高中数学必修2第四章测试(含答案)

第四章测试

(时间：120分钟 总分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A．相离 B．相交 C．外切

D．内切

2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A．3x－y－5＝0 C．x＋3y－5＝0

B．3x＋y－7＝0 D．x－3y＋1＝0

3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( ) A．1，－1 C．1

B．2，－2 D．－1

4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，6)的切线方程是( ) A．x＋6y－10＝0 C．x－6y＋10＝0

B.6x－2y＋10＝0 D．2x＋6y－10＝0

5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( ) A．(－3,3，－1) C．(3，－3，－1)

B．(－3，－3，－1) D．(3,3,1)

6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，则|AC|＝( ) A．5 B.13 C．10 D.10

7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )

A.3 B.2 C.3或－3

D.2和－2

8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是( ) A．4 B．3 C．2 D．1

9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( ) A．2x－y＝0 C．x＋2y－3＝0

B．2x－y－2＝0 D．x－2y＋3＝0

10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )

A.9π B.π C．2π D．由m的值而定

11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( )

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A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3)2＋4y2＝1

B．(x－3)2＋y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1

12．曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( ) 5

A．(0，)

1213C．(，]

34

5

B．(，＋∞)

1253D．(，] 124

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) 13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________． 14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．

15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．

16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．

18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．

19．(12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．

20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．

21．(12分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2

的最大、最小值及对应的P点坐标．

22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1. (1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C过定点；

(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．

1解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，

化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16. ∴两圆的圆心距

0－32＋0－42＝5，

又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案：C

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y＋2x－1

2解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得＝，即3x－y－5＝

1＋22－10.答案：A

3解析：圆x＋y－2x＝0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得

2

2

|1＋a＋0＋1|1＋a＋1

2

＝1，即|a＋2|＝

a＋12＋1，平方整理得a＝－1.答案：D

4解析：∵点M(2，6)在圆x2＋y2＝10上，kOM＝∴过点M的切线的斜率为k＝－故切线方程为y－6＝－6， 3

6， 2

6

(x－2)， 3

即2x＋6y－10＝0. 答案：D

5解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．答案：D 6解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)． ∴|AC|＝

－2－12＋－2＋22＋－5＋32＝13.答案：B

1

7解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为，

2∴

1

＝，∴k＝±3.答案：C 2

1＋k21

8解析：两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1， O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，

圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4， ∴|O1O2|＝

2＋22＋5－22＝5，r1＋r2＝5.

∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B 9解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2， ∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：A 10解析：∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0， ∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2. ∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.

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依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1. ∴圆的面积S＝π×12＝π.答案：B

11解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)， x1＋3y1

则x＝，y＝，∴x1＝2x－3，y1＝2y.

22又点P(x1，y1)在圆x2＋y2＝1上， ∴(2x－3)2＋4y2＝1.

故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C 12解析：如图所示，曲线y＝1＋

4－x2

变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)， 直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)， 当直线l与半圆相切时，有 |－2k＋4－1|5

＝2，解得k＝. 12

k2＋13

当直线l过点(－2,1)时，k＝.

4

53

因此，k的取值范围是124

13解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4.

|1＋1－4|

14解析：r＝＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

215解析：已知方程配方得，(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圆心坐标为(－a，a)，它在直线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．

16解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0，

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得(x－3)2＋(y－1)2＝25.

|3＋2×1|

圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝5.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，

5由勾股定理得，弦长＝2×

25－5＝45. yy

17解：解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP·kAP＝－1，即·＝－1，

xx－4即x2＋y2－4x＝0①

当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，

∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．

1

解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2，由圆的定义知，P点轨

2迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．

故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．

18解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)． 两圆的方程相减得直线AB的方程为 2(m＋1)x－2y－m2－1＝0. ∵A，B两点平分圆N的圆周，

∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)， ∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0， 解得m＝－1.

故圆M的圆心M(－1，－2)．

22x＋y－3x－3y＋3＝0

19解：设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点的坐标是方程组

x2＋y2－2x－2y＝0

的解，两方程相减得：x＋y－3＝0，

∵A、B两点的坐标都满足该方程， ∴x＋y－3＝0为所求． 将圆C2的方程化为标准形式， (x－1)2＋(y－1)2＝2， ∴圆心C2(1,1)，半径r＝2.

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|1＋1－3|1

圆心C2到直线AB的距离d＝＝，

22|AB|＝2

r2－d2＝2

1

2－＝6. 2

即两圆的公共弦长为6.

20解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.

设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝2. ∵|PM|＝|PO|，

∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2，

化简得点P的轨迹方程为：2x－4y＋3＝0.

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的35

距离公式可求得|PM|最小值为.

10

21解：设点P的坐标为(x0，y0)，则

d＝(x0＋1)2＋y02＋(x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.

欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．

作直线OC，设其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 如图所示．

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则u最小值＝|OP1|2＝(|OC|－|P1C|)2＝(5－1)2＝16. x1y14此时，＝＝，

3451216∴x1＝，y1＝.

55

1216∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为5，5. 1824同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为5，5. 22解：(1)证明：原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2 ∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.

故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为5|k＋1|的圆．

x＝－k，设圆心的坐标为(x，y)，则

y＝－2k－5，

消去k，得2x－y－5＝0.

∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上． (2)证明：将原方程变形为

(2x＋4y＋10)k＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0， ∵上式对于任意k≠－1恒成立，

2x＋4y＋10＝0，

∴

22x＋y＋10y＋20＝0.x＝1，解得

y＝－3.

∴曲线C过定点(1，－3)． (3)∵圆C与x轴相切，

∴圆心(－k，－2k－5)到x轴的距离等于半径， 即|－2k－5|＝5|k＋1|.

两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2， ∴k＝5±35.

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