关于抛物线切线的两个定比性质

２００８年第４期中学数学教学４９关于抛物线切线的两个定比性质黑龙江省大庆实验中学苏立志（邮编：１６３３１６）一初研一一数究一一数究一笔者研读文［１］后深受启发！对抛物线切线度量方面的性质做了一些探究，得到了如下两条定比性质，现介绍如下：定理１如图１，已知ＣＡ、ＣＢ分别是抛物线ｚ＝２ｐｙ（Ｐ＞Ｏ）的两条切‘＼一？群澎线，切点分别为Ａ、Ｂ．若一√孟条与抛物线切于点Ｐ（异图１于点Ａ、Ｂ）的直线分别交ＣＡ、ＣＢ于点Ｍ、Ｎ，则ＭＦｆＮＩ—ＩＡＣＩ：ｌＢＣ１．证设点Ａ（Ｚｌ，秀），Ｂ（ｚｚ，秀），Ｐ（幻，秀），Ｆ（ｏ，号）．由抛物线方程３，一旁２，求导得ｙ７＝万１ｚ，故直线Ａｃ方程为了一秀＝｝－（ｚ—ｚｔ），即２ｘｌｚ一２缈＝ｚ；．同理，直线ＢＣ方程为２ｘ：ｚ一２缈一ｚｉ，从而解得点ｃ坐标为（生｛旦，Ｘ２ｌＸ由２／，同理，解得点Ｍ坐标为（旦｛丑，号孑），点Ｎ坐标为（垒｛旦，１Ｘ２了Ｘ３）．从而］ＡＣ２壶‘户２＋ｚｊ）（ｚ，一ｚｚ）２，ＢＣ２＝赤（夕２＋ｚ；）（ｚ，一ｚ２）２，［ＦＭＩ２刃１（户２＋ｚ；）（户２＋ｚ；），ＦＮ５壶（ｐ２＋ｚ；）（户２＋ｚｊ），故ＩＦＭ１．１ＦＮＩ＝ｌＡＣｆ：ＩＢＣＩ．特别地，由抛物线对称性知，当点Ｃ在抛物线对称轴卜时。右ＪＦＭＩ＝ＩＦＮ１．万　方数据定理２如图２，若△ＡＢＣ与△Ａ．Ｂ。Ｃ。分别是抛物线ｚ２＝２ｐｙ（ｐ＞ｏ）的内接三角形和外切《Ｄ繇‘三角形，且ＡＢ∥Ａ－Ｂ１，亿。ｉＢＣ∥ＢｌＣｌ，ＣＡ／／Ｃ１Ａｌ，图２‘贝ＵＳ△ＡＢｃ一１６Ｓ△Ａ１８１ｃｔ，其中Ｓ△ＡＢＣ与Ｓ△Ａ１且】ｃ】分别表示ＡＡＢＣ与△Ａ。Ｂ。Ｃ。的面积．证由条件易知ＡＡＢＣ∽／ｋＡ。ＢｌＣｌ，故只需证ＩＡＢ２＝１６Ａ。Ｂ。Ｉ设点Ａ（ｚ，，荔）、Ｂ（ｚｚ，番）、ｃ（ｚａ，荔），Ａ，Ｂ。切抛物线于点Ｒ（ｘ。，Ｙ。）．生一苎因籼仉，＝｝。‰＝象害＝ｚｌ＋ｚ２２户旦｛旦，代人抛物线方程，解得汕一掣．而Ａ。Ｂ。∥ＡＢ，所以Ｙ７ｌ。。气一是＾Ｂ，解得ｚｔ一故直线Ａ。Ｂ。方程为４（ｘ１＋ｚ２）ｚ一８ｐｙ５（ｚｌ＋ｚ２）２①直线Ｂ。Ｃ。方程为４（ｘ２＋ｚ３）ｚ—Ｓｐｙ＝（ｚｚ＋ｚ３）２②直线Ｃ。Ａ。方程为４（ｘ３＋工１）ｚ一８ｐｙ＝（ｚ３＋Ｘ１）２③由①②，解得点Ｂ。坐标为＋ｚ３（ｚ２＋ｚ１）（ｚ２＋ｚ３）８ｐ由①③，解得点Ａ。坐标为２＋ｚ３（ｚ１＋ｚ２）（ｚ１＋ｚ３）８ｐ则ｌＡ，Ｂ－ｌ２一去（ｚ·一ｚｚ）２＋萌≥（ｚ｝一国２，ＩＡＢ２＝（ｚ，一训２＋专（ｚ；一国２，５０中学数学教学２００８年第４期三角形内外心连线一个性质的再研究重庆市合川太和中学沈毅卿永彤（邮编：４０１５５５）文ＥＩ－Ｉ中给出了关于三边不全相等的三角形易证Ｐ１＋Ｐ２—２ｐ，内外心连线的如下性质：由定理１知ＡＦ７＋ＢＤ＋ＣＥ７＝Ｐ①定理ｌ设０、ｊ是不等边ＡＡＢＣ的外心和内而ＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥ＝Ｐ。②心，Ｐ为／ｋＡＢＣ所在平面内一点，从Ｐ作ＰＤ上式①和式②左右两边相减，得ＢＣ、ＰＥ上ＣＡ、ＰＦ上ＡＢ，垂足分别为Ｄ、Ｅ、Ｆ，若ＦＦ７一ＥＥＡＦ＋ＢＤ＋ＣＥ＝ＦＢ＋ＤＣ＋ＥＡ（１）７＝Ｐ—Ｐ。一华③则点Ｐ的轨迹为直线ＯＩ．注意到么ＰＰ７Ｅ７＝么Ｃ，么ＰＰ７Ｆ７＝么Ｂ，式（１）中的线段均为有向线段，它们的正方所以盯７＝ＰＮ＝ＰＩｓｉｎＬＰＰ７Ｆ７＝向分别为Ａ—Ｂ、Ｂ—Ｃ和Ｃ—Ａ例如，若Ｆ在ＰｌｓｉｎＢ，ＥＥ７＝ＰＭ＝ＰＩｓｉｎＬＰＰ７Ｅ７＝ＰＩｓｉｎＣ．线段ＡＢ的内部，则ＡＦ和ＦＢ的长度均为正值；再结合式③，得ｌＰ。一Ｐ。Ｉ＝２ＦＦ７一匹７若Ｆ在ＡＢ的延长线上，则ＡＦ的长度为正，ＦＢ一２ＰＪＩ．ＩｓｉｎＢ—ｓｉｎＣ④的长度为负．由三角形欧拉公式知１０叮Ｉ一４Ｒｚ一２Ｒｒ，笔者对上述性质进行了深入研究，得到如下Ｉ＝ＩＢＬ—ＢＫｌ＝更一般的结论：ｓｉｎＢ’ＳｉｎｃＩ，心和内心，Ｒ、ｒ分别是伽Ｃ的外接圆和内切圆半定理２设０、ｆ是三边不全相等／ｋＡＢＣ的外ｌ虿ａ一（ｐ－－ｂ）Ｉ－毕＝Ｒ而Ｉ巧ｆ—ＩＫＬ径，点Ｐ到直线研的距离为ｄ（ｄ≥Ｏ）．Ｐ为△ＡＢＣ所躺ｎｚｌｏｓ一槲一弩筹等，所在平面内一点，点Ｐ在边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ正射影分别显然么ＰＩＨ一么ＩＯＳ，故为Ｄ、Ｅ、Ｆ．记ＡＦ＋ＢＤ＋伍＝Ｐ１，同＋∞＋ＦＡＦ１２五厕ｄ＝群２五厕ｄ：Ａ．则ＩＰ。一Ｐ２Ｉ：２、／Ｒｚ。，－－２Ｒｒｄ。（２）Ｒ…（其中线段ＡＦ、ＢＤ、ＣＥ、ＦＢ、１３（２、ＥＡ长度均ｓ筠ｉｎＢ—ｄｓｉｎＣＪ一⑤遵从定理１中的约定）．将式⑤代人式④，即得证明如图１，设直线Ｐ。一Ｐ：Ｉ：２＂，／Ｒ２。，－－２Ｒｒｄ．ＰＤ与直线ｏＪ交于点Ｐ７，过点Ｐ作Ｐ。Ｅ’ＬＡＣ，Ｐ’Ｆ’Ｌ注由式（２）知Ｐ１一Ｐ２当且仅当ｄ＝０，此ＡＢ，垂足为Ｆ、一；作ＰＭ上时即为定理１中描述的性质．笔者研究发现该性Ｐ“Ｅ１，ＰＮ＼Ｐ。Ｆ１，ＰＨ＼质还可以推广到双圆行边形中，这就是本文遗留凹．垂足为Ｍ、Ｎ、Ｈ；作ＩＫ的问题．上ｌｔＺ，观ｊ－ＢＣ，ＩＳ上观，参考文献单建．三角形内外心连线的一个性质［Ｊ］．数学通报，垂足为Ｋ、Ｌ、Ｓ．并设ＢＣ一图１１口，ＣＡ＝６，ＡＢ＝ｃ，户＝ａ—＋Ｆｂ＋ｃ．２００７（１１），Ｐ５６—５７．（收稿日期：２００８—０３—１１）故ＩＡ。Ｂ，ｌ２—１６ＡＢ２，证毕．质口］．中学数学教学，２００８（１）参考文献（收稿日期：２００８—０４－０７）１龚新平．抛物线外切三角形与内接三角形的又一个性万　方数据关于抛物线切线的两个定比性质

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

苏立志

黑龙江省大庆实验中学,163316中学数学教学

HIGH SCHOOL MATHEMATICS TEACHING2008，(4)0次

1.龚新平 抛物线外切三角形与内接三角形的又一个性质[期刊论文]-中学数学教学 2008(01)

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