材料力学第五版课后习题答案

力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力[]为许用拉应力[]的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多

大？ 解：x F；y0；x0 Axy2xy2cos2xsin2

FFF1cos2cos2[] 2A2AA2F1cos2F[]，cos2[]

A2A[]A[]A， FFmax,N22coscos xy2sin2xcos2

F31.5[]A1.5[]A，Fmax,T sin2[][]，F2A4sin2sin20.9 10 20 1.132 2.334 30 1.333 1.732 36.8833 1.563 1.562 40 1.704 1.523 50 60 （0） Fmax,N（[]A） Fmax,T（[]A） 1.000 1.031 47.754 4.386 2.420 4.000 1.523 1.732 最大荷载随角度变化曲线5.0004.0003.0002.0001.0000.0000102030Fmax,N40Fmax,T5060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,T

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力

强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当60时，杆能承受最大荷载，该荷载为：

0Fmax1.732[]A

7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力

My12My12100.72106Nmm40mm 10.55MPa

Izbh3801603mm4*QSz10103N(8040)60mm30.88MPa 1Izb801603mm480mm12（2）写出坐标面应力 X（10.55，-0.88）

Y（0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x轴的夹角 作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

110.66MPa 30.06MPa 04.750

7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力； （2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a）]

解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）60。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

012025MPa， 12026MPa；120MPa，340MPa；000。

0031

单元体图 应力圆（O.Mohr圆）

[习题7-8（b）]

0

主单元体图

解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表10MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

6026MPa ，6015MPa；130MPa，330MPa； 0450。

00

单元体图

[习题7-8（c）]

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）30。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

06050MPa ，600；250MPa，350MPa。

0032

单元体图

[习题7-8（d）]

应力圆（O.Mohr圆）

主单元体图

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）0。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为1cm代表20MPa。按比例尺量得斜面的应力为：

04540MPa ，4510；141MPa,20MPa，361MPa；039035'。

00

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

平面应力状态下的两斜面应力

解：两斜面上的坐标面应力为：

A（38，28），B（114，-48）

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦，

应力圆

如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C 点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（x,0） 则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等 性质，可列以下方程：

(x38)2(028)2(x114)2(048)2

解以上方程得：x86。即圆心坐标为C（86，0） 应力圆的半径：

r(8638)2(028)255.570

主应力为：

1xr8655.57141.57MPa 2xr8655.5730.43MPa 30

（2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角） （上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0）

单元体图

应力圆

由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 应力圆半径：

轴得圆心C（50，0）

[习题7-15（b）]

解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

单元体图

应力圆

轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）

由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 应力圆半径：

[习题7-15（c）]

解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

单元体图

应力圆

由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

，如图所示。。已知材料

[习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 的弹性常数

，

方向的线应变为

。

，试求扭转力偶矩

解：

方向如图

[习题7-20] 在受集中力偶Me作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿45方向的线应变为450。已知材料的弹性常数E,和梁的横截面及长度尺寸b,h,a,d,l。试求集中力偶矩Me。

解：支座反力： RA0MeMe （↑）；RB （↓） llK截面的弯矩与剪力： MkRAaaMeMe；QkRA llK点的正应力与切应力： 0；1.5Qk3Me A2Al故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

1zy23Me12(xy)24x 22Al 20

3zy23Me12(xy)24x 22Altan202x

xy0450 （最大正应力1的方向与x正向的夹角），故

45101(13) E4503Me3Me13Me[(()](1) E2Al2Al2EAl2EAl4503(1)2Ebhl0

3(1)45Me[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0） 在XY面内，求出最大与最小应力：

maxzy212(xy)24x 2 max70301(7030)24(40)294.721(MPa) 22minzy212(xy)24x 2max70301(7030)24(40)25.279(MPa) 22故，194.721(MPa)，250MPa，35.279(MPa)。 单元体的形状改变能密度：

vd

1[(12)2(23)2(31)2] 6E10.3[(94.72150)2(505.279)2(5.27994.721)2]36200100.01299979MPa12.99979kNm/m3 [习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为[]170MPa，[]100MPa 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按a点的位置计算。

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

支座反力：RARB'1(550550408)710(kN) （↑） 2

=

Iz11240840323080032040746670(mm4)2.04103m4 1212（1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘

1Mmax710455034042870(kNm)

2Mmaxymax870103Nm420103mmax179MPa 34Iz2.0410m

超过

的5.3%，在工程上是允许的。

（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处

（3）在集中力作用处偏外侧横截面上校核点a的强度

的3.53%，在工程上是允许的。

超过

[习题7-27] 用Q235钢制成的实心圆截面杆，受轴向拉力F及扭转力偶矩Me共同作用，且

Me1Fd。今测得圆杆表面k点处沿图示方向的线应变30014.33105。已知杆直10径d10mm，材料的弹性常数E200GPa，0.3。试求荷载F和Me。若其许用应力[]160MPa，试按第四强度理论校核杆的强度。

解：计算F和Me的大小：

Me在k点处产生的切应力为：

max16MeT16T16Fd8F3 WPdd3d3105d2F在k点处产生的正应力为：

F4F2 Ad8F8F4F即：X（，），Y （0，） 2225d5dd广义虎克定律：

3001(0600) E302 xyxy2cos2xsin2

3002F2F8F(1543)F003cos60sin6013.96710F(MPa) 2222dd5d5d （F以N为单位，d以mm为单位，下同。） 6002F2F8F(543)F00cos(120)sin(120)1.228103F 2222dd5d5d14.3310514.33102133[13.96710F0.31.22810F] 320010F(13.9670.31.228]) 20010314.331026.7993105F

F2107.570N2.108kN

11MeFd2108N10mm2108Nmm2.108Nm

1010按第四强度理论校核杆件的强度：

x8F82108N10.741(MPa) 2225d53.1410mm4F42108Nx226.854(MPa) 22d3.1410mm1xy212xy4x

22126.85412226.85424(10.741)230.622(MPa)

20

326.85412226.85424(10.741)2

3.768(MPa)

1[(12)2(23)2(31)2] 21[(30.6220)2(03.768)2(3.76830.622)2]2

32.669(MPa)[]160MPa

符合第四强度理论所提出的强度条件，即安全。

[习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知l0.8m，F12.5kN，

F21.0kN，试求危险截面上的最大正应力。

解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压

性能相同，故只计算最大拉应力：

3式中，Wz，Wy由14号工字钢，查型钢表得到Wz102cm，Wy16.1cm。故

3 max32.5103N0.8m1.0103N0.8m79.1106Pa79.1MPa 6363210210m16.110m[习题8-2] 受集度为 q的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 300，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 E10GPa；梁的尺寸为l4m，h160mm，b120mm；许用应力[]12MPa；许用挠度[w]l/150。试校核梁的强度和刚度。

解：（1）强度校核

qyqcos30020.8661.732(kN/m) （正y方向↓）

qzqsin30020.51(kN/m) （负z方向←）

11Mzmazqyl21.732423.464(kNm) 出现在跨中截面

8811Mymazqzl21422(kNm) 出现在跨中截面

8811Wzbh21201602512000(mm3)

66Wy121hb1601202384000(mm3) 66最大拉应力出现在左下角点上：

maxMzmaxMymax WzWymax

3.464106Nmm2106Nmm11.974MPa 33512000mm384000mm因为 max11.974MPa，[]12MPa，即：max[]

所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。

（2）刚度校核

=

0.0202m[w]4/1500.0267m。即符合刚度条件，亦即刚度安全。

[习题8-10] 图示一浆砌块石挡土墙，墙高4m，已知墙背承受的土压力F137kN，并且

0与铅垂线成夹角45.7，浆砌石的密度为2.3510kg/m，其他尺寸如图所示。试取

331m长的墙体作为计算对象，试计算作用在截面AB上A点和B点处的正应力。又砌体的许

用压应力[c]为3.5MPa，许用拉应力为0.14MPa，试作强度校核。 解：沿墙长方向取1m作为计算单元。分块计算砌 体的重量：

P1(0.614)m32.359.8kN/m355.272kN

1P2(1.641)m32.359.8kN/m373.696kN

2竖向力分量为：

FvP1P2Fcos45.70

55.27273.696137cos45.70224.651(kN)

各力对AB截面形心之矩为：

AB之中点离A点为：1.1m，P1的偏心距为e11.10.30.8(m)

P2的偏心距为e2(0.61.6)1.10.0333(m) 3Fy的偏心距为e3(2.21cos68.20)1.10.729(m)

Fx的力臂为e41.50.51(m) MP1e1P2e2Pye3Pxe4

截面核心边界点坐标的计算(习题8-13) 55.2720.873.6960.0333137cos45.700.729137sin45.701

70.061(kNm) 砌体墙为压弯构件

AFvM224.651kN70.061kNm188.966kPa0.189MPa 21AWz2.21m12.22m36FvM224.651kN70.061kNm15.262kPa0.0153MPa 21AWz2.21m12.22m36B因为 |A|[c]，|B|[c]，所以砌体强度足够。 [习题8-11] 试确定图示各截面的截面核心边界。

[习题8-11（a）]

解：惯性矩与惯性半径的计算

IyIz1180080033.1454042.9961521010(mm4) 12641A8008003.145402411094(mm2)

42y2z2.9961521010ii7.2882406104(mm2)

A411094

Iy截面核心边界点坐标的计算 中性轴编号 中性轴的截距 ay 2iy iz2① 400 ∞ ② ∞ -400 ③ -400 ∞ ④ ∞ 400 az对应的核心边界上的点 1 2 3 4 核心边界上点 iz2y ay 72882 -182 0 182 0 的坐标值（m) z2iyaz 72882 0 182 0 -182

[习题8-11（b）]

解：计算惯性矩与惯性半径

Iy1110020035010036.25107(mm4) 121211Iz20010031005031.5625107(mm4)

1212A1002005010015000(mm2)

6.25107i4167(mm2)

A150002yIyIz1.5625107i1042(mm2)

A150002z截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 中性轴的截距 ay 2iy iz2① 50 ② ∞ ③ ④ -50 ∞ az ∞ -100 ∞ 100 1 2 3 4 对应的核心边界上的点 核心边界上点 iz2y ay 1042 -21 0 21 0 的坐标值（m) z2iyaz 4167 0 42 0 -42

[习题8-11（c）] 解：（1）计算惯性矩与惯性半径 半圆的形心在Z轴上， zc4R420085(mm) 333.14222 半圆的面积：

A0.5R0.53.1420062800(mm)

半圆形截面对其底边的惯性矩是

d4yc 的惯性矩：IyC1288R44R2R2R48R4()

83289R4，用平行轴定理得截面对形心轴

3.14200482004175062987(mm4) 893.14 IzC3.1420046.28108(mm4)

88IyCAIzC1750629872788(mm2)

62800R4 iy26.2810810000(mm2) iA628002z （2）列表计算截面核心边缘坐标

截面核心边界点坐标的计算(习题8-14b) 中性轴编号 中性轴的截距 ay 2iy iz2① 100 ∞ ② ∞ -85 1 ③ -100 ∞ 2 ④ ∞ 115 3 az 对应的核心边界上的点 1 核心边界上点 iz2y ay 10000 -100 0 100 0 的坐标值（m) z2iyaz 2788 0 33 0 -24

你妹啊。大进入如果很别扭人民内部南北向的空降兵和vfj u盾方发货吧该叫你呢 建峰化工

9-1(9-2) 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？

解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 与约束情况有关的长度系数。 （a） （b） （c） （d） （e） （f）

=1×5=5m =0.7×7=4.9m =0.5×9=4.5m =2×2=4m =1×8=8m =0.7×5=3.5m

最小，图f所示杆

最大。

成反比，此处，

为

故图e所示杆 返回

9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数

温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？

时安装在两个固定支座之间，

。试问当

解：

返回

9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力

的算式。

解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：

（b）两根立柱一起作为下端固定而上

端自由的体系在自身平面内失稳

失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。

（c）两根立柱一起作为下端固定而上端

自由的体系在面外失稳

故面外失稳时

最小

= 返回

。

9-4(9-7) 图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点， 。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。

解：杆DB为两端铰支 ，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故

返回

9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长 m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力 解：

，试求压杆的许可荷载。

m

返回

9-6(9-10) 如果杆分别由下列材料制成： （1）比例极限 （2） （3）

， ，

，弹性模量

，含镍3.5%的镍钢； 的松木。

的钢；

试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。

解：（1）

（2）

（3）

返回

9-7(9-11) 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm×150mm的正方形，长度

m，强度许用应力

。试求木柱的许可荷载。

解：

由公式（9-12a）， 返回

9-8(9-13) 一支柱由4根80mm×80mm×6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长

l=6m，压力为450 。若材料为Q235钢，强度许用应力 支柱横截面边长a的尺寸。

，试求

解： （查表：

，

）

，查表得：

m4

=

返回

mm

9-9(9-14) 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，

。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。

解：由型钢表查得

角钢：

得 查表：

故 返回

9-10(9-16) 图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为 用应力

的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许

，试求撑杆所需的直径d。

解：取I-I以上部分为分离体，由

，有

设

，

m

则

m。

求出的 与所设 基本相符，故撑杆直径选用 返回

9-11(9-17) 图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C，D两处均为球铰。已知

mm，

mm，

mm；

，稳定安全因数

，

，

。试确定该结构

；强度安全因数

的许可荷载。

解：（1）杆CD受压力

梁BC中最大弯矩 （2）梁BC中

（3）杆CD

（由梁力矩平衡得）

=