三维周期结构弱无条件稳定时域有限差分算法

第２４卷第ｌｌ期　强　激　光　与　粒　子　束　Ｖｏ１．２４，ＮＯ．１１　２０１２年１１月　ＨＩＧＨ　ＰＯＷＥＲ　ＬＡＳＥＲ　ＡＮＤ　ＰＡＲＴＩＣＬＥ　ＢＥＡＭＳ　ＮＯＶ．，２Ｏ１２　文章编号：１００１—４３２２（２０１２）１１　２６８７　０６　三维周期结构弱无条件稳定时域有限差分算法　刘宗信　，　陈亦望　，　徐　鑫　，　刘亚文　，　孙学刚。，　张书迪　（１．解放军理工大学工程兵工程学院，南京２１０００７；　２．解放军９５９７２部队，甘肃酒泉７３５０１８）　摘要：从麦克斯韦方程出发，导出了适用于周期结构的三维弱无条件稳定时域有限差分（ＦＤＴＤ）算法　的迭代式，在理论上证明了其稳定性条件，其稳定性条件比普通ＦＤＴＤ的稳定性条件要宽松，并将周期边界条　件应用到迭代式中，得到了可直接编程迭代的方程，给出了对其特有的一类非三对角阵的解决办法。最后通过　算例将计算结果与常规ＦＤＴＤ及ＡＤＩ—ＦＤＴＤ计算结果比较，验证了算法的精确性和有效性。　关键词：周期结构；　弱无条件稳定；　时域有限差分；　交替方向隐式　中图分类号：　０４４１　文献标志码：　Ａ　ｄｏｉ：１０．３７８８／ＨＰＬＰＢ２０１２２４１１．２６８７　时域有限差分（ＦＤＴＤ）方法具有方法简单、适用性强等优点，已被广泛应用　。然而，由于常规ＦＤＴＤ算　法的时间步长受稳定性条件的限制，而时间步长的选取是由最小空间步长决定的［１］，这样小的步长会使迭代步　数和模拟时间增加。ｌ９９９年，Ｔ．Ｎａｍｉｋｉ提出了一种新的交替方向隐格式时域有限差分算法（ＡＤＩ—ＦＤＴＤ），该　方法具有无条件稳定的特性，因而时间步长不再受稳定性条件的限制［３］。然而ＡＤＩ—ＦＤＴＤ方法在一个时间步　上需要两次迭代，增加了每步的计算时问和计算机的存储量，而且随着时问步的增大，数值色散变大，降低了数　值模拟的精度　］。为了克服以上算法的缺点，Ｂ．Ｋ．Ｈｕａｎｇ等人提出了弱无条件稳定算法　。］。该方法是有条　件稳定的，但其稳定性条件比常规ＦＤＴＤ要宽松，而且该方法比ＡＤＩ方法有更高的计算精度，计算时间上也比　ＡＤＩ方法有优势。周期结构的电磁特性分析一直都是计算电磁学的研究热点　。　，当周期性结构中某一方向　上具有细微结构时，用常规的ＦＤＴＤ方法解决此类问题就会使空间步长取值较小，从而导致时间步长取值很　小，增加了计算时间。为了解决该问题，本文将弱无条件稳定算法引入到分析周期结构中ｌ】　，得到周期结构弱　无条件稳定ＦＤＴＤ算法，这样时间步长的选取就不再受细微结构的限制。本文从麦克斯韦方程出发，导出了　适用于周期结构的三维弱无条件稳定ＦＤＴＤ算法的迭代式［１　，在理论上证明了其稳定性条件，并将周期边界　条件应用到迭代式中，得到了可直接编程迭代的方程，给出了对其特有的一类非三对角阵的解决办法，最后通　过算例将计算结果与常规ＦＤＴＤ及ＡＤＩ—ＦＤＴＤ计算结果比较，验证了算法的精确性和有效性，这对解决具有　细微结构的周期性问题中具有很好的意义。　ｌ算法的差分公式　考虑一个无源区，其媒质的参数不随时间变化且各向同性，则麦克斯韦旋度方程可以写为　｛ｆ　Ｖ×Ｈ—ｓａＥ／Ｏｔ　【ＶＸ　Ｅ一一　ａＨ／ａｆ　（１）　式中：Ｅ是电场强度；Ｈ是磁场强度；ｅ是介电常数；　是磁导率。　假定周期结构中具有细微结构的部分沿　方向，将弱无条件稳定方法用到麦克斯韦方程中，电磁场分量　的空间节点分布与传统的ＦＤＴＤ算法相同，可以得到６个标量方程的差分方程　Ｅ曩÷　一Ｅ　ｉ士　＋　（　（Ｈ　，斗专　１，　—Ｈ：，斗告．厂吉　，）～　（Ｈ　，斗ｉ１　＋士～Ｈ　＋　１　吉））　（２）　Ｅ　一　＋～Ａｔ　砖　一　ｗ　，ｚ，ｊ＿÷＿　）一　（Ｈ拂　—ｌ　（３）　Ｌ　Ｈ　专．厂告，　十Ｈ　，汁告　告，　一Ｈ：，斗　，，＿　１，　）　Ｊ　＊收稿日期：２０１１　１２　２７；　修订日期：２０１２—０３—０５　基金项目：国家自然科学基金项目（６０６７１００７）　作者简介：刘宗信（１９８４一），男，博士，从事军事工程伪装与材料研究；ｌｉｕｚｏｎｇｘｉｎ１９８４０７１７＠１６３．ｃｏｒｎ。　强　激　光　与　粒　子　束　第２４卷　Ｅ　Ⅲ＋｛一　卅告＋一Ａｔ　（Ｈ蔫１砖抖专一Ｈ蔫１　１　１）ｍ　１（Ｈ　如斛吉　（４）　‘　。ｌ　Ｈ　古　＋吉＋Ｈ；　专　＋专一Ｈ；，　专　蚪吉）　Ｊ　Ｈ姑＋古，　＋古一Ｈ　１＋专，　＋号一Ａ　ｔ＼｛△１　（Ｅ　“一　斛号一Ｅｎ　抖专）～　（Ｅ　专斛　一Ｅ　ＩｌＪ＋专，　））　（５）　雕ｙ，ｉ＋＿Ｔ＿　蚪告＝＝＝　一　抖｛＋　［　（　，抖告＋Ｅ川ｍ抖｛一　一一Ｅ　｛）一　（　如　一　赵　）］（６）　ｌ　（　—Ｅ　如　一　（Ｅ　＋Ｉ　（７）　＋　ｌ　Ｅ　，斗　，，＋告，　一Ｅ　，＋告，　一Ｅ；，　，，＋告，　）　Ｊ　式中：△ｚ，Ａｙ，△２，Ａｔ分别为空Ｉ司和时Ｉ司步长。式（２）和（５）为显式，口Ｊ以直接进仃迭代计算，而式（３），（４），（６），　（７）均含有未知时刻的场量，不能直接迭代，将式（６），（７）分别代人式（３），（４），化简后可以得到　一　Ａｔ　Ｅ　专，　＋（　＋　≥）Ｅ　升士，　一　Ａｔ　Ｅｎ＋　，斗ｌ　号，　一　Ｅ　，　＋　（８）　【一　（Ｈ　，汁÷－Ｊ＿吉，　—Ｈ　古．７十÷，　）＋　（Ｈ赡＋专，　＋号～Ｈ赡＋专一专）Ｉ一　Ａｚｔ△　（Ｅ　÷　，　—　Ｅ赡古ｍ　—Ｅ靠吉　．　＋Ｅ靠吉　）＋　≥（Ｅ　，ｉ４－１，ｊ＋专，　一２Ｅ；…＋专，　＋Ｅ；，ｒ　÷，　）　一　＋（　＋　）　＋专一　聪　一专一　＋　‘。　（　专一　＋专）一　（Ｈ赡＿ｒ｛．　一Ｈ量＿专．抖｛）卜　Ａｚｔ△　（Ｅ熏１如一　一　（Ｅ　，汁　抖专一２Ｅｎ　ｍ—ｉｔ　４－Ｅ　，　一　＋｛）　Ｅ搏吉．，，　—Ｅ靠｛　＋　＋Ｅ靠号一　）＋　新就可以由式（６），（７）直接迭代得到。　因此，电场的更新可以用式（８），（９）中电场在空间各点联立形成的方程组进行求解，求得电场后，磁场的更　２周期边界的处理　电磁波垂直入射时，周期边界条件可以表示为　ｆＥ露１吉．．　一Ｅ　专．．　．ＪＥ　，　古，　—Ｅ　，什÷，　　１Ｅ：，　Ｉ　ｎ　（１０）　号一殴Ｎ　＋吉　＋专一　Ｎ　＋吉　Ｅ　（Ｎ　１）　ｄ（Ｎ　１）　式中：Ｎ　Ｎ　，Ｎ　Ｎ　分别为电场在周期单元边界的节点。将周期边界条件代人式（８），可以得到　ｄ（Ｎ　１＋１）　ｄ（Ｎ　１＋２）　Ｅ　（Ｎ　１＋１）　●●●　Ｅ　（Ｎ　１＋２）　ａ　ｂ　ｂ　口　Ｅ　（Ｎ　一１）　ｄ（Ｎ　一１）　式中：ｎ＝＝＝一Ａｔ／（４　△ｚ。），ｂ一￡／△￡＋△　／（２ｕ△　），为了更加直观，我们把矩阵方程写成　［Ｍ］Ｅ　一ｄ　（１２）　式中：ｄ表示式（８）右边的已知项；［Ｍ］为系数矩阵。　可以看到式（１１）中的系数矩阵比三对角对称矩阵多了两项，不能直接采用追赶法来求解，但是如果采用大　ＮＮｉ￣Ｎ阵的求解方法来解，那不仅占用的内存量非常大，而且耗用的时间也很多。因此，我们采用Ｓｈｅｒｍａｎ—　Ｍｏｒｒｉｓｏｎ公式将原问题转化成两个三对角对称线性方程组的求解　”　。定义　一　一０　０　…√　）　，Ｖｚ　（　０　０　…　），令原系数矩阵［Ｍ］＝ＥＮ］＋＇，　＇，。，得到　第１１期　刘宗信等：三维周期结构弱无条件稳定时域有限差分算法　Ｊｂ一“　ａ　０　２６８９　　ａ　ｌｂ　ａ　（１３）　ａ　Ｐ　Ｏ　０　［Ｎ］一ｌ　　ｌ　０　ｌ…　…　…　ｎ　ｂ　ｎ　ｂ—ａ　０　可见［Ｎ］是三对角对称矩阵，可以用追赶法直接求解以其为系数的方程组。　再令　—Ｘ　＋硝。，则原待解方程　组ＥＭ２ｘ—ｄ转化为　（［Ｎ］＋ｖｌ＿ｌ’２）（　ｌ＋硝２）一ｄ　展开后得到　［Ｎ］　１＋口［Ｎ］　２＋ｌ，１＇ｌ’２　ｌ＋ａ　１　２　２一ｄ　令ＥＮ３ｘ　一ｄ，Ｅｍ］ｘ。一　，则　ｌ十ｌ’ｌ　２．　１＋ａ　１＇’２Ｘ２＝０　所以　Ｖ２　ｌ　（１　ｖ　ｌ≠０）　最后可以得到　＝　＋硝。，这样可以求得Ｅ　一　。同样，式（９）类似可解。　３算法稳定性条件　将电场和磁场的关系写成矩阵形式，可以得到　０　０　ｅ　０　Ｄ　一　Ｄ　Ｏ　Ｅ　。（　，Ｙ，　）　Ｅ　（ｚ，Ｙ，２）　Ｄ　０　ｇ　Ｏ　Ｏ　１　ｎ　ｚ　Ｈ　（ｚ，Ｙ，　）　×　０　０　Ｏ　ｇ　Ｏ　０　Ｈ　（ｚ，Ｙ，ｚ）　Ｄ　÷Ｄ　Ｏ　Ｏ　ｇ　０　Ｈ　（　，Ｙ，　）　Ｅ　（ｚ，Ｙ，ｚ）　Ｏ　ｏ　一　Ｄ　Ｄ　０　０　０　Ｅ　。（　，Ｙ，ｚ）　Ｅ　（ｚ，Ｙ，ｚ）　Ｄ　Ｈ！（ｚ，Ｙ，　）　×　一Ｄ　Ｈ】『　。（ｚ，Ｙ，　）　０　Ｈ：（３Ｃ，Ｙ，ｚ）　Ｅ：（ｚ，Ｙ，ｚ）　。　０　一　Ｄ　ｏ　０　ｇ　式中：ｅ一　；ｇ一　；Ｄ　，（　一ｚ，　，　）。不失一般性，将场量表示为　ｊ　，　，ｚ’一　／　（ｚ，　，　ｌｆ（ｘ，Ｙ，　）一ｅｘｐ（ｊｋ　ｚ＋ｊｋｙｙ＋ｊ是　）　式（１９）离散化后得到　ｆ（ｍＡｘ，ｌａｙ，ｐＡｚ）一ｅｘｐ（ｊｋ　Ａｘ＋ｊｋｙＺ△　＋ｊ是　户Ａｚ）　因此可以得到　Ｄ　ｆ一　ｆ（ｍＡｘ，ｌａｙ，ｐＡｚ）　式中：　一ｊ　生　垒　Ａ叫　，叫一ｚ，Ｙ，　，代入式（１８），可以得到　０　ｏ　（１４）　（１５）　ｏ　ｇ　（１６）　　一（１７）　。（１８）　（１９）　（２０）　（２１）　０　。２６９０　强　激　光　与　粒　子　束　第２４卷　０　ｚ　０　Ｏ　（　一１）　０　／　ｆ　０　（　一ｇ　０　０　０　０　～　２（　一１）　盯　（ＰＨ　ｚ　ｎｆ　＝＝０　０　一　一　ｙ　（　一ｇ）　０　０　￣ｐＨ　ｆ　ｆ　ｆ　（　一１）　厶　（ｇ　—ｇ）　０　０　ｏ　一　１（　１）　Ｏ　（２２）　由式（２２）的系数矩阵行列式为０可得　（　一１）　［（１＋　）　一２（１一　一２　一２ｒ　）　＋（１＋Ｔ＂ｘ）］。一０　式中：ｒ　一（ｃＡｔ）　ｓｉｎ。（忌　Ａｗ／２）／Ａｗ　。由式（２３）可得增长因子　ｆ　ｚ一１　（２４）　（２３）　　一　ｓ一　（１一ｒ　一２ｒ　一２ｒ　）＿ｌ－＋－￣／（１一ｒ　一２　一２ｒ：）　一（１＋ｒ　）　１＋ｒ　为了满足稳定性条件，增长因子的模不能大于１，显然　ｚ的模等于１。对于增长因子　。　和　。　当满足条　件　＋　≤１时，其模１　Ｉ—ｌ　ｌ一１。因此，对时间步长的限制可表示为　Ａ　Ｙ　＋　△　二　≤　、　△　＋　△　≤　、　（２５）　即　Ａｔ≤１／ｆ　（２６）　［　，由于受到稳定性条件的限制，常规ＦＤＴＤ的时间步长应该取△　≤１／Ｃ　１／Ａｘ　＋］／Ａｙ。＋１／Ａｚ　式（２６）作比较，显然本文提出的方法稳定性条件更加宽松。　与　４　算　例　为了验证算法的精确性和有效性，本文用该方法计算了周期开　孔金属板的电磁散射。这里取周期单元的大小为５０　ｍｍ×５０　ｍｍ，　开孔大小２　ｍｍ×２０ｍｍ，其阵列结构如图１所示，四周为周期边界，　上下采用完全匹配层截断。网格尺寸Ａｘ一１．０×１０｜。，△　—Ａｚ一　５．Ｏ×１０。采用２５０Ｘ　２５×８６个网格单元，上下匹配层均为８层，　入射波为调制高斯脉冲，ｆ。一１０　ＧＨｚ，ｔ。一１．１２５×１０＿。。，ｒ一１．０×　１０　。，可以写成　Ｅ　㈤一一ｃｏｓ（２　ｅｘｐ　ｌ一４丌ｆ　１　ｌ　（２７）　Ｆｉｇ．１　Ｍｏｄ　１　ｏｆ　ｐｅｒｉｏｄｉ　ｍｙ　图１周期阵列模型　为了作比较，普通ＦＤＴＤ取时间步长为３．２　ｐｓ，本文方法和　ＡＤＩ—ＦＤＴＤ方法分别取时间步长为３．２，１１．２　ｐｓ进行计算，并取Ｐ　点和Ｐ　点的电场Ｅ　的值，其结果如图２，３所示。　通过比较，可以发现当时间步长取３．２　ｐｓ时，本文结果、ＡＤＩ—ＦＤＴＤ结果和普通ＦＤＴＤ计算结果吻合得很　好；当时间步长取大时，普通ＦＤＴＤ计算不稳定，因此只能将ＡＤＩ—ＦＤＴＤ计算结果和本文计算结果与时间步　长为３．２　ｐｓ时普通ＦＤＴＤ计算结果进行比较，发现ＡＤＩ　ＦＤＴＤ计算结果的吻合度变差，而本文计算结果与　ＦＤＴＤ结果吻合良好。为了更加直观，我们给出了图２（ｂ）中，也就是Ｐ１点处，ＡＤＩ—ＦＤＴＤ、本文计算结果与普　通ＦＤＴＤ的实际误差，如图４所示。从图中可见弱无条件稳定算法的精度比ＡＤＩ－ＦＤＴＤ的要好。另外，三种　方法的计算时间如表１所示，可以发现，在相同时间步长下，本文计算耗时约为ＡＤＩ—ＦＤＴＤ方法的１／３，当时间　步长为１１．２　ｐｓ时，本文的计算耗时比常规ＦＤＴＤ方法（时间步长为３．２　ｐｓ）减小了约３３　。可见弱无条件稳　定算法，在计算效率上也是具有优势的。　第１１期　Ｏ　６　刘宗信等：三维周期结构弱无条件稳定时域有限差分算法　Ｏ　６　２６９１　Ｏ　４　Ｏ　４　Ｏ　２　Ｏ　２　Ｏ　寸０　Ｏ　２　Ｏ　２　Ｏ　４　Ｏ．４　０　４００　８００　１２００　１６００　０　４００　８００　】２００　１６００　ｔｉｍｅ／ｐｓ　ｔｉｍｅ／ｐｓ　．　（ａ１　Ａｔ＝３　２ｐｓ　（ｂ１　Ａｔ＝Ｉｌ　２　ｐｓ　Ｆｉｇ．２　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｒｏｍ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ＦＤＴＤ，ＡＤＩ　ＦＤＴＤ　ａｎｄ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｔ　ｐｏｉｎｔ　Ｐｌ　图２　Ｐ１点ＦＤＴＤ，ＡＤＩ　ＦＤＴＤ与本文方法数值结果对比　Ｏ　２　Ｏ　２　０　１　Ｏ　１　０　Ｏ　１　一Ｏ　１　Ｏ　２　０　４００　８００　１２００　１６００　．　Ｏ　２　Ｏ　４００　８００　１２００　１６００　ｔｉｍｅ／ｐｓ　ｔｉｍｅ／ｐｓ　（ａ）Ａｔ＝３　２　ｐｓ　（ｂ）△户】１　２　ｐｓ　Ｆｉｇ．３　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｒｏｍ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ＦＤＴＤ，ＡＤ１一ＦＤＴＤ　ａｎｄ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｔ　ｐｏｉｎｔ　Ｐ２　图３　Ｐｚ点ＦＤＴＤ，ＡＤＩ—ＦＤＴＤ与本文方法数值结果对比　０　１０　０　０００　００５　０　０８　０　０００　００４　ｇ　Ｏ　０６　巴　Ｏ　Ｏ４　２　０　０００　００３　０　０００　００２　Ｏ　Ｏ２　０　０００　ＯＯ１　Ｏ　０　４００　８００　１２００　１６００　Ｏ　０　４００　８００　１２００’　１６００　ｔｉｍｅ／ｐｓ　ｔｉｍｅ／ｐｓ　（ａ）ＡＤＩ—ＦＤＴＤ，Ａｔ＝１　１　２　ｐｓ　（ｂ）ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ，Ａｔ　１　１　２　ｐｓ　Ｆｉｇ．４　Ｅｒｒｏｒｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ＡＤＩ—ＦＤＴＤ，ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　ＦＤＴＤ　ａｔ　ｐｏｉｎｔ　Ｐｔ　图４　Ｐ１点ＡＤＩ—ＦＤＴＤ方法与常规ＦＤＴＤ方法及本文方法与常规ＦＤＴＤ方法的误差　表１　３种方法在计算时间上的比较　Ｔａｂｌｅ　１　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ　ｏｆ　ｔｈｒｅｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　５　结　论　本文基于弱无条件稳定算法，提出了用于解决周期结构的弱无条件稳定算法。该算法在计算精度上和普　２６９２　强　激　光　与　粒　子　束　第２４卷　通ＦＤＴＤ算法相当，随着时间步长的增大其精度比ＡＤＩ—ＦＤＴＤ算法的高，在计算效率上，比ＦＤＴＤ和ＡＤＩ　ＦＤＴＤ的要高。　参考文献：　［１］Ｔａｆｔ。Ｖｅ　Ａ，Ｈａｎｇｅｓｓ　Ｓ　Ｃ．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａ１　ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ：ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ　ｍｅｔｈｏｄｉＭ］．２ｎｄ　ｅｄ．Ｂ０ｓｔｏｎ：Ａｒｔｅｃｈ　Ｈｏｕｓｅ，　２０００．　［２］ＴｓａＹ　Ｗ　Ｊ，Ｐｏｚａｒ　Ｄ　Ｍ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＦＤＴＤ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ　ｔｏ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　ｒａ　ｄｉａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｍｉｃｒ。ｗ　Ｇ“ｉｄ　ｄ　Ｗａｙｅ　Ｌｅｔｔ，１９９３，３（８）：２５０—２５２．　Ｅ３３　Ｎａｍｉｋｉ　Ｔ・Ａ　ｎｅｗ　ＦＤＴＤ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｍｅｔｈ。ｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥ丁　删胁ｃ，。叫Ｔｈ　ｊ，Ｔ　ｆ＾，１　９９９，４７（１０）　２００３—２００７．　［４２　Ｚｈａｏ　Ａｎｐｉｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓ。ｆ　ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｄｉｓｐｅｒｓｉ。ｎ。ｆ　２一Ｄ　ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈ０ｄ［Ｊ］．ＩＥＥＥ丁ｍｎｓ。ｎ　Ｍ　ｆｒ。　Ｔ　。　７　以，２００２，５０（４）：１１５６　１１６４．　［５］Ｓａｌｖａｄｏｒ　Ｇ　Ｇ，Ｇｏｄ。ｙ　Ｒ，　２００６，１６（６）：３５４—３５６．　，ｅｔ　ａ１．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｄｉｓＰｅｒｓｉｏｎ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　０ｆ　ＡＤＩ　ＦＤＴＤ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｍｉｆｒｏ　ｕ８　ｄ　Ｗｉｒ　㈣　ｍ　。　ｆｓ　Ｌ　ｆＰｒ　，　［６］Ｈｕａｎｇ　Ｂ　Ｋ，ｗａｎｇ　Ｇ，Ｊｉａｎｇ　Ｙ　Ｓ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ｈｙｂｒｉｄ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ＦＤＴＤ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｗｅａｋｌｙ　ｃ。ｎｄｉｔｉ。ｎａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｍｉｃｒ。　Ｏｐ￡Ｔｅｃ＾　Ｌｅｔｔ，２００３，３９（１０）：９７－１０１．　ｏｐｍｅｎｔ　ｏｆ　ａ　ｔｈｒｅｅ　ｄｅｍｅｎｓｉｏｎ　ｕｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｆｉｎｉｔｅ＿ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ［７２　Ｚｈｅｎｇ　Ｆ，Ｃｈｅｎ　ｚ，Ｚｈａｎｇ　Ｊ．Ｔｏｗａｒｄ　ｔｈｅ　ｄｅｖｅｌｄｏｍａｉｎ　ｍｅｔｈ。ｄＥＪ］．　ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　Ｍｉｃｒｏ￣Ｔｈｅｒｏｙ　Ｔｅｃｈ，２０００，４８（９）：１５５０—１５５８．　［８］　Ｔｈｏｍａｓ　Ｇ　Ｍ＇Ｊｅｆｆｒｅｙ　Ｇ　Ｂ，Ｔａｆｌｏｖｅ　Ａ，ｅｔ　ａ１．Ｔｈｅｏｒｙ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎ　ｏ　Ａｎ￡Ｐｎｎ　Ｐｒ０ｐｎｇ，　ｌ９８８，３６（１２）：ｌ７９７—１８１２．　［９］　Ｖｅｙｓｏｇｌｕ　Ｍ　Ｅ，Ｓｈｉｎ　Ｒ　Ｔ，Ｋｏｎｇ　Ｊ　Ａ．Ａ　ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｗａｖｅ　ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ　ｆｒｏｍ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅ：Ｏｂｌｉｑｕｅ　ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　［Ｊ］．Ｊ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇ　Ｗａｖｅｓ　Ａｐｐｌ，１９９３：１５９５—１６０７．　［１Ｏ］　Ｗａｎｇ　Ｓｈｕｍｉｎ，Ｃｈｅｎ　Ｊｉ，Ｒｕｃｈｈｏｅｆｔ　Ｐ．Ａｎ　ＡＤＩ－ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａ　ｓ　０ｎ　Ａ　ｅｎ　Ｐｒ０ＰⅡ　２３４３　２３４６．　，２００５，５３（７）：　［１１］　Ｃｈｅｎ　Ｊｕａｎ，Ｗａｎｇ　Ｊｉａｎｇｕｏ．Ａ　３Ｄ　ｈｙｂｒｉｄ　ｉｍｐｌｉｃｉｔ　ｅｘｐｌｉｃｉｔ　ＦＤＴＤ　ｓｃｈｅｍｅ　ｗｉｔｈ　ｗｅａｋｌｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ＿Ｊ］．Ｍ　ｆｒｏ　ｏ户ｆ　ｎ　Ｌｅｆ￡，２００６：　２２９　１－２２９４．　［１２］　Ｗａｋａｂａｙａｓｈｉ　Ｙ，Ｓｈｉｂａｙａｍａ　Ｊ，Ｙａｍａｕｃｈｉ　Ｊ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ｌｏｃａｌｌｙ　ｏｎｅ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ　ｄｏｍａｉｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆ０ｒ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ。ｆ　ａ　Ｄｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ａｔ　ｏｂｌｉｑｕｅ　ｉｎｃｉｄｅｎｃｅ￣Ｊ］．Ｒａｄｉｏ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１１：１－９．　［１　３］　Ｔｈｏｍａｓ　Ｊ　Ｗ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ：Ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ　Ｖｅｒｌａｇ，１９９５．　Ｗｅａｋｌｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　３－Ｄ　ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　Ｌｉｕ　Ｚｏｎｇｘｉｎ　，Ｃｈｅｎ　Ｙｉｗａｎｇ　，Ｘｕ　Ｘｉｎ　，Ｌｉｕ　Ｙａｗｅｎ　，Ｓｕｎ　Ｘｕｅｇａｎｇ。，Ｚｈａｎｇ　Ｓｈｕｄｉ　，（１・Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｃｏｒｐｓ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ，ＰＬＡ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉ　ｇ　２１０００７Ｃｈｉｎｎ；　２．ＰＬＡ　Ｔｒｏｏｐ　９５９７２，Ｊｉｕｑｕａｎ　７３５０１８。Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｍａｘｗｅｌｌ’ｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ａ　ｗｅａｋｌｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ　ｆｉｎｉｔｅ—ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ　ｄｏｍａｉｎ（ＦＤＴＤ）ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｉｓ　ｖｅｒｉｆｉｅｄ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌｙ．　Ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｌｏｏｓｅｒ　ｔｈａｎ　ｔｈａｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ　．ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｓｈｅｒｍａｎ　Ｍｏｒｒｉｓｏｎ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｎｏｎ　ｔｒｉｄｉａｇｏｎａｌ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｙｓｔｅｍ．　Ｔｈｅ　ｎｅｗ　ａＩｇｏｒｉｔｈｍ　ｈａｓ　ｂｅｔｔｅｒ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ａｎｄ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ＡＤＩ　ＦＤＴＤ，ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙ　ｆｏｒ　ｌａｒｇｅ　ｔｉｍｅ　ｓｔｅｐ　ｓｉｚｅＡ　ｎｕｍｅｒｉｃａ１　ｅｘａｍｐｌｅ　ｉｓ　Ｄｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｔｏ　ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ａｎｄ　ａｃｃｕｒａｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．　Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ＣＰＵ　ｔｉｍｅ　ｆｏｒ　ｔｈｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ａｂｏｕｔ　３　３　Ａ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＡＤＩ０－ＦＤＴＤ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ｗｅａｋｌｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎａｌｌｙ　ｓｔａｂｌｅ；ｆｉｎｉｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｔｉｍｅ—ｄｏｍａｉｎ；ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇｄｉｒｅｃｔｉｏｎ－ｉｍｐｌｉｃｉｔ