高考题之分段函数

高考题之“宠儿”

近几年，高考中对分段函数的考查越来越多，分段函数已成为高考题之“宠儿”。那么高考题都以哪些形式进行考查呢？本文就以高考题为例，从如下三个方面展开讨论。 一、求分段函数的函数值

所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。显然，求分段函数的函数值重在考查分段函数的概念，求分段函数的函数值主要从以下两种类型上展开。

例1：（2011年高考陕西卷文科）设f（x）=lgx,x>010x,x≤0，则f（f（-2））= . 【答案】-2

【解析】f（f（-2））=f（10-2）=f（■）=lg■=-2

【说明】这类题型是求分段函数函数值的经典题型，求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值。f（x）是分段函数,要求f{f[f（a）]}需确定f[f（a）]的取值范围,为此又需f（a）确定取值范围,然后根据其所在定义域代入相应的解析式,逐步求解。

例2：（2009年高考山东卷理科）定义在r上的函数f（x）满足f（x）=log2（1-x）,x≤0f（x-1）-f（x-2）,x>0，则f（2009）的值为( )

a.-1 b.0 c.1 d.2

【答案】c

【解析】由已知得f（-1）=log2=1,f（0）=0,f（1）=f（0）-f（-1）=-1,f（2）=f（1）-f（0）=-1,f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0,f（4）=f（3）-f（2）=0-(-1),f（5）=f（4）-f（3）=1,f（6）=f（5）-f（4）=0,由于函数f（x）的值以6为周期重复性出现,所以f（2009）=f（5）=1,故选c。

【说明】本题作为命题看似考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算，但本质是考查分段函数的周期性，利用的方法是枚举去寻找规律。

二、分段函数与不等式

分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合思想。如果把分段函数与不等式相结合将能更好地体现这一思想方法。

例3：（2009年高考天津卷理科)已知函数f（x）=x2+4x, x≥04x-x2, xf（a）则实数a的取值范围是

a.（-∞,-1）∪（2,+∞） b.（-1,2） c.（-2,1） d.（-∞,-2）∪（1,+∞） 【答案】c

【解析】由题知f(x)在r上是增函数，因而2-a2>a，解得-2 【说明】本小题考查分段函数的单调性运用以及一元二次不等式的

求解。

例4：（2010年高考天津卷理科）设函数

f（x）=log2x x>0log■（-x） xf（-a）,则实数a的取值范围是（ ）

a.（-1，0）∪（0，1） b.（-∞，-1）∪（1,+∞） c.（-1，0）∪（1,+∞） d.（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】c

【解析】当a>0时，由f（a）>f（-a）得：log2a>log■a,即log2a> log2■,即a>■，解得a>1；当af（-a）得：log■（-a）>log2（-a），即log2(-■)>log2（-a），即-■>-a，解得-1 【说明】本小题考查函数求值、不等式求解、对数函数的单调性等基础知识，考查分类讨论的基本解题方法。 三、分段函数与方程的根

方程的根与函数的零点是一一对应的，在新课标教材中，这是一个基础的知识点，其中的含参问题目更是高考热点，解决含参问题目主要也是利用数形结合来探根。

例5：（2011年高考北京卷理科）已知函数f（x）=■,x≥2（x-1）3,x<2若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是

【答案】（0，1）

【解析】画出函数图像与直线y=k,观察,可得结果,考查了函数与

方程、数形结合的数学思想。

【说明】（1）分段函数是一个函数,只有一个图像,作图时只能在同一坐标系中,而不能将各段函数分别作在不同的坐标系中。 （2）分段函数的定义域有几段,其图像就由几条曲线组成,作图时要注意每段的自变量的取值范围,特别是不连续的函数的图像每段端点的虚实。

总之，分段函数的应用题，近些年在高考中出现的频率比较高，如2011年新课标理科卷的第19题、2011年湖北卷的第17题等应用题，限于篇幅，此不赘述。