牛顿环测平凸透镜实验研究及其拓展

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

题目：

用牛顿环干涉测透镜 的曲率半径实验研究

院（系）

理学院 物理学 2009级

但维义 梁 红

2013年 6月 16日

09041104 副教授

专 业

年 级

姓 名

学号 职称

指导教师

承 诺 书

本人 但维义 ，哈尔滨学院 理 学院， 物理学专业 091 班学生，学号：09041104 。

本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文：

《 用牛顿环干涉测透镜的曲率半径实验研究 》， 是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。

承诺人

年 月 日

毕业论文（设计）评语及成绩

论文类型：理工类 评语： 指导教师（签字） 年 月 日 评语及评分 成绩： 答辩委员会主席（签字） 年 月 日 院（系）学位评定委员会意见： 签字： 年 月 日 签字： 年 月 日 学校学位评定委员会意见：

目 录

摘 要 ......................................................................................................................................................... 1 ABSTRACT .............................................................................................................................................. 2 前 言 ......................................................................................................................................................... 3 第一章 牛顿环干涉原理及其装置结构 ............................................................................................... 5

1.1 牛顿环干涉实验原理 .............................................................................................................. 5 1.2 牛顿环实验装置 ...................................................................................................................... 6

1.2.1实验仪器 .......................................................................................................................... 6 1.2.2光路原理 .......................................................................................................................... 6 1.2.3牛顿环装置的调节 .......................................................................................................... 7 1.2.4牛顿环装置调节注意事项 .............................................................................................. 8 1.2.5干涉圆环视场中的几个常见问题以及解决办法........................................................... 8

第二章 牛顿环实验数据记录以及数据处理 ....................................................................................... 9

2.1 牛顿环实验数据记录 .............................................................................................................. 9 2.2 牛顿环数据处理 ...................................................................................................................... 9

2.2.1数据处理方法一 .............................................................................................................. 9 2.2.2数据处理方法二 .............................................................................................................11

第三章 牛顿环测平凸透镜曲率半径的影响因素 ............................................................................. 12

3.1 牛顿环装置拧得太紧对实验的影响 .................................................................................... 12 3.2 读数显微镜的刻度线不经过圆心对所测曲率半径的影响 ................................................. 13 3.3 接触点为亮斑对所测曲率半径的影响 ................................................................................ 14 3.4 牛顿环的形变对所测曲率半径的影响 ................................................................................ 15 3.5 光的相干性以及光强对干涉条纹的影响 ............................................................................ 16

3.5.1光的相干性对干涉条纹的影响 .................................................................................... 16 3.5.2光强对干涉图样的影响 ................................................................................................ 18 3.6 理想牛顿环干涉图样特点 .................................................................................................... 18 第四章 牛顿环干涉实验的拓展 ......................................................................................................... 19

4.1 改造牛顿环仪测平凸透镜的焦距 ........................................................................................ 19 4.2 利用牛顿环装置测定液体折射率 ........................................................................................ 19

4.2.1测量原理 ........................................................................................................................ 19 4.2.2牛顿环测液体折射率数据记录及处理 ........................................................................ 20 4.2.3用牛顿环测液体折射率折射率测量方法 .................................................................... 21 4.3 利用牛顿环干涉条纹测定薄膜厚度 .................................................................................... 21 4.4 用牛顿环测透镜表面的凹凸性 ............................................................................................ 22 4.5 用牛顿环测光学零件的标准性 ............................................................................................ 23 后 记 ..................................................................................................................................................... 24 参考文献 ................................................................................................................................................. 25 致 谢 ....................................................................................................................................................... 26 附录A 干涉牛顿环半径与平凸透镜曲率半径关系的推导 .............................................................. 27 附录B 液体折射率与干涉牛顿环半径之间的关系推导 .................................................................. 29

I

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摘 要

在大学物理实验中，牛顿环实验是分振幅干涉中等厚干涉的一个重要实例，本文结合等厚干涉原理，全面剖析了牛顿环的成像原理以及成像图样。

依据牛顿环成像图样，本文进一步分析了牛顿环仪中平凸透镜曲率半径与干涉圆环直径之间的关系，并应用逐差法处理计算出了其平凸透镜的曲率半径，然后计算出其不确定度。

为了更深入地了解牛顿环实验，本文进一步地拓展了牛顿环干涉图样在其他方面的应用，比如用牛顿环测定液体折射率，所测得的结果与理论值大体一致，也探讨了牛顿环测量透镜的凹凸性、测定光学零件表面的标准性以及测定透镜焦距等一系列应用，并对牛顿环实验以后的发展进行了展望。

关键词：牛顿环; 等厚干涉; 曲率半径; 逐差法; 液体折射率

1

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ABSTRACT

In the college physics experiment, Newton's rings experiment is amplitude interference of medium thick an important instance. According to the Isopach interference principle, the comprehensive analysis of the Newton ring imaging principle and imaging pattern.

Imaging pattern on the basis of Newton’s rings, this paper further analyzes the Newton rings apparatus flat and convex lens curvature radius of the interference ring diameter, the relationship between the application and processing through “gradual deduction method” calculate the plane convex lens curvature radius, and then calculate the uncertainty.

In order to more in-depth understanding of Newton ring experiment, this paper further extends the Newton ring interference pattern in other applications, such as Newton’s rings measuring liquid refractive index, and the measured results in accord with the theoretical value, the determination of Newton’s rings measuring concave and convex lens and optical components on the surface of the standards, and measuring lens focal length and a series of applications, and the development of Newton ring experiment after in the future.

Keywords: Newton's rings; Isopach interference; Radius of curvature; By differential method; Liquid refractive index

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前 言

“牛顿环”是牛顿中年在尝试制作一个天文望远镜的时侯，偶然之间把一个望远镜的物镜（平凸透镜）放在平板玻璃板上发现的，此实验是大家熟悉的一种空气薄膜产生的等厚干涉实验，尽管实验原理并不复杂，却有不少著名物理学家从不同角度对它进行过细致研究，因而在历史上发挥过重要作用[1]。牛顿环属于用分振幅法产生的干涉现象，亦是典型的等厚干涉条纹。它为光的波动性提供了重要的实验证据，光的干涉现象广泛地应用于科学研究、工业生产和检验技术中，如利用光的干涉法进行薄膜厚度、微小角度、透镜的曲率半径等几何量的精密测量，也普遍应用于检测加工零件表面的光洁度和平整度及机械零件的内力分布等[2]。

在大学物理光学实验中，牛顿环的干涉实验是一个必做的基础性实验，目前大多数的牛顿环干涉实验都是在光学实验平台上操作，实验方法是先将各光学元件固定在二维或二维底座上，沿着光学平台上刚尺方向安排光路，同时调节光路得到理想的干涉图样，然后利用读数显微镜测出干涉圆环的直径，从而间接测得凸透镜的曲率半径。

[3]

为了提高实验效率和测量精度。有一部分结合光学实验平台，将CCD成像技术应用

到该实验中，其中，有的是把传统的实验方式反射式改为透射式，并且为每个光学平台配置了一套计算机系统，有的是对牛顿环观测系统进行改进，增加基于CMOS传感器DS的图像采集与处理的嵌入式子系统。这些改进和探索可以改善干涉图样的观察效果，方便数据的采集及处理，对牛顿环干涉实验无疑是有益的。但是，此实验的关键是如何能够快速调节光路，得到理想的干涉图样，如果没有得到理想的干涉图样，即使引进这些先进的观测系统，也不能提高效率及测量精度，并且引进这些先进的观测系统需要的费用很大[4]。

通常先借助于单色钠光用分振幅干涉法产生干涉圆环，而后对干涉暗环进行相关测量，最后计算得到曲率半径。目前对该实验的研究大多关注于实验方法的改进用虚拟实验技术进行测量，新的方法处理实验数据，不同数据采集方法对精确度的影响，以及不确定度的计算等。这些研究是建立在普通牛顿环结构基础之上的，即平板玻璃、平凸透镜和金属固定框架。用普通牛顿环进行实验中往往存在着一些问题，如中心干涉暗环范围较大，读数容易出错，视野太暗等[5]。在精确度允许的范围内对牛顿环进行适当地改进，可能对克服以上出现的问题会产生一些积极的效果。但这方面的研究很少有报道[6]。基于此点考虑，本文设计了一种由双凸透镜组成的改进牛顿环。

折射率是物质的基本特性参量，测量折射率是物理实验重要内容之一，液体折射率的测量要比固体折射率的测量复杂，而且引进的测量误差也较大[7]。在普通物理实验中牛顿环干涉实验所讨论的是当透镜的凸面与平面玻璃之间产生的薄膜为空气薄膜，薄膜介质的折射率为1时所发生的干涉现象，利用牛顿环干涉来测量透镜的曲率半径。而本文主要讨论的是利用牛顿环干涉实验精确测量平凸透镜的曲率半径，以及

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影响干涉图样的原因和解决办法。深入分析牛顿环实验，使之具有更大的适用性，牛顿环以装置简单，操作方便，物理图像明显可见等独特优点，在大学物理实验中得到了广泛的应用，在科学研究中也得到了较广泛的应用[8]。对进一步了解光的相干原理、光干涉在生活中和实验中的重要作用具有推动作用，因此牛顿环实验具有比较重要的研究意义。

本文对利用光学实验平台做牛顿环干涉实验测平凸透镜曲率半径的过程中做了较为深入的分析，同时也对一些进行该实验时可能出现的常见问题进行了分析，并简单介绍了牛顿环实验在实际中的应用。牛顿环实验是光学基础性实验，本文对牛顿环实验中出现的变形的原理及实验的扩展进行了分析。

4

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第一章 牛顿环干涉原理及其装置结构

1.1 牛顿环干涉实验原理

如果让一个曲率半径很大的平凸透镜的凸面与一个磨光的平玻璃板相接触时形成一个牛顿环装置，在平凸透镜的凸面与平玻璃板之间形成一层具有较小宽度的空气薄膜，离某接触点等距离的各圆周上所对应的空气薄膜厚度相等，如图1—1（ｂ）所示，若以波长为的单色平行光投射到这种装置上时，则空气薄膜的上表面和下表面所反射的光波相遇时将会产生干涉，这种干涉是一种等厚干涉，用显微镜在反射方向观察其图像时，将看到一组以接触点为中心的亮暗相间的圆环干涉条纹，而且中心是一块圆形暗斑[9]。若用显微镜在透射方向观察，则看到的干涉条纹与原来反射光的干涉条纹的光强分布形成互补，即原来的亮条纹变为暗条纹，原来的暗条纹变为亮条纹，中心的暗斑变为亮斑[10]，如图1—1所示，设平凸透镜的曲率半径为R，形成k级干涉牛顿环暗环的半径rk，则有（详细推导过程见附录A）：

rkkR（k0.1.2.3.4.......) （1—1）

见（1—1）式表明当入射光的波长已知时，测出干涉圆环的半径rk就可以得出

平凸透镜的曲率半径R，理想情况下干涉圆环的中央是一个小黑点，但是由于平凸透镜的凸面与平板玻璃相接触时玻璃出现弹性形变，以及在接触点难免有一些细小的尘埃等微粒，使得平凸透镜与玻璃中心接触的地方不是一个几何点，因此再用显微镜观察牛顿环干涉图样时中间是一个较大的暗斑或者亮斑而不是一个小黑点，以至于不能准确判定圆心的所在位置，从而就不可能准确测定其干涉圆环半径rk，在实验中经常用以下方法来测定平凸透镜的曲率半径R；

分别测量两个暗环的直径Dm和Dn，由（1—1）式可得出：

Dm4(mj)R （1—2）

（1—3）

Dn4(nj)R上式中的

j表示由于中心暗斑的影响而引入的干涉级数修正值，m与n表示实

22Dm-DnR4(m-n)际观察到的圆环序数，联立上述两式可得：

（1—4）

由（1—4）式可见平凸透镜的曲率半径R只与牛顿环的级数差和直径的平方差有关，这样就不必确定各环的实际环数，牛顿环的直径可以用读数显微镜在圆环中心不确定的情况下测出，因此避免了在实验过程中所遇到的级数与环中心无法确定的困难。

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（a） (b)

图1—1 牛顿环干涉原理图以及装置图

1.2 牛顿环实验装置

1.2.1实验仪器

用牛顿环干涉测透镜曲率半径实验所需的实验仪器有；牛顿环仪，钠灯，平行平板（连支架），移测显微镜，光学平台（带有钢尺）

牛顿环仪：实验室所常用的牛顿环仪由待测平凸透镜和磨光的平板玻璃叠合装在金属框架中构成，其框架的边上有三个小螺旋环，用于调节平凸透镜与玻璃板之间的接触点，从而改变干涉圆环的形状和位置，在调节小螺旋环的过程中不可旋得太紧，以免在平凸透镜与玻璃板接触时压力过大引起透镜产生弹性形变从而影响干涉条纹的形状，拧得太紧甚至会损坏透镜。牛顿环仪如图1-2所示

图1—2 牛顿环仪图

二维底座 小螺旋环

1.2.2光路原理

由钠灯光源发出的单色钠黄光经与牛顿环仪光轴成45度角的平行平板反射获得平行单色光进入牛顿环仪，在牛顿环仪上形成干涉条纹，然后光再在牛顿环仪上反射，反射过来的反射光透过反射镜而进入到移测显微镜视场中，最后利用移测显微镜测量。通过改变显微镜，牛顿环仪，反射镜三者之间的距离可清晰的观察到在牛顿环仪上形成的明暗相间的干涉圆环。光路如图1—3所示：

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1：牛顿环支架 6：二维平移底座（SZ-02） 2：牛顿环组件 7：干版架（SZ-12） 3：半透半反玻璃（分束器） 8：升降调节座（SZ-03） 4：显微镜 9：钠灯 5：测微目镜架 10：升降调节座

图1—3 牛顿环光路图

1.2.3牛顿环装置的调节

（1）先打开钠光灯使其先进行实验前的预热，为提供实验光源做准备。 （2）借助实验室内的白炽灯光用眼睛直接观察牛顿环仪（直接用眼睛观察不太明显，需仔细观察），轻轻调节框架上的三个小螺旋环使其干涉圆环呈圆形，并尽量位于平凸透镜的中央。

（3）调节移测显微镜，使目镜中看到的叉丝与刻度线同样清晰，调节后固定镜筒长度，最后将各光学元件固定在底座上，为了使装置便于调节，读数显微镜和牛顿环仪固定在二维底座上，平行平板固定在一维底座上，光轴方向与钢尺方向相同。

（4）先将显微镜的物镜直接对准牛顿环仪，目测使移测显微镜与牛顿环仪共轴等高，将平行平板放在二者之间，将移测显微镜、反射镜以及牛顿环仪尽量靠近，用眼睛粗调共轴等高，用钠光直接照射平行平板使其得到单色平行光进入牛顿环，此时显移测微镜中将出现黄色视场（只要所调节的光路不存在明显的错误），然后由近及远缓慢移动移测显微镜，尽可能找到清晰的干涉圆环（只要是（1）-（3）步骤调节正确都可出现干涉条纹）。一般情况下此时观察到的干涉条纹都是左右两边不对称的，而且是一边较为清晰，一边较为模糊，此时可松开固定牛顿环仪支柱的小螺旋，一边通过调节目镜观察视场中出现的干涉圆环，一边左右稍微转动一下牛顿环面，使干涉圆环两侧同样清晰，而且相对环心对称分布。如此一来三个光学元件就做到了严格的共轴等高要求，同时光轴垂直于牛顿环面。

（5）调节视场的光强度，若目镜视场中的光很亮或者太暗，可松开固定反射式平面镜支柱的小螺旋，稍微改变一下反射镜的方位，直至目镜视场中的光强度刚好适应自己的眼睛，此时平行平板与显微镜和牛顿环仪的共同光轴所成角度接近45度。

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（6）通过上述步骤的调节之后，通常情况下就可以得到理想的干涉圆环，接下来可关闭实验室白炽灯光，利用读数显微镜测量干涉圆环的直径，从而计算出平凸透镜的曲率半径。

1.2.4牛顿环装置调节注意事项

（1）平行平板与光轴成45度角。

（2）干涉圆环的中心几乎在牛顿环仪的中心。

（3）平行平板一般用分光板代替，反射率和透射率都是50%。 （4）牛顿环面与光轴垂直。 （5）各光学器件严格要求共轴等高。

1.2.5干涉圆环视场中的几个常见问题以及解决办法

（1）问题：能分辨的干涉圆环数目太少。 原因：各光学器件未达到共轴等高。

解决办法：沿实验台上的钢尺摆放光学器件使其达到共轴，目测调节各光学器件达到等高。

（2）问题：视场中的干涉圆环相对于环心不对称，而且出现一边模糊，一边相对清晰。

原因：牛顿环面与光轴未达到垂直。

解决办法：松开固定牛顿环仪支柱的小螺旋，一边观察视场中的干涉图样，一边左右轻轻转动牛顿环仪，直至干涉圆环对称而且同样清晰，然后拧紧螺丝固定牛顿环仪。

（3）问题：视场中的干涉图样太暗淡。

原因：平行平板的反射率太低或者平行平板法线方向的与光轴的夹角偏离45度角太多。

解决办法：松开固定平行平板支柱的螺丝，轻轻转动其平板，使其法线方向大致与光轴方向的夹角成45度，直至干涉图像最亮，若调节好平行平板法线方向与光轴方向的夹角成45度后视场中的亮度任然是太暗可考虑更换萍乡平板，也可用迈克逊干涉仪实验中的分光板将其代替。

（4）问题：目镜视场中根本找不到干涉圆环。

原因：可能是安排光路时发生错误或者干涉圆环并非在牛顿环仪的中央。 解决办法：借助室内灯光，轻轻转动牛顿环仪上的三个小螺旋，使干涉圆环尽可能处于牛顿环仪的中央，若调节到中央之后仍是看不到干涉圆环则按照牛顿环干涉装置调节步骤一一检查光路是否发生错误，纠正错误，若干涉圆环在牛顿环的中央而且光路无任何错误，则检查读数显微镜是否已被损坏。

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第二章 牛顿环实验数据记录以及数据处理

2.1 牛顿环实验数据记录

牛顿环实验数据记录如表2—1所示 钠光的波长：589nm

表2—1 钠光牛顿环数据记录 圈数 5 6 7 8 9 10 11 12 13 显微镜读数/mm 左方 1.86 1.69 1.57 1.45 1.33 1.21 1.10 1.01 0.88 右方 5.62 5.71 5.90 6.00 6.12 6.22 6.33 6.45 6.57 3.76 4.02 4.33 4.55 4.79 5.01 5.23 5.44 5.69 直径D/mm D/mm 14.14 16.16 18.75 20.70 22.94 25.10 27.35 29.59 32.38 22组合方式 9-5 10-6 11-7 12-8 13-9 （Dh2-Dk2）/mm2 8.80 8.94 8.60 8.89 9.44 牛顿环干涉图样如下所示：

图2—1干涉牛顿环图样

2.2 牛顿环数据处理

2.2.1数据处理方法一

（1）利用逐差法计算平凸透镜的曲率半径

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2rh2-rk2Dh-Dk2Rj(h-k)4(h-k) （2—1）

（2）计算被测物理量的算术平均值

1nRRjnj1 （2—2）

（3）计算被测物理量的不确定度

2（R-R)jj1nAR

n(n-1) （2—3）

A类不确定度为：

uARARtp（tp是修正因子，tp=1.2） （2—4）

B类不确定度为；

 uBR仪（c为置信因子，一般情况下c3，仪取仪器的最小分度值）

c（2—5） 被测物理量的总不确定度为： 带入以上数据得到：

22D9-D58.810-6R10.935m-94(9-5)4458910 22D10-D68.9410-6R20.940m-94(10-6)4458910 22D11-D78.6010-6R30.917m-94(11-7)4458910 2D12-D828.8910-6R40.945m-94(12-8)4458910

22uRuARuBR （2—6）

被测物理量的准确结果为： RRuR （2—7）

22D13-D99.4410-6R51.00m-94(13-9)4458910

150.9350.9400.9170.9451.00RRi0.948m5i15 AR(R-R)ii1525(5-1）0.13mm

uARARtR0.131.21.16mm

uBR仪0.015.7710-3mm

c3 10

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22uRuARuBR1.16mm

RRuR（9481.16）mm

2.2.2数据处理方法二

环数（m） 5 6 7 8 9 10 11 12 13 直径的平方 (mm) 214.14 16.16 18.75 20.70 22.94 25.10 27.35 29.59 32.38 表2—2 干涉环数m与直径平方D的关系

2环数m与直径的平方D2之间的关系如图2—2所示

环数m

图2—2 m-D关系图

2

22Dm-Dn29.59-22.942.20 由图可知直线的斜率：km-n12-9k2.20见（1—4）式可知平凸透镜的曲率半径：R0.94m -34458910 11

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第三章 牛顿环测平凸透镜曲率半径的影响因素

3.1 牛顿环装置拧得太紧对实验的影响

若牛顿环仪被拧得太紧会导致平玻璃板产生形变[11]，此时该平玻璃板可看成为一个曲率半径为R2的球面，如下图所示：

R

R2 dd 2 图3—1 牛顿环原理图

由图中的几何图形可知：

R2（R-d-d22)r2j 2

R2（R2-d2)2r2j 又因为：

22ddj2r2Rd2rj

2R2 联立（3—1）与（3—2）两式可得：

r2dj

2(11RR)2 两束光的光程差：

2d-21j(

2rR1R)2 当干涉相长时有：

2d-2r2j(1R1R)j2 见（3—6）式可知：

r2RR2jj(RR)jR'2 即：

R'RR2

R2R 12

（3—1）（3—2）3—3）

3—4） 3—5）

3—6） 3—7）

3—8）

（ （

（ （

（ （哈尔滨学院本科毕业论文(设计)

又

R21

R2R故牛顿环仪拧得太紧时所测得的平凸透镜曲率半径R'比松紧适当时所测得的曲率半径R要大。若牛顿环调的太松，则平凸透镜与平板玻璃无法接触会出现跑环现象，观察不到干涉圆环的现象。

3.2 读数显微镜的刻度线不经过圆心对所测曲率半径的影响

牛顿环干涉图样是一个以接触点为中心且中心是亮斑或者暗斑的同心圆环，理想情况下中心是一个小黑点，我们测量干涉圆环直径是用同一圆环的左右位置的数据相减而得，要求读数显微镜的刻度线经过圆心，十字叉丝与干涉圆环相切，但是实际情况下干涉圆环中心是一个暗斑，无法准确判断圆心的位置，因此我们在测量圆环的直径时所测得的数据不是直径的长度，而是弦的长度，原因在于要确定它的中心是十分困难的，要做到读数显微镜的十字叉丝与每个牛顿环相切是也几乎不可能的，那么这样所测得结果对所要求的曲率半径有没有影响呢？如图3—2所示，要做到读数显微镜的十字叉丝与牛顿环相切必须每次测量时所测的点连起来要通过圆心（即刻度线经过圆心），比如路径abc，现假设实际测量时读数显微镜的十字叉丝通过的路径为abc。

''[12]

a b'b c' c 图3—2 读数显微镜视场

根据平凸透镜曲率半径与干涉圆环半径的关系有：

2rm-rn2(rr)(r-r)Rmnmn(m-n)(m-n) （3—9）

r'm-r'n(r'mr'n)(r'm-r'n)'R(m-n)(m-n) （3—10）

刻度线经过路径abc有：rmrnac， rm-rnab （3—11）

22 同理经过路径abc有：

'''rmrn'ac'，

'rm-rn'ab' （3—12）

由图中几何知识可知：

ac'ab''acab' acabacab （3—13）

联立上式可知：

''（rmrn)(rm-rn)(rmrn')(rm-rn'） （3—14）

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所以：

R'R （3—15）

综上所述，在平时实验中将测得的弦的长度带入关系式中对曲率半径的计算是没有影响的，即在实验中不需要严格强调读数显微镜的十字叉丝与干涉牛顿环相切以及刻度线严格经过圆心，只要按照调节步骤调节好试验装置系统，则实验室干涉牛顿环的中心不管是亮斑还是暗斑，十字叉丝不管是不是与牛顿环相切，不管圆心是否在刻度线上，将所测得数据带入关系式中进行处理即可，对所要求的曲率半径的结果均没有影响。

3.3 接触点为亮斑对所测曲率半径的影响

牛顿环干涉原理图如下图3—3所示：

图3—3 牛顿环干涉原理图

由于：

R2(Rd)2rj22 （3—16）

在应用中无穷小量d可省略，则上式可得：

drj22R （3—17）

根据原理图所示，用平行光照射牛顿环仪，空气膜的上表面与下表面所产生的光程差：

2d-2(2j-1)2 （3—18）

当平凸透镜与平面镜之间有尘埃时，从而导致接触不是十分紧密，出现一个附加光程差，因而使接触点为亮斑，设尘埃厚度为a，则任意两束相干光的光程差为：

（2da)-

2(2j1)2 （3—19）

则；

d

又因为：

ja2 （3—20）

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drj22R （3—21）

那么；

rj2jRRa （3—22）

由于附加光程差的存在，因而不能确定接触点的亮斑是否为零级亮纹，且近圆心处的环级数较为模糊，因而难以判断干涉条纹级数j和精确判断干涉条纹半径r，即不能确定干涉圆环级数与环序数是否一致。 以干涉圆环级数j与环序数m的关系如下：

jmk (k为干涉级修正值） （3—23） 则环序数m,n的半径rm,rn分别为：

2rm（mj)RRa （3—24） （3—25）

rn2（nj)RRa以上两式相减得：

2rm-rn2R(m-n) （3—26）

该式与之前推导出的平凸透镜曲率半径和干涉圆环半径一致，充分说明无论接触点是亮斑还是暗斑，对于所要测平凸透镜你给曲率半径的结果是没有影响的。

3.4 牛顿环的形变对所测曲率半径的影响

我们在做牛顿环实验时，留心的学生可能会发现有时本该呈圆环形的干涉牛顿环在局部发生变形的现象，而且一般是内凹，变形牛顿环原理图如下图3—4所示，变形的图像如下图3—5所示：

c

图3—4变形牛顿环原理图

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图3—5 变形牛顿环观测图样

当平板玻璃的上表面无任何杂质时，出现的理想干涉图形是以接触点为圆心的同心圆环，当平板玻璃的上表面局部不是太光滑，或者其上表面局部附有一些细小微粒或者细小脏物的杂质时，由于杂质的折射率一般大于空气的折射率，因而会引起附加光程差，使得干涉圆环发生形变。

设在平板玻璃的上表面的任意c点的邻域内存在一些微小的杂质，设这些微小杂质的折射率为n，沿光线垂直照射方向的厚度为a，则点c邻域处对应的两束反射光的光程差为：

12x(n-1)a-2 （3—27）

其中x为在c点处平凸透镜的凸面与平板玻璃上表面的距离 若在该点满足任意j级亮条纹的条件，则存在：

j2j （3—28）

若在该点处无杂质时，与之相对应同一级亮条纹对应的空气层厚度为x，此时两束相干光的光程差为：

22x-2 （3—29）

所以，因灰层等细小杂质或者一些细小微粒的原因，同一级条纹对应的光程差发生改变，从而形成条纹内凹的现象。[13]

从变形干涉圆环中可以看出，若平板玻璃上存在细小杂质时干涉牛顿环虽然变形但仅限于c点邻域内，并未改变c点外的光程差，因此，在测量时只要避免测量变形处（即凹处）就不会给测量数据带来影响。

3.5 光的相干性以及光强对干涉条纹的影响

3.5.1光的相干性对干涉条纹的影响

（1）激光牛顿环

用普通的氦氖激光器照射牛顿环装置，得到的干涉图样如图3—6所示。 相对于实验室中经常把钠光作为光源的牛顿环仪，把激光作为光源的牛顿环仪

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的测量精度要高得多，但是用激光照射牛顿环装置时，由于激光的相干长度过长（一般为20--30cm）[14]，以至于平凸透镜的上表面和凸面，平板玻璃的上下表面的四束反射光都可能产生干涉，干涉图样可能是由于空气膜层的两个界面的反射光相干涉而形成，也可能是透镜的两个界面的反射光相干涉而得，也可能两者兼有，与传统钠光作为光源的所得干涉图样存在很大差异。

（2）白光牛顿环

用普通白光代替钠光照射牛顿环装置，得到干涉圆环图样如图3—7所示，由图可见，干涉圆环为彩色同心圆环，对于每一组光谱而言都是红色光谱在外围，紫色光谱在内围，由于它的非相干性直接影响干涉条纹的可见度与清晰度。

（3）钠光牛顿环

用钠光照射牛顿环装置，得到的干涉图样如图3—8所示，由于在实验室经常用钠光作为光源进行牛顿环实验，钠光牛顿环图样我们已经了解很多了，再次就不在赘述了。

图3—6激光牛顿环干涉图样

图3—7白光牛顿环干涉图样

图3—8 钠光牛顿环干涉图样

17

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3.5.2光强对干涉图样的影响

根据两束相干光相互叠加时所得的相干光强：

II1I22I1I2cos(1-2) （3—30） 由此可知相干光强叠加时最大光强：

2I(II)max12 （3—31）

相干光强叠加时最小光强：

2I(I-I)min12 （3—32）

因为在实验室中大多用单色光源照射牛顿环仪则：

I1I2I （3—33） 那么：

Imax4I Imin0 （3—34）

干涉图样的可见度：

p

Imax-Imin1ImaxImin （3—35）

由此可知，单色光源的光强对干涉图样的可见度是不产生影响的。

综上所述比较以上三种单色光的牛顿环图样，分析了激光牛顿环、钠光牛顿环和白光牛顿环，综合考虑干涉图样和曲率半径的关系，得出利用牛顿环干涉条纹测平凸透镜曲率半径时，最佳使用光源是钠光，因此，大多数实验室开设此实验都是用钠光作为光源照射牛顿环仪的。

3.6 理想牛顿环干涉图样特点

（1）干涉牛顿环图样是以接触点为圆心的一组明暗相间的同心圆环，圆环中央沿反射光方向观察是暗斑，沿透射光方向观察是亮斑[15]。

（2）从中心向外，条纹级数相对于内侧愈来愈高，相邻亮条纹之间的距离也是愈来愈紧密。

（3）用白光照射牛顿环装置时将形成彩色光谱，对于每一组光谱，红色光谱在外圆，紫色光谱在内圆（白光是各种单色光混合而成，各单色光的波长不同引起干涉位置不同）。 （4）增减平凸透镜与平板玻璃的距离，干涉圆环都将随之发生变化，增大其距离时，

空气膜的厚度随之增大，同一级干涉圆环的半径也会随着变大，每增加（空气折

2射率为1），条纹就向外扩张一条条纹，但是其清晰度减小。同理，减小其距离，空气膜的厚度也随之减小，干涉圆环也会随之向内缩进，每减小进一个条纹，清晰度增加。

，条纹就向内缩2 18

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第四章 牛顿环干涉实验的拓展

4.1 改造牛顿环仪测平凸透镜的焦距

用两块薄平凸透镜，其平凸透镜的凸面相对放置，原理图如下图4—1所示，在平行单色光垂直照射的情况下观察反射的干涉圆环条纹，测量相邻亮条纹的半径，求

出组合透镜的焦距，利用图中几何关系可知组合透镜的焦距为：

（2rj21-rj2）R f R (4d-) （4—1）

2n-1上式中n为两个平凸透镜的折射率，为入射光的波长，rj1与rj分别为第j1和第j级亮条纹的半径。有上述两个公式可知，在平凸透镜的折射率已知的情况下只要测得干涉圆环的半径就可以测得平凸透镜的曲率半径。

R 2d R 图4—1 牛顿环仪改造图

4.2 利用牛顿环装置测定液体折射率

4.2.1测量原理

已知牛顿环仪中平凸透镜的折射率，在牛顿环仪中注满待测液体，设其待测液体折射率为n，则其待测液体折射率与干涉牛顿环的半径关系为（详细推导过程见附录B）：

2rm-rn2n'2'2rm-rn （4—2）

'上式中rm，rn分别为注入液体前第m,n级暗纹的半径，rm，rn'分别为注入液体后第m、n级暗纹的半径。

在试验中通常用干涉圆环的直径来代替其半径，由上式可知液体折射率与干涉圆环直径的关系为：

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22Dm-Dnn'2'2Dm-Dn

（4—3）

4.2.2牛顿环测液体折射率数据记录及处理

（1）注入液体前后牛顿环干涉图样比较如图4—2及图4—3所示：

图4—2 注入液体前干涉图样

图4—3 注入液体后干涉图样

（2）注入液体前牛顿环干涉圆环数据记录见表4—1：

表4—1 注入液体前牛顿环干涉圆环数据记录

级数 显微镜读数/mm 左方 5 6 7 8 1.04 0.98 0.80 0.70 右方 直径D/mm 4.26 4.37 4.50 4.92 2.86 3.39 3.70 4.22 D2/mm2 8.18 11.49 13.69 17.81 组合方式 7-5 8-6 2Dh-Dk2/mm 5.51 6.32 （3）注入液体后牛顿环干涉数据记录见表4—2所示

表4—2 注入液体后牛顿环干涉圆环数据记录 圈数 5 6 7 显微镜读数/mm 左方 1.86 1.69 1.57 右方 5.62 5.71 5.90 直径D/mm 3.76 4.02 4.33 20

组合方式 D'2-D'2/mm2hk 14.14 16.16 18.75 7-5 10-6 4.61 4.54 D'2/mm2 哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 8 1.45 6.00 4.55 20.70 （4）计算液体折射率

由4—3式可知液体折射率为：

22D7-D5n1'25.511.20'2D7-D54.61 22D-D56.32n1'721.39'24.54D7-D5

nn21.201.39n11.29522

n-n1.33-1.295100%100%2.63% n1.334.2.3用牛顿环测液体折射率折射率测量方法

（1）先将牛顿环仪置于空气层，测出牛顿环在空气层形成的干涉图样中各干涉圆环的直径。

（2）选择一种待测液体，选择的待测液体的折射率应介于空气与玻璃之间，通常将水或者酒精作为待测样品。

（3）将牛顿环仪的平凸透镜和平玻璃板拆分开，然后再在两者之间注满待测液体，使其平玻璃板与平凸透镜之间的空气薄膜层充满待测液体，此时相当于牛顿环处于待测液体中。

（4）测出注入液体后形成的干涉圆环暗环的直径。将两次测得的数据带入（4—3）式中利用逐差法计算出待测液体的折射率。

4.3 利用牛顿环干涉条纹测定薄膜厚度

图4—4 牛顿环干涉条纹测薄膜厚度原理图

在平板玻璃上镀一层厚度为x的一层薄膜，镀膜前任意两条相干光的光程差为：

2d，但是镀膜后空气层上下表面相干光束的光程差为：

'（2d-x) （4—4）

又因为:

d

21

r2R （4—5）

'2哈尔滨学院本科毕业论文(设计)

镀膜前，对于亮条纹则有：

r2(2j1)2 （4—6） 2R镀膜后有：

r'd-x2R

对于亮条纹则有：

2 （4—7）

2r'（2d-x)(2j1)2R （4—8）

由上式可知：

rj'2 R-2x(2j1)(2j1)2 （4—9）

rj2 R2 （4—10）

联立（4—9）与（4—10）两式得：

rj2-rj'

2R2x （4—11）

由此可知薄膜的厚度为：

xrj2-rj'22R （4—12）

4.4 用牛顿环测透镜表面的凹凸性

在实验室观察一些透镜是凹透镜还是凸透镜，经常是用手直接触摸透镜的中央与四周相比较，如果边缘的厚度大于中间的厚度则是凸透镜，同理，边缘的厚度大于中间的厚度则是凹透镜，但是这种做法容易弄脏透镜，不利于实验器材的维护，利用牛顿环干涉现象可方便地判断透镜便面的凹凸性，不用损伤透镜。可将待测表面至于平面标准件上（通常使用简易平板玻璃），然后对标准件上表面的透镜轻轻施加压力，观察其中牛顿环图样的变化来判定其待测透镜的凹凸性，若中心有干涉圆环涌出，各干涉圆环的半径向外扩大，说明表面施压过程中空气膜的厚度增加，其对应牛顿环的半径增加，说明待测透镜的表面是凹透镜。反之，在施加压力的过程中，若中心有干涉圆环内陷，各干涉圆环的半径向中心缩小，说明在表面施加压力过程中空气膜的厚度减小，其对应牛顿环的半径减小，则说明待测透镜的表面是凸面。

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4.5 用牛顿环测光学零件的标准性

R2

R1R2R1R2R1

甲 乙 丙

图4—5 牛顿环测光学零件表面标准性原理图

在光学中常用“玻璃样板检测法”检测光学零件表面的质量，方法就是利用与牛顿环相类似的干涉条纹。这些条纹通常形成在样板和待测零件表面之间的空气层上，因此，在其专业术语中称之为“光圈”。根据所形成光圈的数目、形状以及用手压待测元件后条纹的移动就可以检测出零件的偏差，如图4—5所示，如果不出现牛顿环，如图（4—5）中甲所示，表明两者之间完美结合，中间没有缝隙，即达到了标准要求，若果牛顿环干涉图样则表面被测曲率半径大于或者小于标准值，依据牛顿环干涉图样则表面凹凸性的判别方法，可测出被测物体的曲率半径是大于还是小于标准值，从原理图中可得出：视场中出现的牛顿环的环数越多，则表面误差越大，所得牛顿环干涉图样如图（4—5）中乙、丙所示，若干涉图样中央是暗环可得出被测物体的曲率半径小于标准件，若干涉牛顿环的中央是亮环，则可得出被测物体的曲率半径大于标准件。

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后 记

用牛顿环干涉原理测透镜的曲率半径是相干光束的等厚干涉在光学实验中的经典应用，通过这个实验，更进一步了解到影响光干涉的因素，以及一些简单单光学器件的调解技巧，更熟悉地掌握了利用逐差法求被测物理量以及利用不确定度更精确地计算出被测物理量的取值范围，利用牛顿环干涉原理测液体的折射率，测定器件表面质量以及用牛顿环检测透镜表面的凹凸性是对等厚干涉实验的深化了解，在生活中具有更具体的实践应用。

物理学在科技的进步中起着举足轻重的作用，其分支的光学也随着科技的进步愈发的受到人们的重视，目前的光伏产业就是一个成功的典范，以环保，清洁，节能等优点大受人们的青睐，但是还有很大的发展空间，对于牛顿环干涉应用我们只是初步掌握了其原理，在实践应用中还不算太广泛，要做到从理论走向实践，还有很长的路要走，不过我相信，经过我们的不断探索。这一原理一定会在今后的发展中发挥着不小的作用。

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参考文献

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致 谢

本设计的完成是在我们的导师梁红副教授的细心指导下进行的。在每次设计遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行。从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了梁老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！另外，还要对身边的同学表示感谢，在实验进行最困难的时刻，是他们给了我鼓励和支持，为了我实验装置的调节与改进直至最后实验改进后各种图样的出现，他们为我费了很大的心思，在这里也非常感谢他们。

衷心感谢培育了我四年的母校，四年的本科学习让我羽翼倍丰。感谢本科学习期间谆谆教导过我的物理系的老师们，以及与我相处四年并给予我支持和帮助的各位同学和朋友们，祝你们身体健康，事业有成！

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附录A 干涉牛顿环半径与平凸透镜曲率半径关系的

推导

附录图1 牛顿环干涉原理图

任意两束相干光叠加后的结果：

 EE1E2Aco(swt) 其中:

A2A21A222A1A2cos(1-2) 相位差： 1-2 当 co(s1-2)1 时达到干涉相长即：

1-22j(j0,1,2,3) 当 co(s1-2)-1 时达到干涉相消即：

1-2（2j1）(j0,1,2,3)又因为任意两束光的光程差与相位差的关系为：

2 由牛顿环原理图可知：

两束相干光的光程差（空气的折射率约等于1）

2dn02d 存在几何关系：

（R-d)2r2R2 则有： R2d2-2Rdr2R2 若d20 则有：

dr22R 见（A—9）得两束光的光程差：

2dr2R 27

（A—1）（A—2）（A—3）（A—4）（A—5）（A—6）（A—7）（A—8）（A—9）A—10）A—11）A—12）A—13）

（

（

（

（

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见（A—5）（A—8）（A—13）地干涉相长时有：

2r22j(-)R2 （A—14）

2r2R(2j1)（j=0,1,2,3.......) （A—15） 同理，干涉相消时：

r2r2(j1)RR(j1) （j=0,1,2,3.......)（A—16）

综上所述：干涉圆环亮纹半径与平凸透镜的曲率半径的关系为：

2r2R

(2j1) 干涉圆环暗纹半径与平凸透镜的曲率半径的关系为：

r2R

(j1) 28

A—17） A—18） （（哈尔滨学院本科毕业论文(设计)

附录B 液体折射率与干涉牛顿环半径之间的关系推导

入射光通过两束相干光的光程差为：

又存在几何关系;

2nd-2（n为待测液体的折射率） （B—1）

2

（Rd)2rjR2 （B—2）

略去高阶无穷小d2，有：

dr2j

2R 对于亮条纹有：

nr'2 R-2j 则存在如下关系式；

nr'2

mR（2m1）2 nr'2

nR(2n1)2 见 （B—5）与（B—6）有：

n(m-n)Rr'2-r'2 mn有根据凸透镜曲率半径：

r22 Rm-rn（m-n） 将（B—8）带入（B—7）中有：

2 n(m-n)Rr2 m-rnr'2'2 m-rn(m-n) nr22则 m-rnr'2'2 m-rn

29

B—3）

B—4）

B—5） B—6）

B—7） B—8）

B—8） B—9）

（（（（（（（（