材料力学习题解答2-8章

2-1求图中所示各杆指定截面上的轴力，并绘制轴力图。 解：

a) b)

22F1F12F+-F1F1F22F32F32F2F++

c) d)

112kN14kN226kN33F5kN220kN310kN110kN5kN23+2kN+2kN-4kN-++10kN

题2-1图

2-2 求下图所示各个轴指定截面上的扭矩,并绘制扭矩图 解：

a) b)

12kN·m25kN·m33kN·m

15kN·m10kN·m230kN·m320kN·m123kN·m3+21320kN·m+-2kN·m-

15kN·m10kN·m20kN·m

题2-2图

2-3图中传动轴的转速n=400rpm,主动轮2输入功率P2=60kW,从动轮1,3,4和5的输出功率分别是P1=18kW, P3=12kW, P4=22kW, P5=8kW,试绘制该轴的扭矩图. 解:

T19549T2T3T2T218429.7Nm4006095491432.4Nm400 129549286.5Nm400229549525.2Nm40089549191Nm400M1M2M3M4M5429.7N·m+-1002.7N·m716.2N·m191N·m 题2-3图

2-4 求图中所示各梁指定截面上的剪力和弯矩,设q和F均为已知.

a ) b)

1A1lq2M=ql23C23lqlFA11lC2323lD4545BFl--ql2/2+FFl+

c) d)

-ql2/2

F=ql1M=ql2M=2ql2A11lC2323l44BAC122DBqlFQ图ql-3ql/2M图+FQ图-ql2+-qlql2/2M图-ql222ql

题2-4图

2-5试绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩的最大值.设F q l均为已知.

a) b)

2FAF=2ql2qlFQ图+lBA2l2F-Bl+F-2FlCFQ图3ql/2M图M图2+

c) d)

F2F

M=ql2qAl3FFQ图M图-4Fl+BlCA2lFQ图+ql/4M图C2lBF-49ql2/323ql2/2ql2/2+7ql/4Fl

e) f)

F=qlM=ql2qF=qlM=ql2/2qAlFQ图qlql-ql2/2M图-ql2+M图-ql2+-ql2lFQ图-lClql/2+qlql2/8ql2/2lBql/2

g) h)

q

Al/2FQ图ClBq=30kN/mA1mC1m10kN+--D1mq=30kN/mE1m30kN+-10kNB5ql/8+ql/2-3ql/89ql2/128-FQ图M图-ql2/45kN·m15kN·m

题2-5图

2-6不列方程,绘制下面各梁的剪力图和弯矩图,并求出剪力和弯矩绝对值的最大值.设F、q、l均为已知。

a) b)

qM=ql2qF=qlFM图15kN·mlFQ图-ql/2M图ql2/22lFQ图4Flll3F+2FFqlM图Fl3Flql2/2

13Fl/2

c) d)

qM=FlFl3ql/4FQ图M图+ql/4llFQ图FFlM图-ll9ql2/322ql/4+

+

e) f)

qF=2qlqF=qll2qlFQ图ql/2M图-l/2+3ql/2-ql2lFQ图qlM图ql2/22lqll+ql/4-

题2-6图

ql2

2-7绘制下图所示各梁的剪力图和弯矩图,求出|FQ|max和|M|max,并且用微分关系对图形进行校核.

a) b)

qAlql/6FQ图ql293MC=FlFAlFQ图+2F/3C2lMB=FlBBF/3-ql/3+-M图2Fl/3+Fl/3-FlM图

c) d)

F=2kNA1mFQ图-2kNM图2kN·m-1.5kN·m2kN·m1kN1kNB2mq=1kN/mF=2kNC1m2kN+D

qA2lFQ图MB=ql2BlClD-M图2ql2ql27ql2/2213ql/2

题2-7图

2-8试判断图中所示各题的FQ，M图是否有错，如有错误清指出错误原因并加以改正。

a） b） c）

AlBFAMAFBlAaFQ图-M图ClDFBaFQ图+F+FQ图M图MA/l--MA+F-Fl

M图

Fa

d） e)

F=70kNA1mFQ图60kN+10kN60kN·m+-50kN2mBq=15kN/mA4m36.4kNFQ图M图++MD=10kN·mCD0.5m1m23.6kNBM图-35.6kN44.16kN·m35.6kN·m

题2-8图

2-9 试根据剪力图，作出结构的支承（支承在A、C截面）和载荷情况图（梁上无集中力偶作用）

a) b)

45kNA2mFQ图30kNB1mCAFBl/3FCl/3+l/3D+15kNFQ图2F/3F/3F/3

题2-9图

2-10 已知梁的弯矩图如下，试分别在梁上绘出所受之外载荷（包括外载荷的类型、大小、方向）及剪力图，F,l为已知

a) b) c)

Al/2FQ图FM图--+Fll/2+BA2FBl/32FCl/3+-Fl/3+l/3DAF2Fl/3Fl/3Cl/3DBl/3+FFQ图FM图-FFQ图F+Fl/3M图+Fl/3-

Fl/3

题2-10图

2-11 作图中所示各梁的剪力土和弯矩图

a) b)

2kN/mA3mD2mCB2m4kN4/3kN2kN+-4kN·m-4kN·m-50kN·m50kN50kNB2m1m1mCE2mFQ图A2mD75kN++M图25kN25kN25kN·m

200kN·m

题2-11图

2-12 写出图中所示各曲杆的轴力、剪力和弯矩的方程式，并作弯矩图。设曲杆的轴线均为圆形。 解a) F02FNFcosFQFsinMFr(1cos)FNFcosFcosFQFsinFsinMFr(1cos)Fr(1cos)rFFQ

M2FQMFN

下面是轴力、剪力、弯矩图

F-F--FQ图F-2FlFlM图FlF+FN图 题2-12a图

解b)：由于结构对称，仅考虑上半部分。 AB段：FN0，FQqx，M12qx 2BC段：FNqrcos，FQqrsin，Mqr2(12sin)。

当2时，Mmax32qr 2

M 图题2-12b图

解c):如图所示约束反力,FAy当0当

24F, FBx22F,FBy2424F。

244时：FN24Fcos， FQFsin，M24Fr(1cos)

4时：FN2424FcosFsin(Q4)， FFr(1cos)Frsin(4)

FsinFcos(4)，

M按下表描图画出M图：

(0) M(×Fr) 0 0 22.5 0.0269 45 0.104 50 0.039 60 -0.082 67.5 -0.164 90 -0.354 112.5 -0.435 135 -0.397 157.5 -0.245 M 图

题2-12c图

2-13 作图2-44所示刚架的弯矩图

解a): FAx=3ql, FAy=2.25ql, FBy=2.25ql,

M 图

题2-13a图

解b): FAx=0, FAy=1.25ql, M=0.25ql2,

M 图

题2-13b图

解c): FAx=3kN, FAy=3kN, FCy=5kN

M 图(单位:kNm)

题2-13c图

解d): FAx=F, FAy=

24F, FBy=F 33

M 图

题2-13d图

3-1求图中所示杆各个横截面上的应力，已知横截面面积A=400mm2。 解a):

20103150MPa400 20401033100MPa400120kN240kN340kN120kN-2340kN+ 题3-1a)图 解b):

20103150MPa4002左50MPa

120kN130kN2240kN3350kN+2右101025MPa400310kN-20kN3左25MPa3右50103125MPa 题3-1b)图

400

3-2图中为变截面杆，如果横截面面积A1=200mm2，A2=300mm2，A3=400mm2，求杆内各横截面上的应力。 解a）:

10103150MPa20020103266.7MPa

300401033100MPa400解b):

320kN230kN2110kN3110kN+20kN-40kN题3-2a)图

1110kN2210kN+-30kN40kN33

1010103233.3MPa

30030103375MPa400

题3-2b)图

3-3 图示杆系结构中，各杆横截面面积相等，即A=30cm2，载荷F=200kN。试求各杆横截面上的应力。

BF解:(1)约束反力:

FAYFAXCA2m3mFDy3F150kN43F150kN 4F200kN4mDFDyFAXFAY(2)各杆轴力

FNABFAY150kN(拉)FNACFAX200kN(拉)FNCDFD150kN(压)22FNACFNACFNCD20021502250kN(压) 题3-3图

(3)各杆的正应力

ABCD15010320010350MPa(拉),AC66.7MPa(拉)300300 33150102501050MPa(压),AC83.3MPa(压)3003003-4钢杆CD直径为20mm，用来拉住刚性梁AB。已知F=10kN，求钢杆横截面上的正应力。

解:

F(11.5)FNCD35.4kN1cos45o FNCD35.4103CD112.7MPa(拉)2d20244D1mCA1m1.5mF 题3-4图

3-5图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm和20mm，试求两杆内的应力。设结构的横梁为刚体。

2m2A11mD10kN10kNBCFBYFCyFCXF2AF11mD1mFByBB1m1.5mC解:取BC段分析，

2m题3-5图

MB0,FCx0,FCy0,FBY10kN

取AB段分析:

MB0,F110kN,F220kN

1F1d12101034127.4MPa,41022F22d220103463.7MPa

42023-6 直径D50mm的圆轴，受到扭矩Mx2.15kNm的作用。试求在距离轴心10mm处的切应力，并求轴横截面上的最大切应力。 解:见例3-3

3-7 阶梯圆轴上装有三只齿轮。齿轮1输入功率P130kW，齿轮2和齿轮3分别输出功率

P217kW,P313kW。如轴作匀速转动，转速n1φ40φ70200rpm，求该轴的最大切应力。

2 12321

1432.35N·m

620.68N·m+

题3-7图 解:

T19549T29549T39549Wp1P30195491432.35Nmn1200P2179549811.67Nmn2200P3139549620.68Nmn3200

d13403161616M1620.68103M21432.35103149.42MPa,221.28MPaWP112560WP267313.75max不在Mmax的截面上

3-8 设圆轴横截面上的扭矩为Mx，试求四分之一截面上内力系的合力的大小、方向和作用点。

12560mm,WP2370367313.75mm3

MXθdAρτ 解: 题3-8图

取dAddFYAcosdA4d220032Mxcosdd4d24Mxsin4Mxd03d3dd32MxFVxAsindA22sindd00d444Mxcos4Mxd03d3d42Mx2FF2Fxy3dM3dFCXc416223-9图中所示一个矩形截面的悬臂梁，受到集中力和集中力偶的作用，试求1-1截面和固定

端截面上A、B、C、D四点的正应力，已知F=15kN，M=20kN·m 解: 1-1截面上

1803003IZ4.05108mm412My20106150A7.41MPa 8IZ4.0510F751m3m+2mF=15kN15kN·m+B3.71MPa,C4.94MPaD7.41MPa固定端截面上:

6Dy18025101509.26MPa25kN·m 题3-9图 4.05108B4.63MPa,C6.17MPa,D9.26MPaA

3-10 图中所示铸铁梁，若h=100mm，δ=25mm,欲使最大拉应力与最大压应力之比为1/3，试确定b的尺寸。 解:

50Cz300MAB

根据分析知，梁截面上压下拉。如图对截面建立坐标系，h1位形心位置752525)b2522h17525b254687.512.5b 75bMh1M(100h1)则拉压IzIz7525(又δδb拉1/3压b225mm 题3-10图

3-11某托架如图所示，m-m截面形状及尺寸见图b，已知F=10kN，试求： （1）m-m截面上面的最大弯曲正应力； （2）若托架中间部分未挖空，再次计算该截面上的最大弯曲正应力 题3-11图 解：m-m截面上弯矩为： M10107607.610Nmm 3616020320160321602090]58.9106mm4 （1） Iz12[1212'maxMy17MPa Iz1（2）Iz21602032040322[1602090]40206021212My17.3MPa Iz258106mm4

''max3-12试计算在图中所示均布载荷作用下，圆截面简支梁内最大正应力和最大切应力，并指

出它们发生于何处?

h

解:

MM3212.5106max101.2MPa

WZd25024325kNAC1mBDφ504FQ45103max23.4MPa

3d350244+5kN12.5kNm+最大正应力发生在梁中点截面的A、B两点，

最大剪应力发生在梁中点截面的CD直径上。 题3-12图

3-13 试计算图中所示工字型截面梁内的最大正应力和最大切应力。 解:

10kN20kNNo.16maxMmaxhIZ62208010142MPa

11301042m15kN2m+10kN2mMAX151018.1MPa

IIzb13.8106Zb*SZFQS*ZFQ310kN·m-

1mm10

FQ800N55*Sm105()250mm32255SZ10(5)[(5)/2]281.25mm32210153IZ2812.5mm412题3-14图

555 20kN·m 题3-13图

3-14 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，F=800N，试求胶合面上的切应力和横截面上的最大切应力。 解: F

FQSZ281.258002508008MPa 17.1MPa、2maxIZb2812.510IZb2812.510

3-15一钢制圆轴，在两端受平衡力偶的作用，其力偶矩为T=2.5kN·m，已知轴的直径为d=600mm，试求该横截面上的最大切应力。如果将实心圆轴改为外直径D与内直径d之比为1.5的空心圆轴，仍然受到同样大小的力偶矩的作用，试求使空心圆周和实心圆轴的τmax相等时，空心圆轴比实心圆轴节省多少材料。 解：实心：

*FQSmMxMx2.5106max359MPa

Wp1d实6031616空心：

Wp2(D3d3)16d3D16[(d)1]3133d3162.375

Wp260163,60所以 d2.37545mm

212dA空4[(d)1]452（1.521）0.7 2A实602d实4

3-16图中所示为两根悬臂梁，a梁为两层等厚度的梁自由叠合，b梁为两层等厚度的梁用螺栓紧固成为一体，两梁的载荷，跨度，截面尺寸都一样，试求两梁的最大正应力σmax之比。

题3-16图

Fl解：a梁：每层梁所受Mamax2Flb梁：只有一层 Mbmax2bh2Wza

6b(2h)2Wza

6MaamaxbWzaMbmaxFlb4bh222:1 Wzb2bhFlb

3-17有一矩形截面的钢杆其截面尺寸为10050mm，在杆的两端作用着一对大小为

T3kNm的力偶矩作用，G80GPa。试求作用杆横截面上的最大切应力。

解：矩形截面扭转

M3106max248.8MPa

2bh0.246502100其中b=50mm，h/b=100/50=2，0.246

3-18圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径为d18mm，弹簧平均直径为D125mm。如弹簧所受拉力F500N，试求簧丝的最大切应力。

（1）max4F8FD4500850012529.27MPad2d2182183D1.211.23(2)c6.94,k1.23(6.946.5)1.215d76.5

8FD500125maxk31.21533.2MPad183D(3)125/186.9410用修正公式计算d3-19试求图3-60中AB杆横截面上的最大正应力。已知F120kN,F230kN,l1200mm,

l2300mm，b100mm。

扭弯组合

NF1F2302050KNM30300202005000KNmm3.5mN500010350103max305MPa25wA10010036b31003w66

3-20矩形截面折杆ABC，受图3-61所示的力F作用。已知arctan(43),al/4,l12h，

Ab21002

bh/2。试求竖杆内横截面上的最大正应力，并作危险截面上的正应力分布图。

+

题3-20图

解:FxFcos0.6F,FyFsin0.8F

h2hbhh32W66122hh2A6hh

22竖杆A截面上的弯矩和轴力为:

MAFyaFxl0.8F3h0.6F12h4.8FhFNAFy0.8F

'0.8FF1.6,22hh2''4.8FhF57.6 32hh12FFF1.659.2h2h2h2

FFFmax57.621.62562hhhmax57.63-21柱截面为正方形，受压力F作用。若柱右侧有一个槽，槽深为a/4，试求：（1）、开槽前后柱内最大压应力值及其所在位置；（2）、如在柱左侧（与右侧相对）再开一个相同的槽，此时柱内压应力有多大？ 解:(1)开槽前轴向压应力

NF2 Aa距离Yc=

（2）右侧开槽后为偏心受压，作用于点c距形心z轴的

a,将力向点O简化 8Fa 8

FNF,.MZFyc3a(a)33a29a44 A1 题3-21图 Iz412256所以：

'F4F2A13a.''MzyFa2564y Iz89a最大压应力在槽底上各点：max332Fa4F88F 3a29a33a2（3）如果在左侧也开槽，则为轴心受压：A1aa2F2F 2aa23-22图示短柱受载荷F1和F2作用，试求固定端角点A、B、C及D的正应力，并确定其中性轴的位置。

拉应力区压应力区中性轴

题3-22图 题3-22图解：在ABCD平面上的内力：

FQYF25kN,MZF260051066003106Nmm65MyF1252510256.2510Nmm,FNF125KN

横截面的几何特性：

A1501001.510mm,Iy1001501.25107mm4122421001503Iz2.81107mm4,12

应力计算：

25103N1.67MPa41.510MzY3106yMZ0.107MPa7IZ2.8110MYZ6.25105ZMY0.05MPa7WY1.25101.670.107y0.05z中性轴方程为：1.670.107y0.05z0

当y0.z0.az33.4mmay15.6mm

ABCD1.670.107750.05508.86MPa1.670.107750.05503.86MPa1.670.107750.055012.2MPa 1.670.107750.05507.2MPa3-23图3-64所示为一简易悬臂式吊车架。横梁AB由两根10号槽钢组成。电葫芦可在梁上来回移动。设电动葫芦连同起吊重物的重量共重W9.5kN。材料的E200GPa。试求在下列两种情况下，横梁的最大正应力值：（1）、只考虑由重量W所引起的弯矩影响；（2）、考虑弯矩和轴力的共同影响。

题3-23图

解：当电动葫芦运行到AB中点时，梁AB中弯矩最大。 （1）只考虑由重量W所引起的弯矩影响

Wl9.51034103Mmax9.5106Nmm44 WZ39.7cm3Mmax9.5103maxW239.7103119.7MPaZ(2)考虑轴力与弯矩共同影响

AB所受轴力：FNW44W9.51031.27104N tg33

A12.74cm2maxmaxN119.74.98124.7MPa

3-24图3-65所示为一矩形截面柱，受压力F1和F2作用，F1=100kN，F2=45kN。F2与轴线有一个偏心距yp200mm,b180mm,h300mm。试求max与min。欲使柱截面内不出现拉应力，问截面高度h应为多少？此时的最大剪应力为多大？

题3-24图

解：A-A截面上内力为：FNF1F2100451.4510N5

MzF2yp452009000KNmm9106Nmm

截面的几何性：

Abh1803005.410mm42bh21803002WZ2.7106mm3

66

FN1.451052.685MPa4A5.4106M910YM''3.333MPa6WZ2.710'max'''3.3332.6850.648MPamax'''3.3332.6856.02MPa

欲使柱截面内不出现拉应力,则有：

maxMN＝0 （a）

bh2180h2WzIz30h266Abh180h

9106m 230hN1.45105

180h91061.451050 分别代入（a）式得：2180h30h解之得：h372.4mm

此时：maxMN2.1632.1634.33MPa

3-25 传动轴上装有甲、乙两个皮带轮，它们的直径均为D600mm，重量均为F2kN，其受力情况如图示。若轴的直径为30mm。试分析该轴的危险截面和危险点，计算危险点的应力大小，并用图形标明该点所受应力的方向。

甲轮甲轮乙轮乙轮

(水平面内)(垂直平面内)

题3-25图

解：计算简图如图a)所示，

MBxMDx(62)0.61.2KNm 2FByW2KN,FBz628KN

FDy62210KN Fay=1kN, Fcy=13kN, Faz=Fcz=4kN

轴的扭矩图、水平面内和垂直平面内的弯矩图分别如图b)、c)和d)所示。 轴截面的几何特性计算：

Ad243024706.5mm2WpWzWyd3322.650103mm3d3

165.30103mm3危险点在B截面上的E1和E2点上，

MmaxMymaxMzmax1.220.321.24kNm

maxMmax467.8MPaWymaxMx226.4MPa Wp

3-26 一圆截面悬臂梁，同时受到轴向力、横向力和扭转力矩的作用。（1）、试指出危险截面和危险点的位置。（2）、画出危险截面上危险点的应力方向示意图。

题3-26图

解：危险点在B截面的最上和最下面的两点上。

3-27 图3-68为某精密磨床砂轮轴的示意图。已知电动机功率P3kW，转子转速

n1400r/min，转子重量W1101N。砂轮直径D250mm，砂轮重量W2275N。磨削

力Fy:Fz3:1，砂轮轴直径d50mm，材料为轴承钢。试表示危险点的应力方向，并求出危险点的应力大小。

(水平面内)(垂直平面内)

题3-27图

解：计算简图如图所示， 电机传递的扭矩 T9.549P3954920.5Nm N1400根据力矩平衡：FzZPT 22T220.46103Fz164ND250Fy3Fz3163.7492N FyW2492275217N内力图如图所示。截面的几何特性计算：

Wpd3162.45310mm43WzWyd33212.27103mm3

危险点面在A面的D1和D2点，则合成弯矩为：

MmaxMymaxMzmax1.220.3235.35kNm

maxMmax2.88MPaWymaxMx0.84MPa Wp

3-28 圆截面短柱，承受一与轴线平行但不与轴线重合的压载荷F作用，圆截面半径为r，现要求整个截面只承受压应力，试确定F作用的范围。 解：压力引起的压应力：N而 WyF r2d332r34

MMy;WyFZC4FZC 33rr4maxNmax解之得 Zc=

4FZCF0 r2r3r 424-1 图4-13所示钢杆横截面面积为A100mm，如果F20kN，钢杆的弹性模量

E200GPa，求端面A的水平位移。

解：（一）绘制轴力图 （二）计算：

FF2FFNiliF(2l1l22l3)EAEA20103(21000100021000)3200101005mm(伸长）l2F2FF+++ 题4-1图

4-2拉杆如图4-14所示，求该杆的总伸长量。杆材料的弹性模量E150GPa。

题4-2图

解：

FNili1510315015103250l33EAi1501020201501020103.751021.251011.625101mm0.1625mm

4-3 相同材料制成的AB杆和CD杆（图4-15），其直径之比为dAB/dCD1/2，若使刚性杆BD保持水平位置，试求x的大小。 解：

（一） 求反力

FABxFCDFAB(lx)FlFCDxFl（二） 根据条件求解 题4-3图

lABlCDFlFAlACCEAAAECAC1lx4则：xl4x52FAAArA即：2FCACrC

4-4 图4-16所示一均质杆，长为l，横截面面积为A，杆重W，材料的弹性模量为E，求杆端B及中间截面C在自重作用下的位移。 解，如图

l(lx)qdxN(x)dxqlq2x2lB(lx)dx[l]lEA(x)0EAEA0EA20lAql22EAqlWllBWlEAN(x)dxq3ql23Wl2lA(lx)dxlEA(x)0EA8EA8EAdxBx 题4-4图 4-5 试计算以下各题刚性梁AB的B处位移（图4-17）。其它杆件为弹性杆，刚度EA。 （a）

qCC'BB'求反力：MA024lq2ll0故：FDCql224ql2l4ql22CD'EAEA42ql282ql2CC'则B点的位移：BB'2CC'EAEAFDCAFDCDD'

4-5（b）

D计算CD杆反力：MA03F3l0故：FDC3F2F2l23Fl则：EC'DCEAEA根据图的关系：FDC2lCC'3EC'2CC'4FlEAB点位移：BB'36FlCC'2EADACBFB'BAFO1Aδ1FO1CECC'FO2Cδ24-5（c）

δ3(一）受力分析，反力计算MM1CD00FO1AFF2lFO1C2l0因此：FO1C2F(二）求变形FO1AlFlEAEAF2l22F2lFl2O1C222EA2EAEA312(21)322142FlFlFl(421)EAEAEA

4-6 求图4-18所示节点B的水平位移和竖向位移。AB杆和BC杆的抗拉刚度EA相同。 解：

CFBC根据静力学容易求得：FABF由BDFlEAFBC2FBEFlEA2F2l2FlEAEAAFABB则：BxBDBEG 题4-6图

DBy2BEHF2FlFlFlHF22(122)2EAEAEA

4-7 在图4-19所示结构中，AB为水平放置的刚性杆，1、2、3杆材料相同，其弹性模量

E210GPa，已知l1m，A1A2100mm2，A3150mm2，F20kN。试求C点的水平位移和铅直位移。 解：

根据静力学容易求得：1AA'23ΔCyΔCxBB'F1F2F2Fl2001030.51000AA'0.476mm32EA21010100Cy0.476mmCxCytg4500.476mm

4-8 求习题3-6中的单位长度扭转角。已知 G=90Gpa。 解：

IPD432Mx2.1510332203.910rad/m(2.24/m)94GIP90103.14160.05

4-9 求习题3-7中的最大单位长度扭转角和齿轮1和齿轮3的相对扭转角。已知齿轮1和齿轮2的间距为0.2m，齿轮2和齿轮3的间距为0.3m，G=90Gpa。 解：

Mx9550Pn301.432103Nm20017M295508.118102Nm20013M395506.208102Nm200M11.43210332120.755103rad/m(0.3870/m)94GIP90103.140.07M1955023M36.208102322.746102rad/m(1.570/m)94GIP90103.140.04因此max2.746102rad/m13120.2230.39.589103rad(0.550)

4-10 一钻探机的功率7.355kW，转速n180r/min，钻杆外径D60mm，内径

，试d50mm，钻入土层40m，如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶（图4-20）

求此杆两端面的相对扭转角。钻杆G80GPa。

解：

3.140.06450IP(1)[1()4]6.587107m4323260GIP801096.5871075.2701044D4Mx7.3559550/1803.902102mxdx0.5ml20GIGIPPl其中：mlMxMxl3.90210240故：0.481101rad(8.480)4GIP25.270102

4-11 一直径d25mm的钢圆杆，受轴向拉力60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.113mm。当它受一对矩为0.2kNm的外力偶作用而扭转时，在标距200mm长度内相对扭转了0.732的角度，求钢杆的E、G、。 解：

FlENlAIP200601032.16105MPa216GPa3.140.1132524D432Mxl0.21030.210G8.17210Pa81.72GPaIP3.8331081.277102E216110.322G281.723.833108

4-12 全长为l，两端面直径分别为d1和d2的圆锥形杆，两端各受力偶T作用而扭转（图4-21），求两端面间相对扭转角。

解：

11dx(xd2ld1xd1)d1x(d2d1)lllM(x)Ml3232Tl1dxxdxdx0GI0011GG44P[d1x(d2d1)][d1x(d2d1)]ll(Kd1)l1令Kd1x(d2d1)则:xl(d2d1)上面积分转换为：32TGd2d1xLd2d1(Kd1)l32TlK332Tl114Kd()(33)(d2d1)G(d2d1)3dG(d2d1)d1d21d22(d2d1)(d12d1d2d2)32Tl32Tl2(d12d1d2d2)33333G(d2d1)d1d23Gd1d2

4-13 求例3-5中的单位长度扭转角。已知G=80Gpa。 解：

已知：h=100mm，b=45mm，T=2kN·m，G=80GPa；

MxGhb3其中，和h/b有关h/b2.2，插值h/b2.0，0.229，h/b2.5，0.2492.22.00.229（0.2490.229）0.2372.52.02103201.15710rad/m0.66/m9380100.2370.10.045

4-14 用积分法求图4-22所示各梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和转角。各梁EI均为常数。 （a）解：

由挠曲线方程：

MABxM(x)MEIZM(x)dxCMdxCMxC当x0，A0，故C0故：MxEIZM-maxBMlEIZ11EIwMx2CxDMx2D22当x0时，wA0，所以D0Mx2w2EI

（b）解：

qwmaxMl2wB2EIM(x)q(xlx2)2q/212ql8q/2qEIZM(x)dxC(xlx2)dxC2q111x2lx3qCqlx2qx3C464611EIZwqlx3qx4CxD1224当x0时，w0,D0lql3当x时，0，从而，C2245ql4ql3则,wmaxwlmaxAB384EI24EI2Z

4-15 用叠加法求图4-23所示梁的C及wB。设EI均为已知常数。 （a）解：

求：C,wB.（一）求CMql2qcCC1C2C3C4C1(B')C2(B')C3(B')C4(C')ql30.5ql2lql3ql3()2EIEI6EIEIql36EIBMql2(1)(B')qql（二）求wBwBwB1wB2wB3wB4(ql)l3(0.5ql2)l2ql2l21ql4)(3EI2EI2EI8EI45ql41111ql24EI3428EI

4-15(b)解

(2)(B')+12ql2(3)(B')qw'(4)（一）CFlBFCCC1C2FlFl2l3Fl2EIEI2EI22(1)Fl（二）求 wBFl3Ml2wBwB1wB23EI2EIFl3Fl3Fl33EI2EI6EI

C(2)

4-16 用叠加法求图4-24所示梁的最大挠度和最大转角。 4-16(a) 解

（一）最大转角2EIACFCCEIFBFlFBFlBmax1FB1B2BFl2FllFl2111Fl25Fl2()2(2EI)2EI2EI422EI4EI（二）最大挠度FlFFlwBw1FCw1C1Cl1Clw2BFl3Fll2Fl2(Fl)lFl3ll3(2EI)2(2EI)2(2EI)2EI3EI11111Fl33Fl3()64423EI2EI

4-16（b）解

qADlCl/2qwB1θB1θB2wB2B(1)Blq()33qlB126EI48EIql3B224EI12qllql38B33EI24EIθB3wB3BB1B2B3(2)wBql348EIllB322wBwB1wB2wB3wB1B1lq()4ql42wB18EI128lql3lql4wB2B2224EI248EIlql3lql4wB3B3224EI248EIql4故:wB128(3)经过验算，wDwBA,ＣBmaxB,wmaxwB

4-16（c）解

qAB(1)求AdA(qdx)x(lx)(llx)qx(lx)(2lx)dxdxx(3/8)ql-(1/8)ql+

6EIl6EIlllq26EIlx(lx)(2lx)dxq6EIll2xlx314x42A00q9436EIl364lql3128EI(2)求Bd(qdx)x(lx)(lx)B6EIlq6EIlx(lx)(lx)dxlq23q7347qlB206EIl(lxx)dx6EIl64l384EI(3)wmax根据Q,M图，wmaxwC3qx2lMqlxx82x[0,2]18qlxx[l2,l]M位于[0，lmax2]11312xEIM(x)dxC1EI(8qlx2qx)dxC11EI(316qlx216qx3)Cl1x[0,2]当x0时，3ql33ql30128EI因此C1128EI所以1EI(316qlx216qx3)3ql3x128EIw1EI(348qlx124ql4)3ql33x128EIx5ql4则wl2768EI当x0时，wxwmax即：x0.46l代入：w5.04ql4max768

4-16(d)

maxAc qql Aql3ql35ql3AA(q)A(ql)C 24EI16EI48EIB wmaxwBl/2l/2 5ql4ql413ql4wBwB(q)wB(ql) 题4-16(d)图

38448EI384

4-16(e)

q ql13maxB 6EIACBl2 l1ql14ql13wmaxwCwBBl2l2

8EI6EI 题4-16(e)图

ql13(3l14l2)

24EI

4-16(f)

34 qlqlq1w1 6EI8EID A3q3ql33ql4CB32(2l)w2 128EI16EI16EI2ll 12qql2l ql3ql423w3w 13EI3EI3EIq

5ql3w2maxD123

163EI

(1/2)ql213ql4 wmaxwDw1w2w33w348EI

题4-16(f)图

4-17 工字形截面Ⅰ的20b简支梁受载如图4-25所示，E200GPa，求最大挠度。 解：

10kNIx2500cm42500104mm44kN/m

E200GPa AB435qlFl Cwc 38448EI3m3m 5(4103/103)(6103)4 3842001032500104 题4-17图 10103(6103)3

482001032500104

1222.5mm

4-18 用叠加法求图4-26所示杆C截面沿铅垂方向位移。已知各杆抗弯刚度EI。

4-18(a)解

q

ACBD 2lll FXCCF=ql FBD

qYC

AF=ql

题4-18a）图

4-18(b)解

M=ql2q A BCD q FXC FlYCFMYD

w1

ql/2w 2 w3 q w4

w5 题4-18b）图

Fycqlwcwc(q)wc(F)q(2l)4ql(2l)38ql48EI3EI(23)EI2ql43EIMD0FYCql/2ql3ql4w11l3EIl3EIql4w26EIql4w33EIwql448EIql4w53EI5ql4wCw1w2w3w4w58EI1max0432xCBlA 0446.7685244816],0[8Q,38464712833649426)()1(CqxqlxMwEIqllxdxqEIllxqdxd

4-19 用叠加法求图4-27所示折杆自由端C的铅垂位移、水平位移和转角。已知EI为常数，不考虑轴力的影响。 解：

223 Ml(Fl)lFlFFCX(向右) Fl2EI2EI2EIC BFl2B EIC' CYBl(wcP)BC Fl2Fl34Fl3 l(向下)EI3EI3EI AFl2Fl23Fl2 CBCF(顺时针)EI2EI2EI

5-1构件受力如图5-26所示。试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。

BTAd2TFTAAdB3T（b） AdBTFdFlTF（a） （c） （d）

题5-1图

解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；

2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。

b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；

2）应力状态见下图。

c) 1) 危险点： A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；

2）应力状态见下图。

d) 1）危险点：杆件表面上各点； 2）应力状态见下图。

4Fd2AA16T3d64Fl16T33ddA4Fd2A32T3da) b) c) d)

5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。

504020303030103020105040

c)

a) b) 题5-2图

解： a) 1=50 MPa, 2=3=0,属于单向应力状态

b) 1=40 MPa, 2=0, 3=－30 MPa，属于二向应力状态 c) 1=20 MPa, 2=10 MPa, 3=－30 MPa，属于三向应力状态

5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。

3020405030°30°204030301030°

a)

b)

题5-3图

解：

a) 取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：

 x=50MPa , y=30MPa , x=0, α=－30

c)

带入式（5-3），（5-4）得

xy2xy2cos2xsin2

=45MPa

xy2sin2xcos2

= -8.66MPa

b) 取水平轴为x轴，根据正负号规定：

x= -40MPa , y=0 , x=20 MPa , α=120

带入公式，得：

400400cos24020sin240=7.32MPa 22400x=sin24020cos240=7.32MPa

2c) 取水平轴为x轴，则

x= -10MPa , y=40MPa , x= -30MPa,α=30

代入公式得：

10401040cos60(30)sin60=28.48MPa 221040x=sin6030cos60=-36.65MPa

2

5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。试用解析法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

4060°100406020306060°604045°

a) b)

题5-4图

a) 解：（1）求指定斜截面的上应力

c)

 取水平轴为x轴，则 x=100MPa , y=40MPa , x=40MPa,α=45

带入公式，得:

1004010040cos9040sin90=30 MPa 2210040=sin9040cos90= 30MPa

2

(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

maxminxy2xy22 x2212010040100402= MPa 402022按代数值123 得

1120 MPa，220 MPa，30 MPa 由公式（5-7）可求得主应力方向 tg202x2401.33

xy10040 20=53.13 ，0=26.57

最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57

3）最大切应力

由公式（5-20） max132120060MPa 2 b）解： （1） 求指定斜截面上的应力

 取水平轴为x轴，x=60MPa , y= -20MPa , x= -30MPa,α= -30

代入公式得:

60(20)60(20)cos(60)30sin(60)=-14.02MPa 2260(20)=sin(60)30cos(60)= -49.64MPa

2(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

maxminxy2xy22 x227060(20)60(20)2MPa (30)3022按代数值123 得

170 MPa，20 MPa，330 MPa

由公式（5-7）可求得主应力方向 tg202x300.75

xy60(20) 20=36.87 ，0=18.43

最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57 如图所示：

3）最大切应力 由公式（5-20） maxc)解:

取水平轴为x轴，则

13270(30)50MPa

2x=60MPa , y=0 , x= -40MPa,α= -150

代入公式得：

600600cos(300)(40)sin(300)=79.64MPa 226040x=sin(300)40cos(300)=5.98Mpa

2(2) 求主应力及其方向，由公式（5-8）得：

maxminxy2xy222x 2806006002MPa (40)2022按代数值123 得

1120 MPa，220 MPa，30 MPa

由公式（5-7）可求得主应力方向 tg202x2404

xy6003 20=53.13 ，0=26.57

最大主应力1的方向与x轴正向夹角为逆时针26.57



如图所示：

3）最大切应力

由公式（5-20） max13280(20)50

25-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。试用图解法求：(1)指定斜截面上的应力；(2)主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；(3)最大切应力。

205045°20302030°204030°10

a)

b)

题5-5图

解：(1)求指定斜截面上的应力

由图示应力状态可知x=40MPa , y=20MPa , x=10MPa, y=-10MPa

由此可确定-面内的D、D’两点，连接D、D’交于C 。以C 为圆心，DD’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：

c)

xE=60MPa，yE=3.7MPa

（2）求主应力及其方程

应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：

xA=max=44.14MPa，xB=min= 15.86Mpa

按照 123得约定，可得三个主应力为：1 =44.14MPa，2 =15.86MPa，3 =0MPa

由D转向A 的角度等于20。量得 20=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。

（3）最大切应力等于由13画出的应力圆的半径max=22.07MPa b)解：首先做应力圆：其中 D（0，-20） D（50，+20）

1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D逆时针量20=90得E点： xE==5MPa，yE==25Mpa

''

2) xA=max=57MPa， xB=min= -7Mpa

按照123得1 =57MPa，2 =0MPa，3 = -7MPa 主应力方向：最大主应力与y轴夹角为3) 最大切应力等于由

1D'CA19.33（顺） 21,3画出的应力圆的半径： max32MPa

'(c)解： 由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和 D（30，-20）

连DD'交轴于C, 以C为圆心，DD'为直径作圆， 即为应力圆，如图所示

1） 斜截面与x轴正方向夹角为 60 (顺), 因此由D顺时针量120得E点 xE==34.82MPa， yE==11.65MPa

2） 主应力及其方位

应力圆与轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：

xA=max=37MPa， xB=min= -27Mpa 因此1 =37MPa，2 =0MPa，3 = -27MPa

由D'到A的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。

3） 最大切应力为由1,3画出的应力圆半径max32MPa

5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。试求：(1)梁上各指定

点的单元体及其面上的应力；(2)作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。

F=500KNABC10025050050050200 题5-6图

解：

1） 各点的单元体及应力

由梁的静力平衡求得FAFB250kN

A,B,C三点所在截面上的弯矩M250100.2562500Nm 剪力FQ250 kN

3AM62500Pa=93.75MPa（压应力） W10.10.226BA46.875MPa（压应力）

3250103Pa18.75MPa C20.10.212BC14.06MPa

2） 作各单元体的应力圆

A点：10,20,393.75MPa，max=46.875MPa

34xB350.7MPa，max=27.3MPa 20，B点： xA13.9MPa，

3= -18.75 MPa，max=18.75MPa xB20，C点： xA118.75MPa，

5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。

204050301203030205050

a) b)

题5-7图

c)

解：

a) 主应力150 MPa， 由于其它两方向构成纯剪切应力状态， 所以有， max132=50MPa。

b) 一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示 x=30MPa， y= -20MPa，x=20MPa 代入公式（5-8）

3730(20)30(20)220 MPa 2722所以1 =50MPa，2 =37MPa，3 = -27MPa

2max=

132个

=

502738.5MPa 2主

应

力

为

-30MPa

，

其

余

两

b) 一

http://auction1.taobao.com/auction/35-50005958-50005962/item_detail-0db1-937fe7561f213e622409356568e36c98.jhtml方向应力状态如图所示 取 x=120MPa， y= 40MPa，x=-30MPa

代入公式maxminxy2xy222 x213012040120402MPa (30)3022所以1 =130MPa，2 =30MPa，3 =-30MPa

max=

13130(30)=80MPa 22

5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。

σ

στ题5-8图

τ

解：

a) 三个主应力为1,230 三向应力圆可作如下

b) 这是一个纯剪切应力状态1,20,3

其三向应力圆为

max=τ

三向应力状态：一个主应力为零

先做一二向应力状态的应力圆，得1,3再由1,2和2,3分别作应力

圆

三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态

212

232

5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。

50τ120°

题5-9图

解：

画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则

 x=？ , y=50MPa , x=？，α=30时=80MPa, =0

代入式（5-3）（5-4） x50x5022cos60xsin60

=80Mpa

x502=0

sin60xcos60

x=70MPa , x=103 MPa

可做应力圆如图所示

由应力圆可求的三个主应力分别为

1 =80MPa，2 =40MPa，3 =0MPa

最大切应力为max=40MPa

5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力τ和三个主应力。

A45°B15Cτ15

题5-10图

解：

画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴

则x=15MPa , y= -15MPa , x=τ，α=135时=0, =0 代入式（5-3）（5-4）

(15)(15)(15)(15)cos270xsin270

22(15)(15)sin270xcos270

2=0

=0 (自然满足) 由上式解得x=15MPa 主应力可由公式（5-8）求

maxminxy2xy22x 220(15)(15)(15)(15)2MPa (15)3022因此三个主应力为 ：1 =0，2 =0，3 =-30MPa

max1320(30)15MPa 25-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。

ττAAτ200σAOCσ-30O30O200στa) τb) c) τAAAoσ60°σσ105070-10o1050-30o30

d) e) f) 题5-11图

5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。已知x80MPa, y40MPa,50MPa。试求主应力和最大切应力。

σασx60°ταττσxxyσy

题5-12图

解：

x=80MPa , y=40MPa , x=τ，=50MPa, α=60

将以上已知数据代入公式（5-3） 508040280402cos120xsin120 x=0

再把x，y，x代入公式（5-8）求主应力

2

yxymaxxmin222 x80402802804022040MPa 因此三个主应力为 ：1 =80 MPa，2 =40 MPa，3 =-0MPa

：

max=

132=40MPa

5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面α和β上的应力分别为40MPa,60MPa；200MPa,60MPa。试作应力圆，求出圆心坐标和应

力圆半径R。

σαταβασβτβ

题5-13图

解：

已知=40MPa,=200MPa,=60MPa,=60MPa

由上面两组坐标可得应力圆上两点D1,D2,连D1D2,作其垂直平分线交σ轴于C点，以C为圆心，CD为半径作圆即为所求应力圆。

由图中几何关系可得圆心坐标C(120,0)

半径 R602802=100

5-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变和。试求所受拉力F。已知材料弹性常数E、ν，圆杆直径d。

ε''K

ε'F

题5-14图

解：

围绕K 点取单元体，两截面分别沿 ε’和ε” 方向。 如下图所示

1xy E1 yx

E 由广义胡克定律 联求解得 xE'E\" 21E'E\"

12yE\"

我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面

截取

根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得： xy 又=

E'E\"

1

F AE'E\"12d

14 所以 F=A=

5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30°方向的线应变30。试求外力偶矩T。已知圆轴直径d ,弹性模量E和泊松比ν。

TTKε解：

围绕K点沿ε30方向和与之垂直的方向取单元体如左图 由沿横纵截面单元体如右图 由公式（5-3、5-4)得: 60

30°30° 题5-15图

00003cos120sin120 22260cos120

12 30sin(60)

3 230cos（60）

12 由胡克定律 301133330601

EE222E2E3031

d3T16T又τ=， T 3WPd16所以T2d3E3016312413d3E30

5-16一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10×10×3

10mm，铝材的弹性模量E=70GPa，ν=0.33。试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。

TTKε45°45° D题5-16图

解：

F6103 F力作用面为一主平面，其上的正应力为 3MPa = -60MPa 2A10 前后面为自由表面，也为主平面，1=0 由题意知2=0 由胡克定律 2=

1213 E 所以2319.8MPa

13112319(00.25(19.860))=376.2106 E20010

131219(600.25(019.8))=763.8106 E20010 所以 l11l1376.210 l22l20

63 l33l3763.810107.6410mm

6103.672103mm

5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45°方向的正应变45，空心圆轴外径为D ,内外径之比为α。试求外力偶矩T。材料的弹性常数E、ν均为已知。

F101010

题5-17图

解：

受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45和

135面上主应力取得极大值和极小值，为主平面，1=τ， 3= -τ

由胡克定律 1=

113=45 EE451 代入化简得 45 所以 τ=

1e 由受扭圆轴表面上一点剪应力公式

3433D（14）D（14）E45D1E45 T16161161T16T WPD314

5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45°方向的线应变4550106，材料的弹性模量E200GPa,0.25。试求梁上的载荷F之值。

0.5mF1mε45°45°60100K 题5-18图

解：

K点的应力状态如图所示 其中τ由公式（3-40） 求得

2F3FQ3F3  662bh26010010600010 又K点有3，135方向有1，代入到胡克定律 有

3011311 EEEPa

1E45 比轴两式有F600010610.25E45=48000N=48kN

5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成60°方向上的正应变604.0104，直径d=20mm，材料的弹性模量E200103MPa,0.3。试求载荷F。

A60°60°εF

题5-19图

解：

A点应力状态如图所示

由公式（5-3）

6030003cos1200sin120 224001cos(60)0sin(60)

22411313 6030EE444E由胡克定律 60 又=所以

F A

1202106420010941044E6041FAd2=37233.7N=34(3)30.37.23 kN

5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。已知：AB原长为a，与轴线成45°，B点在中性层上，梁高为h，宽为b，弹性模量为E，泊松比为ν，弯矩为M。

MBbh45°aAM

题5-20图

解：

求AB 的伸长量需先求AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如图所示，其中=

MyC IZM =

1asin452 13bh12由此可求出AB 方向及与其垂直方向的正应力

AB

AB1cos2700sin270

222001cos900sin90

222由胡克定律

00 AB111ABAB11 EE222ElABABLAB

12EM1asin453Ma2sin45（1）2 a313Ebhbh12-6

5-21 用45°应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为ε0°=-267×10, ε45°

-6-6

=-570×10及ε90°=79×10。构件材料为Q235钢，E=210GPa，ν=0.3。试求主应变，并求出该点处主应力的数值和方向。 解：

由公式（5-36） 可求主应力：

12EE0902121045459022=

21010921010926779[210.3210.32675702570792]106

53.6153.61106MPa Pa110.01110.01106由公式（5-34）求主应变，在此之前先由(5-33)求x

4509020902cos2x2sin2

x1062677926779570cos90sin90 222x925106代入（5-34）

12xy2xy22x 22267792677926 [(952)]10 22412.46106  660010主应力与主应变同方向：由 （5-35）： tg20x9522.75

xy267792α0=70，α0=35

5-22 在某液压机上横梁的表面某点处，用45°应变花测得ε0°=51.6×10, ε45°=169×10

-6

及ε90°=-117×10。上横梁的材料为铸铁，E=110GPa，ν=0.25。试求该点处主应力的数值和方向。 解：

由公式（5-36）

-6

-6

11010911010951.6(117)1210.252，3210.2514.44MPa

24.0351.6169169117106

22

所以1=14.44MPa, 2=0, 3=-24.03MPa 主应力方向 tg204545900459004516911751.6169

16911751.6169 =2.393

2α0=67.32

, α0=33.66

5-23单元体受应力如图5-46所示（应力单位为MPa）。试：(1)作三向应力图，并比较两者的max；(2)将单元体的应力状态分解为只有体积改变及只有形状改变的应力状态；(3)求图5-46b所示应力状态的形状改变比能（E200GPa,0.3）。

301201606050

题5-23图

a) 解：

1) 作三向应力状态的应力圆

m

13123

11606003=73.3MPa

1'1m16073.386.7 MPa 2'2m6073.313.3 MPa 3'3m073.373.3 MPa b)

maxmax160080 MPa 2120(30)75MPa

211m(123)(1205030)46.7 MPa

33 1'1m12046.773.3 MPa

2'2m5046.73.3 MPa 3'3m3046.776.7 MPa

1v[(12)2(23)2(31)2]6E

10.3[(12050)2(5030)2(30120)2]9620010vd=36.617×10 J/m

5-24试证明圆轴纯扭转时无体积改变。 解： 纯剪切应力状态xy0

因为xymaxmin 所以maxmin0 而第三向主应力本来就是零，因此1230,m0 体积变形比能与m成正比，所以vV0

7-1 两端铰支的圆截面受压钢杆（Q235钢），已知l2m,d0.05m(图7-10)，材料的弹性模量E200GPa。试求该压杆的临界力。

3

3

2EI解：Fcr2(l)20010((12)2290.05464)151.4kN

题7-1图 7-2 图7-11所示压杆为工字形钢，已知其型号为I18、杆长l4m、材料弹性模量E200GPa，试求该压杆的临界力。

解：查表得I18，Ix166010m 所以取Iy计算

84Iy122108m4

2EI2200109122108Fcr150.5kN

(l)2(14)2

题7-2图

7-3 图7-12所示为三个支承情况不同的圆截面压杆，已知各杆的直径及所用材料均相同，问哪个杆的临界力最大？

题7-3图

解：Fcr12EI2EI2 (l)2lFcr22EI2EI2EI0.82 22(l)(0.71.6l)lFcr32EI2EI2EI1.232 (l)2(0.71.8l)2l所以第三种情况的临界应力最大。

7-4 一矩性截面压杆，在图7-13所示平面内两端均为铰支，出平面内两端均不能转动（图示为在平面内的支承情况），已知h2.5b，问压力F逐渐增大时，压杆将于哪个平面内失稳？

解：

（1） 图示平面内 Fcr1bh3E2EI2Eb4121.3 (l)2(1l)2l22（2） 出平面内 Fcr2hb3E2EI2Eb4120.8 222(l)(0.5l)l2所以出平面内容易失稳。

题7-4图

7-5 图7-14所示为槽形型钢受压杆，两端均为球铰。已知槽钢的型号为16a，材料的比例极限p200MPa，弹性模量E200GPa。试求可用欧拉公式计算临界力的最小长度。 解：查表得[16a的iy=1.83cm=0.0183m

cr2E2E2p

l2()i2E22001092E li 0.01836220010plmin=1.82m

题7-5图

7-6 图7-15所示结构由两根圆截面杆组成，已知两杆的直径及所用的材料均相同，且两杆均为大柔度杆，问：当F（方向垂直向下）从零开始逐渐增加时，哪个杆首先失稳？（只考虑在平面内）

解：

FNABsin450FNBCsin600 FNABcos450FNBCcos600F

FNAB0.656FFNBC0.535F

FcrAB2EI2EI0.520.5Fcr 题7-6图 2(lAB)h2EI2EI0.2520.25Fcr 2(lBC)hFcrBC所以 BC杆先失稳。

7-7 试由压杆的挠曲线近似微分方程，推导两端固定杆的欧拉公式。

解：计算简图如图所示。变形对中点对称，上、下两端的反作用力偶矩同为m，水平反力皆等于零。挠曲线的微分方程是

d2yM(x)Fym 2EIEIEIdx令 k2F，上式可以写成 EId2ym2ky

EIdx2方程式的通解为：

yAsinkxBcoskxy的一阶导数为：

m (1) F

dyAkcoskxBksinkx （2） 题7-7图 dx两端固定杆件的边界条件是

dy0 dxdyx=l时， y=0, 0

dxx=0时， y=0,

将以上边界条件代入（1）式和（2）式，得

Bm0FAk0mAsinklBcoskl0FAkcosklBksinkl0(3)

由（3）式得出：coskl10,sinkl0

满足以上两式的根，除kl0外，最小根是kl2，或

k42EIFcrkEI 2l22 （4） l由（1）式，求得压杆失稳后任意截面上的弯矩是

dy2MEI2EIk2(AsinkxBcoskx)

dx由（3）式的第一和第二式解出A和B，代入上式，并注意到（4）式，得 Mmcos当k2x ll3l或时，M=0。所以在图中，C、D两点的弯矩等于零。 44

7-8 对两端铰支，由Q235钢制成的圆杆，杆长应比直径大多少倍时才能用欧拉公式计算？

2E100 解：当p时，有 ipll1l100 25 dd47-9 在图7-16所示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，截面和材料均一样。若因在ABC平面内失稳而破坏，并规定0/2，试确定F为最大值时的角。



解：FNABFcoslABh sinFNBCFsinlBChh

sin(900)cosAB杆的临界压力：FcrAB2EI2EI2sin2 题7-9图 (lAB)2hBC杆的临界压力：FcrBC2EI2EI2cos2 2(lAB)h当AB杆失稳时：FNABFcosFcrAB, (1) 当BC杆失稳时：FNBCFsinFcrBC (2) 当02时，（1）式除（2）式得，tgctg

27-10 外径与内径之比D/d1.2的两端固定压杆（图7-17），材料为Q235钢，E=200GPa，

p=100。试求能应用欧拉公式时，压杆长度与外径的最小比值，以及这时的临界压力。

解：iIA64(D4d4)0.325D

4(D2d2)当能用欧拉公式时，p100, 即

li100

0.5l100

0.325Dl所以 65

D此时，cr2E22001092200MPa 2100 题7-10图

7-11 由五根直径均为d50mm的圆钢杆组成边长为l1m的正方形结构，如图7-18所示，材料为Q235钢，E=200GPa，p200MPa，s240MPa，试求结构的临界载荷。

题7-11图

解：结构对称，AB、BC、DC和AD为压杆， FNBD为拉杆，不必计算其压杆稳定性。

2F, 2as2E11100, s57 80， p0.05pbi4l所以，sp，用直线公式计算。

F2FN2crA2(ab)A2(3041.1280)10640.05595kN2

8-1 图8-34所示结构，杆AB为5号槽钢，许用应力[]1160MPa，杆BC为矩形截面，

b50mm，h100mm，许用应力[]28MPa，承受载荷F128kN，试校核该结

构的强度。

题8-1图

解：由平衡条件解得， FBCF/264kN32AAB6.93cm2 ABC510mm

FAB3F110.9kN 2

AB

FAB110.9103160MPa12AAB6.9310

BCFBC6410312.8MPa28MPa3ABC510

8-2 在图8-35所示结构中，钢索BC由一组直径d2mm的钢丝组成。若钢丝的许用应力

[]160MPa，AC梁受有均布载荷q30kN/m，试求所需钢丝的根数。又若将BC杆

改为由两个等边角钢焊成的组合截面，试确定所需等边角钢的型号。角钢的

[]160MPa。

题8-1图

解：BC的内力计算：

FBCFBC1001033625mm2 FC/sin60/100kN ABC1605采用钢丝数：nABC4625d24199(根）

222采用两等边角钢，则型号为 L404ABC3.08626.172cm



8-3 图8-36为一托架，AC是圆钢杆，许用应力[]钢160MPa；BC杆是方木杆，许用应力[]木4MPa，F60kN。试选择钢杆圆截面的直径d及木杆方截面的边长b。

题8-3图

解：AB和BC的内力计算：

FBCF/sin3013108.2kN FACF/tg60/ AC 杆：AC290kN 3FAC90103钢160MPa d≥27mm

AACd24BC 杆：BC

FBC108.2103木4MPa b≥165mm 2ABCb28-4 结构受力如图8-37所示，各杆的材料和横截面面积均相等：A200mm，

E200GPa,s280MPa,b460MPa。安全系数取n1.5，试确定结构的许可载

荷。当F为多大时，结构发生断裂破坏？

题8-4图

解： 由平静方程可以解出 ： FN1FN3许可载荷确定：

F,2FN20

FFN1SS 2AAn

所以：F2S228020074.7kN n1.5FFN1b 2AA结构断裂载荷确定：

F2bA2460200184kN

8-5 图8-38所示卧式拉床的油缸内径D186mm，活塞杆直径d165mm，许用应力

[]杆130MPa。缸盖由六个M20的螺栓与缸体联结，M20螺栓的内径d17.3mm，

许用应力[]螺110MPa。试按活塞杆和螺栓的强度确定最大油压p。

题8-5图

解： 轴力计算：Fp 杆FA杆Dd 4pDd22122杆1d12杆

所以：p杆D杆d122d1213065218.1MPa 1862652 按螺栓强度计算：螺p螺D2d1F2A螺d2螺

所以： p螺D6螺d22d12110617.326.5MPa

1862652所以最大油压p=6.5MPa

8-6 图8-39所示AB轴的转速n120r/min,从B轮输入功率p60马力，功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半由水平轴H输出。已知D1600mm，D2240mm，

d1100mm，d280mm，d360mm，[]20MPa。试对各轴进行强度校核。

题8-6图

解： 轴C的转速：ncnABD1300r/min D2PAB3511.6Nm nAB轴上各段的扭矩计算：TAB9549TH9549PPH1758.6Nm TC9549C703.4Nm nHnC应力计算：ABTAB1617.9MPa20MPa

3d1 CTC163703.4103d31616.6MPa20MPa

603HTH1758.610316d231617.5MPa20MPa

8038-7 联轴器采用直径为d的螺栓连接，螺栓排到如图8-40所示，在半径为R1的圆上有四个，在半径为R2的圆上有六个，螺栓的许用应力为[]，轴每分钟转数为n，若不计圆盘间的摩擦，试求该联轴器所能传递的功率。

题8-7图

解： 一个螺栓能传递的剪力， 在R2半径上：FQ24d2 在R1半径上： FQ1R1FQ2 R2所有螺栓能传递的扭矩为：

24R14(R121.5R2) T4FQ1R16FQ2R2FQ26FQ2R2FQ2

R2R22所有螺栓可传递的功率：

nTnd2R11.5R2P(KW)95499549R2

22

8-8 图8-41所示为9060mm的矩形截面轴，受外力偶矩T1和T2作用，已知T11.6T2，

[]60MPa，G80GPa，试求T2的许用值及自由端截面A的转角。

题8-8图

解： 计算[T2]：

h1.50.2310.196 bT2.6[T2]maxmax60 所以[T2]1.73kNm 22bh0.2316090T1lBCT2lAC(2.61)1.731063006.13103 3333GhbGhb80100.1969060计算A截面的转角：

BCAC

8-9 实心轴与空心轴通过牙嵌离合器相连接（图8-42），已知轴的转速n100r/min，传递功率p10kW，材料许用应力[]80MPa。试确定实心轴的直径d和空心轴的内、外径d1和D1。已知d1/D10.6。

题8-9图

解： 离合器传递的扭矩：

T9549

10954.9Nm100

d39.3mm

T954.910380实心轴直径：maxWpd316空心轴直径： maxT33dD116D954.910316D10.63380D42.6d25.6mm

8-10 如图8-43所示，已知主动轮输入功率PA294.2马力，从动轮输出的功率分别为

PB73.55马力，PC36.78马力，PD183.9马力。轴的转速n200r/min，

[]100MPa，试选择轴的直径。

题8-10图

解： 计算各轮的扭矩： TA9549294.21.405104Nm 20073.5536.78TB95493.512103Nm TC95491.756103Nm

200200183.9TD95498.78103Nm200

3所以AD段的扭矩为最大：Mxmax8.7810Nm

Mxmax8.7810310maxNm100

3Wpd16d76.5mm

8-11 图8-44所示圆轴的外伸部分系空心圆截面，已知材料的许用应力[]80MPa，试校核该轴的强度。

题8-11图

解：如图所示弯矩图，分别校核C、B截面的弯曲正应力，

MCmax90010363.4MPa[] CmaxW60332MBmax9001037.3MPa[] BmaxW33604532

8-12图8-45所示槽形截面梁有三块矩形板条粘结而成。已知[]20MPa，

[]10MPa，[]3MPa。试校核该梁的强度。

题8-12图

解：确定形心

200202200202020022 yc82mm

22002020100

2202003200IZ22020082

1221002032010020823.969107mm4

122

2BmaxMByC4106828.26MPa200MPa 7IZ3.96910

BmaxMB(200yc)4106(20082)11.9MPa10MPa 7IZ3.96910

CmaxMCyC2.5106825.17MPa 7IZ3.96910MC(200yc)2.5106(20082)7.43MPa

IZ3.969107200822020082532.784810mm 2*FQSz

Cmax Sz2* max6.51032.78481051.14MPa3MPa 7IZb3.96910220

8-13 一设计起重量为50kN的吊车梁（图8-4a），跨度L10.5m，由Ⅰ字钢I45a制成，现需起吊一70kN的重物，问其强度是否足够？如不够，[]140MPa，[]75MPa。

则在上、下翼缘各加焊一块10010mm的钢板（图8-46b），试决定钢板的最小长度。已知电葫芦重W15kN（梁的自重不考虑）。

题8-13图

解： 当吊车运行到梁中点时为最危险工况， Mmax701510.5223.125KNm 22Iz386mmSz查表I45a的几何特性参数为：

Wz1430106mm3Iz33240104mm4b11.5mm

max223.125106156MPa 3143010

maxFQmax42.51039.6MPa75MPa Iz38611.5bSz在上、下翼缘各加焊一块10010mm的钢板，根据正应力强度计算：

21001034501001010322.88106mm4 Iz1Iz2122322.881061.37106mm3 Wz1450y102Iz1MmaxWz11401.37106191.8106Nmm191.8103Nm

Mmax191.81034.5m 根据max来确定 x3342.51042.510则 l10.524.51.5m

8-14 如图8-47所示外伸梁，已知[]160MPa，试分别选择矩形(h/b)2、Ⅰ字钢、

圆形及圆环形(D/d2)四种截面，并比较其横截面面积大小。

题8-14图

解：FAy2.5kNmFBy22.5kNm

梁的弯矩图如图b)所示。Mmax6.25kNm WzMmax6.251063.906104mm3

1602bh2b2b2b2Wz① 矩形截面：W663A矩39783042mm2

b39mm,h78mm

32② 工字钢截面：查表得I10的Wz49cm,A工1430mm

③ 圆形：W④ 圆环：

d3323d74mm,A圆d344298.66mm2

7d2W13232dA环d3Dd38.5mm,D77mm

D42d23491mm2



8-15 一工厂为了起吊一重量W300kN的大型设备，采用了一台150kN吊车、一台200kN吊车及一根辅助梁（图8-48），已知梁的[]160MPa，l4m。试求：（1）重

物在梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载；（2）若用Ⅰ字钢作辅助梁，应选择多大型号。

吊车吊车

题8-15图

解： FAWlx3004x150x2m

l4Wx300xFB200x2.67m

l4取AC段建立弯矩方程:

3004xx150

4300422当X=2m时: Mmax300kNm

4MxFAxWzMmax3001061.875106mm3

1603取I50b，Wz1940cm

8.16一简支梁由两个槽钢组成，受四个集中力作用（图8-49）。已知F1120kN，

F230kN，F340kN，F412kN，许用应力[]170MPa，[]100MPa。试

选择槽钢的型号。

F3=40kNF4=12kN0.70.30.6BFBF1=120kN0.4AFA0.4F2=30kN13818FQ1255.262.4525438.4M64

图8-49

解：由静力平衡方程可求得 FA=138kN FB=64kN

画剪力图和弯矩图，如图所示，可知最大剪力为138kN，最大弯矩为62.4 kNm 先按正应力设计，再校核剪应力

maxMmax62.4103

WW令max 则

62.4103W0.367103m3367cm3 617010若选工字钢可选25号工字钢，并查表知IZ/S21.5810*2

maxFQmaxS*IZb13810379.93MPa<[τ] 21.581028103若选两槽钢，可选20号槽钢，无法校核其剪切强度

8.17 当F力直接作用在梁AB中点时，梁内的最大正应力超用许用应力30％。为了消除过载现象，配置了如图8-50所示的辅助梁CD，试求此辅助梁的跨度。

FC=F/2FFD=F/2AFAalF(l -a)/4BFBM

图8-50

1F 21 FCFDF

21 画AB梁的弯矩图如图所示 MmaxF(la)

41FlaMmax4 max WW 解：先由静力平衡求出支座反力： FAFB 使梁承载能力增大30%，即所加辅梁后的最大应力达到原水平时，载荷可为原载荷的

1.3倍，可得如下关系：

11.3Fla1Fl 44

WW 由上式解得a=0.231l, a越大Mmax越小, 因此当a>=0.231l时，承载能力可提高30%以上.

8.18 I20a工字钢梁的支承及受力如图8-51所示。若[]160MPa，试求许可载荷F。

解: 由静力平衡方程求得： FAFB 梁的弯矩图如图所示 Mmax1F 32F (Nm) 3

maxMmaxW2F3 623710

6令 max16010Pa 可求得 F56.88 kN 即许可载荷F为56.88kN .

FFAAF2m2m2mFBBM2F/3

图8-51

8.19截面为I10的工字钢梁AB，在D点由圆钢杆DC支承（图8-52），已知梁及杆的

[]160MPa，试求允许均布载荷q及圆杆的直径d。

qFAAdCFNDB1m2mM2F/3图8-52

解：由静力平衡可求得拉杆CD的拉力为 FN 画弯矩图, Mmax

9q 41q 2按AB梁设计载荷：

maxMmaxW12q 49106 令 max 已知160MPa , 可求得均布载荷 q=15680 N/m=15.68 kN/m

确定拉杆尺寸：

杆915.68103F N41Ad24 令 杆 可求得圆杆直径d=16.76mm

8.20由I16工字钢制成的简支梁AB，跨度l1.5m，在中点作用一集中力F(图8-53)，为了测得F得大小。在距中点0.25m处的下沿C处布置一应变片，梁受力后测得其应变

4.01104，已知钢材的弹性模量E210GPa，求集中力F的大小。

FI16AFA750Fl /4Fl /6250750BFBM图8-53

解： 1.画弯矩图，C 处弯矩 MC 2.求C 处正应力

1Fl 61F1.5MC36 C1.77310F 6W141101.773103F98.44310F 由 胡克定律得C处线应变， 9E21010代入已知条件ε=4.01×10-4 得F=47.5 kN

8.21 AB梁的截面形状及其所承受的载荷如图8-54所示。已知截面的形心主惯性矩

Iz1.0108mm4，材料的许用应力为[]5MPa，[]12MPa，[]3MPa，

试问此梁的截面应如何放置才合适？梁的截面经合理放置后，若MB5kNm不变，试求许可载荷F值。

解：首先作剪力图，弯矩图，由图可知CB梁段弯矩为5KNm 若截面T形放置，则max51030.2211 MPa>[σ+] 8121.01010不合理，因此必须放置

11 MPa<[σ-] 放置时maxmax51030.063 MPa<[σ+] CB段满足强度要求 8121.01010maxA截面处 令max103F50.22 8121.01010[] 可得F<=30kN

由于A截面处max 所以 , 压应力条件一定满足maxFA1mFFQC1mMB=5kNB60z220205kNmM(F-5)kNm图8-54

剪应力：平均

F301036.82 MPa<[τ]不满足 bh20220106

max3010322020110MPa=7.26MPa>[τ] 8IZb110203012.4kN 7.263*FQSz为使max3MPa, F应缩小7.26/3倍，即F8.22在工字钢梁I18上作用着可移动的载荷F（图8-55）。为提高梁的承载能力，试确定l

的合理数值及相应的许可载荷。设[]160MPa。

FACI18DBl12-2lF(12-2l)/4lMFCADBMFl

图8-55

解：当F作用在CD之间时，作用在其中点处为最坏情况. 可作弯矩图如图所示，此时

maxMmaxW13lF2 618510 令 max160 MPa 则有31lF29600 ① 2当作用在梁外伸段时，F作用在端截面处最危险，此时弯矩图如图所示 MmaxFl

maxMmaxFl 6W18510令max则有

Fl29600 ②

联立①②两式可得梁长l=2m, 许可载荷 F=14800N=14.8kN 。

8.23 测定材料剪切强度的剪切器的示意图如图8-56所示。设圆试件的直径d15mm，当压力F31.5kN时，试件被剪断，试求材料的名义剪切极限应力。若剪切许用应力为

[]80MPa，试问安全系数等于多大？

Fd

图8-56

解： 由公式（8-9）可求名义剪切极限应力 极限F极限31.5103MPa=89.13MPa

1A21524极限89.131.114 安全系数n808.24木楔接头如8-57所示。bh120mm,l350mm,a45mm,F40kN。试求接头的剪切和挤压应力。

FlalhFF图8-57

bF

F40103Pa0.95MPa 解： 接头的切应力为 lb350120106 接头的挤压应力为 jy40103 Pa=7.41MPa ab45120106F8-25 图8-58所示对接接头每边由两个铆钉铆接，钢板与铆钉材料均为Q235钢，已知材料的许用应力为[]160MPa，[c]320MPa，[]120MPa，F100kN，

10mm，

b150mm，d17mm，a80mm，试校核此接头的强度。

FbFdd图8-58

ĦĦFĦF

解：钢板的拉应力为

100103Pa86.2MPa[]160MPa 6b2d1502171010钢板与铆钉的挤压应力为 FjyF100103 Pa = 294.12MPa < [σc]=320MPa 62d2171010F100103铆钉剪切应力为Pa=110MPa<[τ]=120MPa 1217210622d48-26 如图8-59所示冲床的最大冲压力为400kN，冲头材料的许用应力[]440MPa，被冲剪的板材剪切强度极限b360MPa，求在最大冲力作用下所能冲剪的圆孔最小直径d和板的最大厚度。

冲头δ板冲模图8-59

解： 为了满足冲头强度的要求, 需：

F即AF12d4

400103440 解得 能冲剪的圆孔最小直径 d34.02mm 代入数值

12d4 冲剪的圆孔直径最小时, 板厚可取得最大值

F400103b,360,10.4mm

d34.028.27试求图8-60所示联结螺栓所需的直径，已知F=200kN,δ=20mm,螺栓材料的许用应力[τ]=80MPa,[σC]=200MPa（联结板的强度不考虑）。

Fδ/2δ/2dδF/2F/2

图8-60 解：螺栓受剪切应力和挤压应力两种作用 为了满足剪应力要求

F

122d4

20010380 d39.89mm40mm 代入数值

122d4 为满足挤压强度要求

Fc d200103200,d50 mm 取两者较大值50mm 代入数值

20d8.28图8-61所示装置中键的长度l35mm，许用应力[]100MPa，[c]220MPa，试求作用在手柄上的F力最大许用值.

d安全销M0mφ20nmnM0 图8-61

解：键所受的剪切力为F×60剪切面积A=5×35mm2

60F60F令得F291.67N A535 键所受的挤压力也等于60F，挤压面积Ac=2.5×35mm2 C60F60F 令 CC得F320.83N AC2.535 取较小者，F最大不得超过291.67N。

8.29车床的传动光杆装有安全联轴器（图8-62），当载荷超过一定值时，安全销即被剪断。已知安全销的平均直径为5mm，其剪切极限应力b370MPa，求安全联轴器所能传递的力偶矩M0。

205F2.52.5600图8-62

解：安全销承受剪切作用，受剪面积 A212d39.27 mm2 4所能承受的最大剪力为 2FbA37039.2714529.866N F7264.933N

3安全联轴器所能够传递的力偶矩 M0FD7264.9332010Nm=145.3Nm

8.30图8-63所示螺钉在拉力F作用下，已知材料的许用剪切应力[]和许用拉伸应力[]之间的关系为[]0.6[]，求螺钉直径d与钉头高度h的合理比值。

解：螺钉横截面正应力

hF12d4

螺钉头剪应力为 dF dhd、h的合理比值应使σ、τ 同时达到许用值,

F12d4F，

F，代入到 dh0.6中得d2.4 h 图8-63

8-31 联轴器如图8-64所示，轴与圆盘用键接合，两圆盘靠四个直径d=16mm的螺栓连接。已知轴的转速n=170r/min,[τ]=60MPa，键和螺栓的许用切应力[τ]=80MPa，许用挤压应力[σC]=200MPa，试计算它所能传递的最大功率（kW）。

题8-31图

解：

每个螺栓所能承受的最大剪力：

21FQ1τA180106π1610316.08kN

4

四个螺栓能传递的最大功率：

TnFQ0.1417016.081030.14170P114.5kW 1954995499549 键能承受的最大剪力：

A28010614103140103156.8kN FQ2τ 键能承受的最大挤压力：

633 FCσCAC2001061014010168kN

 键能传递的最大功率

FP2Q401031709549156.810340103170111.7kW

9549 轴能承受的最大扭矩： MXτWp6010631π801036.032103Nm 16 轴能承受的最大功率：

MXn6.032103170107.4kW P395499549 所以，轴及联轴器能传递的最大功率PmaxPimin107.4kW。

8-32 轴向受载杆如图8-65所示。杆的弹性模量E=200Gpa，许用应力[σ]=80MPa,整杆的总伸长量不得超过210

4mm。试分别选择此杆AB与BC部分的横截面面积。

100kN400kNB1m2m300kN 题8-32图 图 8-65 解：

内力分析：AB段： FN1100kN；BC段:FN2300kN 由强度条件：AB段：A1minFN11001031.25103m2 6σ8010 BC段：A2minFN2300103323.7510m 6σ8010

由刚度条件：

FN1lFN2l10010313001032ll1l293EA1minEA2min2101.251021093.75103 4104m2104m据刚度条件重新设计：

FN1lFN2l100103130010322104m l99EA1EA22101.25A12103.75A2由强度要求可知：

A11.25103m2，增大A2以满足刚度要求。 所以，A11.25103m2，A25103m2

8-33 水平刚性杆由直径为20mm的钢杆BC拉住（图8-66），钢材的许用应力

[]160MPa，弹性模量E210GPa，根据要求，D端的竖直位移应小于2mm，试

求许可载荷F。

C0.75mFA1mB刚杆1mD图 8-66 题8-33图 解：

由AD杆平衡，

MA0,F2FBC10F（拉） 30.751010,得FBCF 1.253 BC杆轴力，FNFBC由强度条件：

21FNσA160106π2010350.27103N

4 所以 F15.08kN

由刚度条件：

lBCFNlBCEA10F1.253121010910103426.316108F

又，By1.25lBC，Dy2By2103m 0.75所以 F9.5kN

许可载荷F=9.5KN

8-34 已知圆轴的转速n=300r/min，传递功率450马力，[]60MPa，G82GPa，要求在2m长度内的扭转角不超过1°。试求该轴的直径。

解： 外力偶矩 T7024

由强度条件

45045070241.054104Nm n300τmaxMxTτ601061Wpπd316

4101.054103所以，d396.3610m96.36mm6π6010

Mx21.05410421π由刚度条件 1GI18094p 8210πd32得，d0.111m111mm 所以 d0.111m

8-35 图8-67所示钢轴所受扭转力偶分别为T10.8kNm,T21.2kNm，

T30.4kNm。已知l10.3m，l20.7m，[]50MPa，[]0.25/m。试求

轴的直径。如将T1和T2位置对调一下，这样的布置是否合理，为什么？

T1T2l1图 8-67T3l2

题8-35图

解：内力分析，

MX1T10.8KNm,MX2T30.4KNm,MX由强度条件

max0.8KNm

0.8103τmaxτ501061Wp d316得，d43.35mmMxmax1Mxmax0.81030.25 由刚度条件，

1l1GIp180948010d32得，d69.51mm。 所以，轴的直径d69.51mm。

若T1，T2对调，则MXmax1.2KNm，d将增大，故不合理。

8-36 圆截面杆AB左端固定，承受均布力偶作用，其集度为20Nm/m（图8-68）。已知直径d20mm,l2m,G80GPa,[]30MPa,单位长度的许用扭角[]2/m，试进行强度和刚度校核，并计算A、B两截面的相对扭角AB。

20 N.m/mBl图 8-68 题8-36图 解：内力分析，

MXX4020xMXmax(0x2m),40Nm

强度校核，

τmaxMxmaxWp401d3164031201031630MPa 25.46MPaτ刚度校核，

MXmaxdMxXd；maxdxGIpdxmaxGIp40180109(20103)43222MXXdx0GIp31.8310rad/m1.82/m2/m3

AB04020xdx31.83103rad1.82 41801092010332

8-37 空心钢轴的外径D100mm，内径d50mm。若要求在长度2m内的最大扭角不超过1.5°，试求它所能承受的最大扭矩，并求此轴内的最大剪应力。G80GPa。 解： MXlMX21.5

1GIp18094480100.10.053233所以，MX9.6410Nm，MXmax9.6410Nm

Mx9.64103max52.37MPa

1Wp0.1310.5416

8-38 有一矩形截面的钢杆，其横截面尺寸为10050mm，长度l2m，在杆的两端作用着一对力偶矩。若材料的[]100MPa，G80GPa，杆件的[]2，试求作用于杆件两端的力偶矩的许可值。 解： τmaxMxT100106 τ22αbh0.2460.050.13 所以，T6.1510Nm

MXlMXlT22 393GIp180Ghb80100.2290.10.053 所以，T410Nm

所以，力偶矩的许可值Tmax4103Nm

8-39 若槽钢的E210GPa，许用挠度[w]l/400，试校核习题8-16中所选择的槽钢型号是否满足刚度条件。

解： 8-16题中所选槽钢型号为20a 由刚度条件，

wmax=wF1+wF2+wF3+wF4

1F1232.42422F21.632.4241.6248EIF30.932.4240.92F40.632.4240.621120103232.4242298482101021780.410301031.632.4241.62401030.932.4240.92121030.632.4240.623.52103mw2.46103m400所以，所选槽钢满足刚度要求。

8-40悬臂梁承受载荷如图8-69所示。已知q15kN/m，l1m，E200GPa，

qAllB[]160MPa，[w]图 8-69l/250 ，试选取Ⅰ字钢的型号。

题8-40图 解: Mmax32ql 2Mmax由强度条件， maxWz323ql151031222160106 WzWz

315103所以，Wz21.406104m31.406102cm3 61601041ql441151031l1w由刚度条件， wmax=wB=

24EI24200109I250250

所以I3.203105m43.203103cm4

选I22a , I3.410cm，满足要求。

8-41 轴受力如图8-70所示，已知d30mm,E200GPa，若要求加力点的挠度不大于

34F50250图 8-70许用挠度[w]0.05mm，试根据刚度条件确定所能承受的最大力F。

题8-41图

解：由刚度条件，

wF0.250.050.320.0520.2526EI0.3 F0.250.050.0253w0.05101446200100.030.364所以，F2.29103N2.29KN

8-42空气压缩机的活塞杆由优质碳钢制成，s350MPa，p280MPa，

E210GPa，长度l703mm，直径d45mm，两端可看成铰支。最大压力

Fmax41.6kN，规定稳定安全系数为[ncr]8~10，试校核其稳定性。

解：

uuli4l40.703162.49 d0.0452E pp s221010928010686.04

as46135043.22 b2.568所以该活塞杆属于中柔度杆

据直线公式crab4612.56862.49300.5MPa

d

1所以，FcrσcrA300.50.0452106477.9KN

4 ncrFcr11.49ncr Fmax所以，该活塞杆满足稳定性要求。

8-43 蒸汽机车的连杆如图8-71所示，截面为Ⅰ字形，材料为Q235钢。连杆所受最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面（xy平面）内发生弯曲时，两端可认为铰支；而在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。

题8-43图

解：xy平面内

1u1xz平面内

l3.13.11159.17

63izIz/A17.7610/6.4710

2u1l3.13.10.50.561.7763iyIy/A4.07410/6.4710

21，所以，连杆将在xz平面内先失稳

对Q235钢，s61.6，p100

所以s2p

由直线公式 crab23041.1261.77234.8MPa

636所以 FcrσcrA234.8106.47101.5210N

Fcr1.521063.27 工作安全系数 ncr334651046510

2.4m0.8mB1.8m图 8-728-44 图8-72所示为一简单拖架，其撑杆AB为圆截面木杆，若架上受集度为q50kN/mA的均布载荷作用，AB两端为柱形铰，材料的许用应力[]11MPa，试求撑杆所需的直径d。

题8-44图 解：由CD杆平衡 ，

MC0， FBA1.82.43.2q1.60 33.21.650103177.8KN 所以 FBA1.82.4/3FBA177.810311106 对AB杆，由强度条件 1212Add44FN

所以 d0.143m 由稳定性要求

uuli4l43121 ddd21220 当80时，折减系数1.020.55d1001220FBA177.8103d11106 1.020.5512A100d4此时d无合理解。 当80时，23000220.83d2

FBA177.810320.83d220.83d211106

12Ad4所以 d0.177m

撑杆AB所需直径d至少为0.177m。

8-45 长为6m的压杆由两根槽钢组成（图8-73），两端铰支，承受工作压力F400kN。设限定两槽钢腹板间距离为100mm。材料的许用应力[]160MPa，试选择合适的槽钢

yz100型号。

图 8-73题8-45图

解：由稳定性条件,

Fσ A因A, 均是未知量，所以用试凑法确定压杆的截面。

400103322510m50cm先假定=0.5，则A 60.516010选用2个16槽钢

A225.1550.30cm2, Iz2934.51869cm4

Iy283.425.1551.752458cm4

2iminIzA18696.10cm

50.30ulimin1698.36 26.1010据此查表，得=0.615 压杆许可压力，

Aσ50.301040.615160106495103N495KN

远大于F400KN，表示截面选取过大，应该减小

4001034.167103m241.67cm2 再取=0.6，则A60.616010选用2个16a槽钢

A221.9543.9cm2，Iz2866.21732.4cm4

Iy273.321.9551.82176.5cm4

2iminIz1732.46.28cm A43.9ulimin1695.54 26.2810据此查表，得=0.633 压杆许可压力，

Aσ43.91040.633160106444.6103N444.6KN

许可压力已接近压杆上的实际压力，所以选定2个16a槽钢。

8-46 在图8-74所示结构中，AB为圆形截面杆，直径d80mm，A端固定，B端为球铰，

1.5lAdBlFCbb

BC为正方形截面杆，边长b70mm，C端为球铰。AB及BC杆可以各自独立发生弯曲变形且互不影响，两杆的材料均为Q235钢。已知l3m，稳定安全系数[ncr]2.5。试求此结构的许可载荷F。

题8-46图 解：BC杆 ul3121148.5 3i7010 对Q235钢,

p100,所以 p

由欧拉公式 cr2E2200109289.5MPa 2148.5FcrcrA89.510670103所以， BC杆许可载荷F2439KN

Fcr439175.6KN ncr2.5 AB 杆,

u0.7li1.53157.5 38010/4 p100 由欧拉公式cr2E2200109279.6MPa 157.526所以 FcrcrA79.610401032400KN

400160KN 2.5所以此结构许可载荷F160KN

AB杆许可载荷F

8-47 图8-75所示结构，用Q235钢制成。s280MPa，E200GPa，AB梁为I16Ⅰ字钢，强度安全系数n2。BC杆为直径d40mm圆钢，稳定安全系数[ncr]3。试求该结构的载荷。

FA0.5m0.5mC1.3m

题8-47图 解： 由AB梁的平衡，FAFBC对AB梁, MF 2FA0.5maxMmax由强度条件

maxWFF0.5 24Fs2801064 1773F6n214110 得，F78.96KN 对BC杆, FNFBC uF压 2l4l41.3u1130 id40103 对Q235钢， p100，所以

由欧拉公式，crp

2E22001092116.8MPa 2130FcrcrAcr201032146.8KN

FcrFcr146.8103由稳定性条件， ncrncr3

FNF/2F/2 所以，F97.87KN 所以此结构许可载荷F78.96KN

8-48 试根据下列两种情况选用不同的强度理论，设计受扭薄壁圆筒的壁厚（图8-76）并进行比较。（1）材料为铸铁，许用拉、压应力之比为[]/[]0.25，0.25；（2）

R图 8-76

材料为Q235。

题8-48图

解： 在薄壁圆筒筒壁上，取一单元体，如图示，为纯剪切应力状态。

''Mx2R22Mx 22RMx，20，22R 其三个主应力为：1题 8-48 图3Mx 22R1) 材料为铸铁时，由莫尔强度理论：

r153MxMxMx50.25 2222R52R542R5所以

5Mx5 28R 由第一强度理论 r11Mx2R21

所以δ1Mx 22R由第二强度理论

r1v232MxMxMx5()0.25

2R2242R222R22所以2Mx5

8R22) 材料为Q235时，由第三强度理论r313Mx

R23

x所以3 2 RM 由第四强度理论

r411222323123u2x 22R43Mx2R2

所以,4

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