IWs = %% ( % B (2) Ps = %t =0 %n =0 ( m%=0 0mncs Am1 +Ln^1 ( l) +/Tn^2 (l) + ( l) ++1tu2a ( l) ) Cos ( n' - T( b/2 ) ) ⑶ 文献[19]的形 % 于弹性 言， 、切向和横向位移分别表 示成如下的形 .f 9 m% = 0 &% ' =0 Afm'n'cs Am^C〇s Ahn] >'m% ( 21fm \"lb( > h1fm' \"2b( r)) cs Am ^ 1 >I= 0n% = 0 +S1/n，\"2(1))c〇s AhnJ (4) Wf = m% %B/m'n'CI = 0 n = 0〇S Am,ics AhnJ +m% = 0 ( L1fm' \"1b( J ) >hfm' \"2b( J)) cs Am ^ 1 > n% = 0 ('1/n，\"1(1) +11/n，\"2(1))CoS AhnJ ( & ) Pf = m% = 0% n = 0 0 m]，C〇s Am，XCOS AhnJ+ m% = (220 /m，/21“r) + h2/m ; 22b( j) + C2fm' 2'b( j) + S2/m '24b( j)) Cos Am ; 1 + In% = 0 (e2/n,/21(1) + /2/n ^2 ( 1) + '2/n ^3 ( 1 ) + 12/n，/24(1))C〇s AhnJ ( + ) 式中:Ahn, 二：)^^^-1)2;\"^:^) kr2,h (r/h-1)。为区别于 壳， 性的位移级数序 数采用m'和n表示。 !3构造 构系统特征方程 哈密顿原理是 力学的基础，它依赖于牛顿 定律，提供了 新的方法表述物理系统 律。于 壳 言，基于Flligge壳体理论， 的势 能项Y和动能项/表达式为 6: 厂3厂2)厂2 Y =2(1 -,2)J0J0 1 —, 2+ —^L')KdV'd1 + 1 r2) 2 2 2 yj0 (ad，1.2 +a ，1W +a;，1p2 + H;，1 ( ) 1=0，/Kd' (7) Is = 2 J 0而 . P人（（&./&02 > (&W/&02 +(&ps /dt)2)Kd'd1 ( 8 )式中:v为壳体 单元距离中性表面相 ；1 为壳体厚度;6，4，，s分别为壳体材料的杨氏模量、质 量密度和 ；L_，l和分别为壳体中任意微小单元轴向、周向应变和剪应变[20]。 对于弹性板结构而言，总的势能项Y可以分为与 面内振动和面外振动相关的两部分Yf*n和Y-ot。 第15期代路等：复杂边界条件板壳耦合结构振动分析273 (16) Y*7，Y*_以及动能/的表达式可分别描述为如下的 形式 式中:+f = [C (#f - (2Msf)+f = 0 >1 C? H? >?]T为圆柱壳与弹 Y-；n 2(1 - ,f)1 ~ ,)dydx2 dy E{h{ r3f r_ 2 + 2,f Sfx£{yy+ 性板各类傅里叶展开系数的列向量;#1和Msf分别为系统 总的刚度矩阵和质量矩阵。 (AfO，1.f +AfJ，1Wf)i=0,3f 系统的特征方程式(16)是关于45类傅里叶级数展开 系数的线性方程组。通过求解这个特征方程组，即可得到 弹性板-圆柱壳耦合结构的模态参数。其中，每一个特征 值以及傅里叶空间的每一组特征向量都与親合结构系统 (9) Eh 广. Yf - out 24(1 - V 〇 0 > —2 ±flfy) drdi > 1 rb Y. (Af0，1p2 > HV，1(&Pf’&y)2)y=0,3f dy (10) 1 Jf rb / = 72 J1 0而 | pfhf((&%/&)2 > ( 2 > (2) u dJ dy (11)式中:hf为平板厚度;Ef，，4，,分别为平板材料的杨氏模 量、质量密度和泊松比;6fy，6j和6fy分别为与弹性板面内 振动有关的应变量; I 6fy，6'，6fy 2 dv{ duf &^fj ，&y，&y &y J (12) I &2p &y2，&y2 (13) 在弹性板-圆柱壳親合结构中，^.者在相互连接的部 位存在强烈的机械耦合作用。传统求解方法往往通过建 立约束方程来实现各自结构在连接处的位移协调性，包括 位移连续和转角连续性条件。为建立弹性板和圆柱壳结 构之间的机械耦合关系，本文中依赖于被设置于壳体和平 板公共边的四类耦合弹簧，使连接处圆柱壳和弹性板结构 的位移不再需要严格满足位移协调关系，而是通过二者结 构之间的耦合效应将机械能量存储于耦合弹簧之中，传统 方法中的位移约束方程则转化成哈密顿原理中新增的弹 性势能项。具体来讲，新增的弹性势能可描述为 Y =_^I 〇af { Ac*0，1 ( ( uf ~us) ly=0，1；0 =2)-$，$) j AJ，1((Wf ' ly=0，1;0=2)-$，$)2 + AV，1( (Pf '+W1n ' ly=0，1;'=2)-$，$)2 + HV，1( ( &VJ - ( -〇?) Iy=0，1;'=2)-$，$)2}dy (14) 通过上述所列势能项和动能项构建弹性板-圆柱壳耦 合结构系统的拉格朗日函数，其表达式为 $ = Y > Yf-in > Yf-ut > Y - / - / (15) 联立上述的所有方程，通过哈密顿原理对所有未知的 傅里叶级数展开系数求变分，即可获得弹性板-圆柱壳親 合结构系统的瑞利-里兹解。系统最终的特征方程写为如 下的矩阵形式 的固有频率和物理空间的模态振型信息一一 X#应。 ! 4结构振动响应求解 求解板壳^合结构的振动响应，需将外力所做的功引 入到整个耦合结构系统的f疆描述方程中，通过应用哈密 顿原理，弹性板-圆柱壳耦合结构振动响应的求解则可以 依赖下面的表 得 (#1 - «2Msf)+f = $ (17) 为了求解上面的方程，只需将外部激励力按位移傅里 叶级数的形式对应展开。当外部作用力为点力时，可简单 借助于狄拉克Delta函数。以横向点力作用在弹性板上为 例，外部激励力向量可表示成如下的形式 $ = {0 0 0 0 0 $fw}T (18) $„ = {$L $6t <}(19) 式中:各个子向量可参考描述弹性板横向位移的改进 傅里叶级数得到，其形式不再具体给出。 最终，弹性板-圆柱壳耦合结构的振动响应通过求 解描述各自位移的改进傅里叶级数展开系数得到 = (#f -«2Msf) -1 $ (20) 2 计算结果与分析 2.1自由振动 首先，考虑刚性親合条件下的板壳耦合结构，假定 弹性板和圆柱壳均为简支边界条件，二者的耦合角度 为' = 115°。在仿真计算中，为了限制过多的变量数 目，现设定带底板圆柱壳耦合结构的几何参数和材料 属性分别为:3 =3f =3 = 1. 27 m，hs=hf =0. 005 08 m， ,=,f = 0. 3，ps = pf = 7 500 kg/m3，K = 0. 254 m，Es = Ef=2x10u N/m2。表1中列出了简支边界条件下板 壳親合结构的前四阶对称模态（S)和反对称模态（A) 的无量纲固有频率参数。 通过对比，可以发现表1中所列本文方法计算的 结果均比文献三种方法的计算结果更吻合于有限元结 果。其中文献[1]的结果偏差较大，尤其是第一阶对称 模态，这是因为所采用的方法中位移协调性条件存在 一个约定性的错误，这一点文献[2]中也曾指出过。文 献[6]的结果整体上偏差也较大，这主要是因为其在处 理弹性板和圆柱壳结构公共边界的耦合效应中，仅仅 274 表1 振动与冲击 简支边界条件下板壳刚性耦合结构的频率参数比较 2018年第37卷 Tab. 1 Comparison of frequency parameters for a plate-shell rigidly coupled structure with simply supported boundary conditions 模态形 FEM 1;2；3S4；1A2A3A4A 0.032 20.071 30.095 00.116 10.060 50.078 00.101 90.129 2 w 文献[1]0.036 70.069 30.093 90.117 00.062 50.082 80.103 00.133 0 (槡 偏差/%3.7270.2810.8420.9470.1653.2053.0422.941 偏差/%13.982.8051.1580.7753.3066.1541.0792.941 文献[5]0.033 40.071 50.095 80.115 00.060 60.080 50.105 00.133 0 文献[6]0.030 60.067 00.088 30.112 80.058 90.077 40.096 10.127 7 偏差/%4.96 96.0317.0532.8422.6450.7695.6921.161 本文0.032 90.071 40.095 50.116 30.060 50.078 10.103 60.130 2 偏差/%2.1740.1400.5260.17200.1281.6680.774 考虑了壳体的横向位移、弯矩分别与弹性平板面内的 法 移、弯矩之间的相 移 性板横 合效应， 了壳体切 移的 移，以及二者之间 。由此 数的求 耦合作用。相 文献[6]的果偏 于板壳耦合 求 果的 言，文献[&]的结果要比文献* 1 ]和 ，相现有文献果，本文方法它边界条件 性更加值得信赖。 为自由边界，另为悬臂边界），性合边上纵向和横向弹和旋转弹簧的约束刚度 合 的 为 为验证本文方法对于板壳耦合 的适应性，改变边界条件使 为固支边界（即整 壳为弹性耦合 簧刚度值 值 为106，切 整 性 为 107 ， 合 ， '=90°。表2 举了悬臂条件下板壳弹性耦合前十阶 的 频率。从表 以看出，本文方法的 果 果相 偏 ， 偏 $1.023J。图4 制了板壳弹性耦合 悬臂条件下 阶模态的振型图，可以看出，由于弹性壳 之间 是刚性耦合，二者 机械耦合作用弱， 阶 型者 合 形相 ，主要变现为 的 型 变化。 强迫振动为了 板壳耦合 合 的动力学特性开展相 的实验装置和 本实验装 步验证本文求解方法对复杂边界条件下 方法的 验 性， 壳 ，板壳合 ，支壳，为于 (e)第五阶 （f)第六阶 图4悬臂边界条件下板壳弹性耦合结构前六阶模态振型 plate-shell elastically coupled structure Fig. 4 The first six mode shapes of a clamped-free supported 验件的加工，并考虑 边界 尽量 焊接造成的薄壁 空间的局限性， 性 约束，即为由边界。需要说明的是，为 形，所焊接过程均 依 采取间隔点焊，实验装置整体装配完 应测试系统如图&中所示。 完成焊接。板壳合 的 数为： 壳 0.262 m、厚 4.15 mm，弹性厚度4. 55 mm，耦合 11)，耦合 为板壳耦合结构的边界支撑 螺 ，如此 长度1 m。 别 性板和 撑结构的垂向钢板厚度为50 mm，圆柱壳 厚度为30 mm的法兰焊接，并采用24 法兰和边界支撑 合 的圆柱壳边界条 接 壳 上拾 代表性的 点和响应点。图6给出了弹性板-圆柱壳耦合 加速度响应预 果和实验 果的 线。图6 线果。 表示本文方法的预 果，虚线表示实验 为固支边界； 第15期 表$ 悬臂边界条件下板壳弹性 clamped-free supported 代路等#复杂边界条件板壳耦合结构振动分析 构的固 plate-shell 275 比较elastically Tab. 2 Natural frequencies of the first ten modes for a coupled structure 频 模态阶数-12345678910 FEM/Hz74.32390.294110.15111.89146.65149.57176.41180.17193.24197.52 本文/Hz74.65590.792110.00112.07146.38148.69176.25181.22193.35195.50 偏差J0.4470.5520.1360.1610.1840.5880.0910.5830.0571.023 ( a) ( b) 图5Fig. 5 弹性板-圆柱壳耦合结构实验装置及振动响应测试系统Experimental setup and measuring system of vibrationalresponse for the elastic plate-shell coupled structure 通过观察图中加速度频响函数曲线可以看出， 果存 大体上吻合 杂耦合 频 号 的 合 ， 之外， 应 ，主要是 方法获得的频 的预报。图 频 线线的加速 ，这进一步证明了本文方法能够对复 系统本身缺陷所造 成的，特别是加 计的灵敏度，由于低频 阻的小电荷信号非：易 «180 r—预测值 118〇「—预测值 Is 16o 142o 110 o 阁86 街 o猩 #^o ^^ o 写 ap}/^(G) (b) (6 ⑷ 图6 (e)⑴ 弹性板-圆柱壳耦合结构振动响应的预测结果和测量结果比较 Fig. 6 Comparison of the predicted and measured vibrational responses for the elastic plate-cylindrical shell structure 受到干扰，使得所采集信号的信噪 此想要 感器的灵敏 果和实验 这主要是由于预 阻尼 够 证。 果在共振频 输入的 造成的。 突出，因 ，本文方法的预测的峰值有所区别，阻尼 际结构 频段获得可靠且稳定的测试效果，需要传 3结论 本文 的 板和圆柱壳 了复杂边界条件下弹性板-圆柱壳耦合结 型，采 傅里叶级数分别 移场函数 性， ，复杂边界 条件依赖于各自边界上施加的四类约束 276振动与冲击2018年第37卷 而结构之间的机械親合效应则通过二者结构连接处所 设置的四类親合弹簧予以完整考虑。基于所建立的复 杂边界板壳耦合结构振动分析模型，借助哈密顿原理 以及瑞利-里兹方法得到整个親合结构系统的特征方程 以及親合结构振动响应。 通过执行多种算例的仿真计算，并与文献结果、有 限元结果以及实验结果相比较，验证了本文方法对于 复杂親合结构自由振动以及强迫振动计算的正确性和 优越性。相比于以往求解板壳耦合结构振动的分析方 法，本文分析方法不再局限于简单边界条件以及结构 WANG Yu， LUO Zhong. 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