低应变理论

8 基本理论

8.1 一维波动方程及其解答

8.1.1 杆的纵向波动（振动）方程

考虑一材质均匀、截面恒定的弹性杆，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，质量密度为ρ。取杆轴为x轴。若杆变形时平截面假设成

F立，受轴向力F作用，将沿杆F F+dx x轴向产生位移u、质点运动速度uVuu和应变，这些动力

xtx dx u+xdx u 学和运动学量只是x和时间t的

函数。由于杆具有无穷多的振

udx+dx 型，则每一振型各自对应的运动x图8-1 杆单元的位移 量分布形式都不相同。

由图8-1，杆x处的单元dx，如果u为x处的位移，则在x+dx处的位移为

uuuu即为该单元的dx，显然单元dx在新位置上的长度变化量为dx，而

xxx平均应变。根据虎克定律，应力与应变之比等于弹性模量E，可写出

（8-1）

式中 σ为杆x截面处的应力。

将（8-1）式两边对x微分，得

uFxEAE

2uFAE2xx（8-2）

利用牛顿定律，考虑该单元的不平衡力（惯性力）列出平衡方程

F2udxAdx2xx

（8-3）

合并（8-2）和（8-3）两式，得

2uE2ux22t

1

第三篇

（8-4）

定义 cE为位移、速度、应变或应力波在杆中的纵向传播速度，得到如

下一维波动方程

22uu2c0 （8-5） 22tx

需要说明：

一维杆的纵波传播速度与三维介质中的纵波（压缩波）传播速度不同，其表达式为cP1，相当于声波透射法中定义的声速，c（式中υ为介质材料的泊松比）

(12)(1)当υ=0.20时，cp=1.054c；υ=0.30时，cp=1.160c。

8.1.2 杆的纵向波动（振动）方程解答

8.1.2.1 分离变量法求解波动方程

采用分离变量法求解波动方程（8-5），令其解具有如下形式

u（x, t）=U（x） G

（8-6） 代入波动方程得

（t）

1d2U11d2G2 2UdxcGdt2（8-7）

由于式（8-7）左右两边分别与t和x无关，所以只能等于一个常数，令其等

于并代入式（8-7），得以下两个常微分方程

cd2UU0

dx2c22（8-8）

d2G 22G0

dt（8-9）

它们的通解分别为

UxAsinxBcosx （8-10）

cc

2

第三篇

GtCsintDcost （8-11）

上两式中，ω（=2πf）为角频率；A，B，C和D为任意常数，分别由边界条

件和初始条件确定。

(1) 杆的两端自由：

此时，应力在杆两端必须为零。因为应力等于E为零的边界条件

uxuxAx0u，则杆两端必须满足应变xcCsintDcost0 （8-12）

xLLL BsinAcosCsintDcost0 （8-13）

ccc因为方程（8-12）和（8-13）必须对任何时刻t都成立，故由式（8-12）得

A=0，同时为保证振动的存在，B只能为有限值，则由式（8-13）得

LL sin0 或 ,2,3,,n （8-14）

cc式（8-14）即为杆的振动频率方程。相应的固有振动频率为 nn（8-15）

利用初始条件u(x,t)t00，得到方程（8-5）在两端自由和零初条件下的位移特解为

cL 或

fnnc2L (n=1,2,3,…)

nnunu0cosxsintLL（8-16）

L x L (n=1,2,3,…)

x L/2

u0 u0 u0 L/4 L/2 3L/4

u0 u0 n=2

u0 n=1 n=1

u0 n=2

L/3

2L/3

u0 n=3

L/6

L/3

L/2

2L/3 5L/6

n=3

L/5

2L/5

3L/5

4L/5

u0

u0 u0 3

第三篇

上式表明：两端自由杆的纵向振动为具有n个节点、幅度为u0的余弦波形式，cos是与各阶固有频率对应的振型函数，其前三阶振型曲线见图8-2。

(2) 杆的一端自由、一端固定： 此时的边界条件为 导出频率方程为

cosnxLuxx00 和 uxL0

cL0 或

cL3522,,2,,2n12 (n=1,2,3,…) （8-17）

相应的固有振动频率和一端自由、一端固定条件下的位移特解分别为 n(2n1)cc 或 fn （n=1,2,3,…） （8-18）

22L2L2n1t （n=1,2,3,…） （8-19）(2n1) unu0cosxsin2L2L2n1上式表明：一端自由、一端固定杆的纵向振动也是n个节点的余弦波形式，其前三阶振型曲线见图8-3。

8.1.2.2 采用行波理论求解波动方程

当沿杆x方向的弹性模量E，截面积A，波速c和质量密度ρ不变时，采用行波理论求解波动方程（8-5），不难验证下式为波动方程的达朗贝尔通解

ux,tW(xct)WdxctWuxct （8-20）

式中Wd和Wu为任意函数。

考虑u=Wd（x– ct）位移波形分量，其值可由变量x– ct即x和t的变化范围确定。如果设c=5000，则方程u=Wd (100)满足下列条件：

t=0时x=100，t=0.002时x=110，t=0.004时x=120，……。

可见，波形函数Wd以波速c沿x轴正向传播；同样可证明波形函数Wu以波速c沿x轴负向传播。我们把Wd和Wu分别称为下行波和上行波。Wd和Wu形状不变、且各自独立地以波速c分别沿x轴正向和负向传播的特性是解释应力波传播规律的最直观方法，见图8-4。同时，因方程（8-5）的线性性质，我们可单独研究上、下行波的特性，利用迭加原理求出杆在t时刻x位置处的合力、速度、位移。

4

第三篇 图8-4 下（右）行波和上（左）行波的传播 tt3 tt2 tt1 Wd x下行波、上行波初始位置 Wu ct1 t=0 两波靠近 ct1 ct2 两波相遇，阴影区应力和质点运动速度叠加 ct2 ct3 两波分离 ct3 作变换xct，分别求W(xct)对x和t的偏导数，即 WxctWWxct （8-21）

xxW(xct)WcW(xct) （8-22）

tt V为了将一维杆波动理论方便地用于桩的动力检测，本篇考虑在实际桩的动力

检测时，施加于桩顶的荷载为压力，故按习惯定义位移u，质点运动速度V和加速度a以向下为正（即x轴正向），桩身轴力F，应力σ和应变ε以受压为正。则由式（8-21）和（8-22）并改变符号有

Vc （8-23）

F，不难导出以下两个重要公式

EEA cV （8-24）

利用（8-23）式，根据EA VZV （8-25）

cmc上式中，ρc和ρcA称为弹性杆的波（声）阻抗或简称阻抗，当杆为等截面时，Z（式

L FcAV中m为杆的质量）。另外，后面将用到以下恒等式

FFZVFZV （8-26a） 22式中等号右边第一项称为下行力波Fd（也简称为下行波），第二项称为上行力波

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第三篇

Fu（也简称为上行波）。如果类似地将质点运动速度进行分解，即

1FZVVdZ2式中 

1FZVVuZ2显然有

V = Vd + Vu （8-26b）

FdZVd （8-26c） FuZVuFZVdZVu8.2 应力波的相互作用在不同阻抗界面上的反射和透射 8.2.2 应力波在杆不同阻抗界面处的反射和透射

在8.1节的讨论中，尚未涉及杆阻抗变化对波传播性状的影响，阻抗变化与杆的截面尺寸、质量密度、波速、弹性模量等因素或某一因素变化有关。假设图8-7所示的杆由两种不同阻抗材料（或截面面积）组成，当应力从波阻抗Z1的介质入射至阻抗Z2的介质时，在两种不同阻抗的界面上将产生反射波和透射波，用脚标I、R和T分别代表入射、反射和透射。假设入射压力波FI是已知的，显然有VI =FI/Z1。根据式（8-34b），界面处的力F和速度V满足

F –FI = Z1 （V –VI） V F = Z2

求解上述二式，得 Z1 VI, FI VR,FR L1 L VT,FT L2 Z2 F2Z22Z1Z2FIVI Z1Z2Z1Z22Z12FIVI Z1Z2Z1Z2图8-7 两种阻抗材料的杆件 V按习惯将界面处的力波和速度波分解为入射、反射和透射三种波。因界面上力F和速

度V应分别满足牛顿第三定律

FI + FR = FT = F

和连续条件

VI + VR = VT = V

记完整性系数β=Z2 / Z1，反射系数ζR =(β-1) / (1+β)，透射系数ζT = 2 β/ (1+ β)，可得下列公

式

FR = ζR FI （8-37）

VR = -ζR VI （8-38）

FT = ζT FI （8-39）

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第三篇

VT1/（8-40）

ζT VI

1 +ζR =ζT （8-41） 下面对（8-37）～（8-41）式进行讨论：

（1） 由于ζT ≥0，所以透射波总是与入射波同号。

（2） β=1，即Z2/Z1=1，反射系数ζR =0，透射系数ζT =1，FT =FI ，入射力波波形除随时间改变位置外，其他不变，相当于应力波不受任何阻碍地沿杆正向传播。

（3） β>1，即波从小阻抗介质传入大阻抗介质。因ζR≥0，故反射力波与入射力波同号，若入射波为下行压力波，则反射的仍是上行压力波，与后继到来的入射压力波迭加起增强作用；因反射波与入射波运行方向相反，则反射力波引起的质点运动速度VR与入射波的VI异号，显然与后继到来的入射下行压力波引起的正向运动速度迭加有抵消作用；又因ζT≥1，则透射力波的幅度总是大于或等于入射力波。特别地，当β→∞即Z2→∞时，相当于刚性固端反射，此时有ζR =1和ζT =2，在该界面处入射波和反射波迭加使力幅度增加一倍，而入射波和反射波分别引起的质点运动速度在界面的迭加结果使速度为零。按8.2.1的讨论，将固定端作为一面镜子，反射波是入射波的正像。

（4） β＜1，即波从大阻抗介质传入小阻抗介质。因ζR≤0，故反射力波与入射力波异号，若入射波为下行压力波，则反射的是上行拉力波，与后继到来的入射压力波迭加起卸载作用；因反射波与入射波运行方向也相反，则反射力波引起的质点运动速度VR与入射波的VI同号，显然与后继到来的入射下行压力波引起的正向运动速度迭加有增强作用；又因ζT

≤1，则透射力波的幅度总是小于或等于入射力波。特别地，当β→0即Z2=0时，相当于自

由端反射，此时有ζR= -1和ζT=0，在该界面处入射波和反射波迭加使力幅度变为零，而入

射波和反射波分别引起的质点运动速度在界面的迭加结果使速度加倍。这时，自由端也相当于一面镜子，只是反射波是入射波的倒像。 8.2.4 应力波在杆两端面处的反射

8.2.4.1 考虑实际工程桩的桩底支承条件介于完全自由与刚性固定之间。而自由杆在这两种 极端条件下的反射情况已在8.2.3的第（3）和第（4）款中作为特例讨论过。这里只是将x=L1杆的某一变阻抗界面换成了x=L杆端部。但在实际动测桩时，我们更关心在x=0杆的顶端接收到的x=L杆底端反射回来的信息。下面给出了杆顶端x=0处的力边界条件如下

FtF0Ft00t

tF0 (τ)是时间宽度为τ、幅度为F0的窄矩形压力脉冲，c τ远小于L。记t=0初始脉冲F0引起的杆顶端速度和位移幅值分别为V0=F0/Z和u0=τ V0。

（1） 杆x=L底端自由情况（见图8-8）：经过时间L/c后，入射力波到达x=L自由端，为满足力恒为零条件，必须有一个能抵消入射压力波影响的拉力波与之迭加，该拉力波力幅值为F0，质点运动速度幅值为V0。此反射拉力波引起的质点运动速度方向仍向下（正向）。当t=2L/c时，拉力波返回到桩顶。按力边界条件F(t>τ)│x=0=0，此时杆顶相当于自由端。根据8.2.3第（4）款的讨论，返回的拉力波在杆顶自由端反射时将变号，即再次向下反射为质点运动方向向下的压力波……。如此以2L/c为周期，周而复始地循环。注意：应力波在自由端入射和反射产生的总效果可理解为两个独立的下行波和上行波迭加，即在同一时刻、同一端面相遇处，为各自的力幅和相应质点运动速度幅值的代数和。对于第一次反射波，在距

7

第三篇

杆底端面c τ/2以内区域，力幅为-F0，速度幅为V0的上行反射波与力幅为F0，速度幅为V0的下行入射波产生迭加，使在距桩端c τ/2区段内的力幅等于零而速度幅加倍，产生这种端部迭加效果的总历时等于τ/2 -（-τ/2）= τ。而在杆区段[c τ/2，L- c τ/2]内，第一次的反射波以力幅为-F0，速度幅为V0独立地向杆顶面传播，并不会产生迭加效果。类似的讨论对杆顶部变为自由端后的情形也成立。于是应力波多次在底端和顶端产生迭加的区域分别为距底端和顶端c τ/2的长度，时间范围分别是 底端： 2n1Lt2n1L (n=1,2,3,顶端： V ,u V c2c2…) u xn=0 2 L 杆顶端 2L7u0 Vc2tn2 (n=1,2,3,5u0 …) 2V0 3u0 c图8-80 0u0 不仅绘出了x = 0同时也绘出x = L/2和x = L处的速度与位移时程曲线。 t （2） 杆x = L底端刚性固定情况（见图F08-9）：经过时间F0L/c后，入射压力波到达F0x固定端。为满足固定端运动（质点运动速度和位移）恒为零的条件，必须有一个能产生质点FF00F0F0L 运动速度向上的波来抵消入射压力波产生的质点运动速度向下的影响，2L/c 2L/c 2L/c 该波只能是反射压力波，其幅值为x F0，质点运动速度的幅值为V0且方向向上（负向）。当t=2L/c时，压力波返回到杆顶。V,u 按前面的讨论，返回的压力波在杆顶自由端反射时将变为拉力波，即再次向下x=L/2 杆中部 反射为质点运动方向向上（负向）的拉力波……。如此以2L/c为周期、符号交替变化、周6u0 而复始地循环。V0 3u0 4u0 5u0 0u0 2u0 t L/2c L/c L/c L/c L/c L/c V,u x=L 杆底端 6u0 2V4u0 0 2u0 0t 2L/c 2L/c 2L/c 图8-8 杆x=L底端自由情况 V,u x=0 杆顶端 2VV0 0 0u0 u0 t -u0 -u0 F00F0LF 0FF0F0F02L/c 2L/c 2L/c x V,u x=L/2 杆中部 V0 u00 u0 t L/2c L/c L/cL/c-u 0 L/c L/c F x=L 杆底端 2F0 0 t -2F0 2L/c 2L/c 2L/c 图8-9 杆x =L底端刚性固定情况 = L8 第三篇

图8-9绘出了x=0和x=L/2的速度与位移时程曲线，由于x=L处速度与位移恒为零，所以该处只给出了力的时程曲线。 8.2.4.2 应力波在自由端、固定端反射的典型实验 （1）拉断石膏杆试验：如图8-10，一根长约30cm的石膏杆由两根丝线水平悬吊，在杆右端安置电极，充电后电极瞬时放电可产生持续极短的压力脉冲。在引爆电极的同时，启动超高速摄影机，拍下石膏杆的断裂过程。当入射压力脉冲到达杆左端时，将向右反射拉力波，而石膏的抗拉强度远低于其抗压强度，当拉力波与后继到来的入射压力波迭加使杆截面上的净拉应力超过石膏的动态抗拉强度时，则在离杆左端不远处出现第一个断裂面。因为第一个断裂面的产生将成为后继到来的入射压力波的全反射自由面，当然在第一个断裂面尚未形成前也会有部分反射拉力波通过，接下来依次由左向右形成第二个断裂面，第三个断裂 面……。石膏杆断裂情况见图8-10的照片。 图8-10 拉断石膏杆实验 （2）拉断钢丝实验：如图8-11，带支盘的钢丝上端固定，由低到高调整穿心锤落距h0，锤下落撞击支盘，拉力波由支盘撞击端向上端固定处传播，并在该处拉应力加倍，钢丝拉断的h0 锤 位置总是在上端固定处。

支盘 图8-11 拉断钢丝实验 9

第三篇

8.6.2 时域信号中存在的一维纵波波速测不准现象 8.6.3.2 高频干扰的强弱也与传感器安装位置有关

上述计算与实测的干扰波结果，不仅与/R有关，还与传感器安装位置有关。计算表明：

（1） 对于圆柱体，瞬态集中力作用在圆心处，虽然在距圆心不同距离的点上所感受到的一阶高频干扰频率一样，但速度振幅不同（见图8-28），高频干扰振幅的最小点约在距圆心2R/3处。图8-35是以2R/3处位移振幅u0作基准（0dB点）的顶面各点振幅包络线，从中可看出敲击结束后不同r处的振幅相对变化情况。图8-36是一根L=53 m，φ1200 mm的灌注桩（桩顶2.5m的护筒直径为1.4m）在同一脉冲激励下，在距桩顶中心R/3和2R/3处测得的速度波形对比。从波形图和频谱图都可清晰看出2R/3处所受到的高频干扰较R/3处小。需要说明的是高频干扰振幅最小点并不是精确存在于2R/3处：因为实际的桩身也不可能是形状规则、质地均匀的圆柱；/R较小时还能激发出更高阶的径向振型，一阶与高阶振型迭加使2R/3处不是“驻点”，即传感器即便置于2R/3处，所得信号也同样会受到较强的高频干扰波的影响。所幸的是常规试验中激励脉冲不会很窄，高频分量有限，高阶振型被激发的问题并不突出。

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