浙江省杭州市2011年高三第一次高考科目教学质量检测数学理

杭州市

2011年高三第一次高考科目教学质量检测

数学试题（理科）

考生须知: 1．本卷满分150分, 考试时间120分钟． 2．答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名． 3．所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效． 4．考试结束, 只需上交答题卷．

参考公式

如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)； 如果事件A，B相互独立，那么

P(AB)P(A)P(B)；

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生kkknkP(k)CP(1P)nn次的概率（k = 0,1,„,n）．

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有

一项是符合题目要求的． 1．已知R，则cos(

A．sin

2)

D．cos

（ ）

B．cos C．sin

2．已知aR，则“a1”是“a1”的

A．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件

B． 充要条件

D．必要不充分条件

（ ）

3．设z=1+i（i是虚数单位），则

2z2 z （ ）

A．1i B．1i

C．1i D．1i

4．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数

分别为 （ ） A． 3与3 B．23与3 C．3与23 D．23与23 5．等差数列an的前n项和为Sn，已知an4，Sn39，

则S5 a5 A．14

（ ）

（第4题）

B． 19 C． 28 D．60

6．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式

可能是

（ ）

A．f(x)x22lnx B． f(x)x2lnx

C． f(x)|x|2lnx D．f(x)|x|lnx

第6题

7．某程序框图如同所示，则该程序框图运行后输出的n的值为 A．2 B． 3 C．4 D．10

8．由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都 不与c相邻的排法个数为 （ ） A．36 B．32 C．28 D．24

（ ）

(13a)x10x69．已知函数f(x)x7

x6a

若数列an满足anf(n)(nN*)， 且an是递减数列，则实数a的取值 范围是

（ ）

A．(,1) B． (,)

131132C．(,) D． (15385,1 )810．已知集合U{(x,y)xR,yR}，M{(x,y)xya}，P{(x,y)yf(x)}，

x现给出下列函数：①ya②ylogax③ysin(xa)④ycosax，若0a1时，恒有PCUMP，则f(x)所有可取的函数的编号是 A． ①②③④ B．①②④ C．①② D．④ 二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分,共28分）

（ ）

111，，，„的第8项是 ． 24812．已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数11．等比数列

的取值范围是 ．

13．设n为正整数，f(n)111135，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，23n22f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为 ．

14．已知多项式(1x)(1x)425xax2bx3x4，则a-b= ．

15．某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数

据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在

0.035 a

频率|组距

，130,140，140,150三组内的学生中，用120,130分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在

0.020

130,140内的学生中选取的人数为 ．

16．已知函数f(x)xf()xx，则函数f(x)的图像在

3`0.010

230.005

2 100 110 120 130 140 150 身高

22(,f())处的切线方程是 ． 3317．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，

给出下列结论

①ABC的边长可以组成等差数列

②ACAB0

③ABC153④若b+c=8，则ABC的面积是其中正确的结论序号7534是 ．

三、解答题: （本大题有5小题, 共72分）

18．（本题满分14分）已知函数f(x)23sinxcosx12sin2x,xR． （1）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数yf(x)的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

得到的图像再向左平移

1，把所2单位，得到的函数yg(x)的图像，求函数yg(x)在6区间0,



上的最小值． 8

19．（本题满分14分）设数列an的前n项和为Sn，且Sn4anp，其中p是不为零的

常数．

（1）证明：数列an是等比数列；

（2）当p=3时，若数列bn满足bn1bnan(nN*)，b12，求数列bn的通项

公式．

20．（本题满分14分）已知向量a=(1,2)，b=(cos,sin)，设m=a+tb（t为实数）． （1）若4，求当|m|取最小值时实数t的值；

（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为

，若存在，请4求出t；若不存在，请说明理由．

21．（本题满分15分）一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有

且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排

8-n道题，每题得出正确答案的概率为为

1，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率21，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分． 4（1）当n=6时，

①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率； ②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值； （2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值． 22．（本题满分15分）已知函数f(x)ax2lnx(aR)． （1）当a1时，求f(x)在区间1,e上的最大值和最小值； 2（2）如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)，在公共定义域D上，满足f1(x)g(x)f2(x)，

那么就称为g(x)为f1(x),f2(x)的“活动函数”． 已知函数f1(x)(a)x2ax(1a)lnx，f2(x)122212x2ax． 2①若在区间1,上，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“活动函数”，求a的取值范围； ②当a2时，求证：在区间1,上，函数f1(x)，f2(x)的“活动函数”有无3穷多个．

参考答案

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有

一项是符合题目要求的 ．

2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1

B D D A B C A C B 答案 C

二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分） 11．1n2 12．（– 1，1） 13．f(2n)（nN*） 14．2 256215．10 16．27x + 27y +4 = 0 17．①②④ 三、解答题: （本大题有5小题, 共72分） 18．（本题满分14分）

解：（1）因为f(x)=23sinxcosx+1-2sin2x==2sin(2x3sin2x+cos2x

6), 4分

函数f（x）的最小正周期为T=． 由2k22x62k2，kZ，

365554)，当x[0，]时，4x（2）根据条件得g(x)=2sin(4x[,]， 66638所以当x =

得f（x）的单调递增区间为[k,k] ， kZ． 9分

时，g(x)min=-3． 14分 819．（本题满分14分）

，

（1）证：因为Sn=4an– p（nN*）,则Sn – 1 = 4an – 1 – p（nN* n2）,

所以当n2时，anSnSn14an4an1，整理得an由Sn=4an– p，令n1，得a14a1a，解得a1所以an是首项为

4an1． 5分 3p． 3

4p，公比为的等比数列． 7分 334n1（2）解：因为a1=1，则an()，

34n1由bn1anbn(n1,2,)，得bn1bn() ， 9分

3当n2时，由累加得

41()n1433()n11， bnb1(b2b`1)(b3b2)(bnbn1)＝24313 当n = 1时，上式也成立． 14分 20．（本题满分14分）

3222，）解：（1）因为=，b =（，ab， 2242

则|m|=(atb)=5t22tab=t232t5=(t23221) 22

所以当t=-322时，|m|取到最小值，最小值为． 7分 22（2）由条件得cos45=(ab)(atb)，又因为

|ab||atb|2

|ab|=(ab)=6,|atb|=(atb)=5t,(ab)(atb)5t，

则有

225t65t22=

2，且t<5， 2535满足条件． 14分 2

整理得t+5t-5=0，所以存在t=

21．（本题满分15分）

解：（1） ①当n = 6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，

11111． 2分 2244641133111111132211答对8道题的概率为++ 4·=＝． 5分

224422442244643210道题题全答对的概率为

②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：

1133911331113243; P（X = 7） = 2·+2· =＝; =

224464224422446489232292211P（X = 8） = ＝; 又P（X  9） =1－＝; 646464646432P（X = 6） =

所以：答对7道题的概率最大为（2） 当n = 6时，分布列为：

3． 10分 8

分值 30 35 40 45 50

P

9242281 646464646492422812400+35+ 40+ 45+50= =37．5 ， 6464646464648n2n95+5=5（） 40, 所以n的最小值为7． 2224得E= 30

当n =7时，E =40 ． 所以n的最小值为7． 15分 另解：5n +

22．（本题满分15分）

1121x21解：（1）当a时，f(x)xlnx，f(x)x；

22xx对于x[1, e]，有f(x)0，∴f(x)在区间[1, e]上为增函数，

1e2∴fmax(x)f(e)1，fmin(x)f(1)． 3 分

22（2）①在区间（1，+∞）上，函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”，则f1(x)f(x)f2(x)

令p(x)f(x)f2(x)(a)x2axlnx<0，对x（1，+∞）恒成立， 1且h（x）=f1（x） – f（x）=x22axa2lnx<0对x（1，+∞）恒成立， 5分

2122

1(2a1)x22ax1(x1)[(2a1)x1]∵p`(x)(2a1)x2a （*）

xxx1）若a11，令p`(x)0，得极值点x11，x2， 22a11a1时，在（x2，+∞）上有p`(x)0， 2当x2x11，即

此时p(x)在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p(x)∈（p(x2)，+∞），不合题意；

当x2x11，即a1时，同理可知，p(x)在区间（1，+∞）上，有

p(x)∈（p(1)，+∞），也不合题意； 7分

2） 若a1，则有2a10，此时在区间（1，+∞）上恒有p`(x)0， 2

从而p(x)在区间（1，+∞）上是减函数；

要使p(x)0在此区间上恒成立，只须满足p(1)a所以110a，

2211a． 9分 22/

a2x22axa2(xa)2又因为h（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上为减xxx函数，

h（x）a2(xa)20, h`（x） = – x + 2a =xxh（x）在（1,+）递减，只要h（1）  0, 得分

112a0，解得a． 824

(x1)[(2a1)x1]1对x（1,+） 且a有p`（x） <0．

x411只要p（1）  0, a2a0，解得a,

2211所以．a． 12分

24而p`（x）=②当a214514时，f1(x)x2xlnx,f2(x)x2x 36392313则y=f2（x） –f1（x）=x2 –

5lnx, x（1，+∞）． 9

2x56x25因为y =>0，y=f2（x） –f1（x）在 （1，+∞）为增函数， 39x9x/

所以f2（x） –f1（x）> f2（1） –f1（1）= ．[来源:学#科#网]

1设R（x）=f1（x）+（0<<1）, 则 f1（x）3所以在区间（1，+∞）上，函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个． 其他如R（x）=f1（x）+f2（x）（ 0<,<1,且+=1）等也可以． 15分

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