人教版初中数学相交线
与平行线知识点
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
第五章 相交线与平行线
相交线 相交线 邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形 1 对顶角 顶点 有公共顶点 2 ∠1与∠2 邻补角 边的关系 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 大小关系 对顶角相等 即∠1=∠2 有公共顶点 4 3 ∠3与∠4 ∠3+∠4=180° 注意点：
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角． 错解：如图， 对顶角为：（1）∠AOC与∠BOD ；
（2）∠AOF与∠BOD ； （3）∠COF与∠DOE ； （4）∠AOC与∠BOE ．
错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶
角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ．
正解：（1）∠AOC与∠BOD ；（2）∠BOE与∠AOF；（3）∠COF与∠DOE；
（4）∠COE与∠DOF．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF，∠BOC与∠AOD也是对顶角） 垂线
1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作：
C
如图所示：AB⊥CD，垂足为O
A
O D
B
2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图，直线a,b被直线l所截
2 1
3 4
1、∠1与∠5在截线l的同侧，同在被截直线a,b的上方，
6 5 7 8
叫做同位角（位置相同）
2、∠5与∠3在截线l的两旁（交错），在被截直线a,b之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
3、∠5与∠4在截线l的同侧，在被截直线a,b之间（内），叫做同旁内角. 例：
A 3 2
D 4
B 1
5 6 7 C 8 9
F E
如图，判断下列各对角的位置关系：
（1）∠1与∠2；（2）∠1与∠7；（3）∠1与∠BAD；（4）∠2与∠6；（5）∠5与∠8. 解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图. 如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角.
A 2
A B 1
B
A
A D
A
2
6 C
D
F 5 C 8
1 B F
E
7 C 1 B
F
B
注意：图中∠2与∠9，它们是同位角吗
不是，∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成. 平行线及其判定 平行线
1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b. 2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行.
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（∵两点确定一条直线） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如左图所示，∵b∥a，c∥a ∴b∥c
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才
会结论，这两条直线都平行.
例：同一平面内，不相交的两条线是平行线. 错解：对 ．
错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确．若是射线或线段有可能不相交.∴说法是错误的 ． 正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线 ． 平行线的判定
判定方法 1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法 2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行
判定方法 3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行
E
A 3 B 几何符号语言：
1 4
∵ ∠3＝∠2
2 C D
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
F
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 例：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正： （1）不相交的两条直线必定平行线.
（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交. （3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解：（1）错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏. （2）正确
（3）错误.正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”.∵如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.
例：如图，由条件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么
A D
1 2 3 B F E C
解：（1）由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行； （2）由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行； （3）由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质 平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
E
A 3 B
1 4 几何符号语言：
2 D C ∵AB∥CD
F ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
A 例：已知∠1＝∠B，求证：∠2＝∠C
证明：∵∠1＝∠B（已知）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠C（两直线平行，同位角相等）
D 1 B
2 E C
例：如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65° 求∠2、∠3的度数
A
D E
3 2
F
B
1 C
解：∵DE∥BC
∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥DF
∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
例：如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN．若AB∥CD，你能说明EG和FH也平行吗
121同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH =∠DFN．
2错解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG =∠BEN．
又∵AB∥CD，∴∠BEN =∠DFN； 从而∠BEG =∠DFH．∴EG∥FH ．
错解分析：在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的判定或性质的前提．认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线．而∠BEG和∠DFH不是直线EG，FH被某条直线所截得的同位角， ∴由∠BEG=∠DFH不能判定EG∥FH．
正解：∵EG平分∠BEN， ∴∠BEG =∠GEN =∠BEN， 同理，∵FH平分∠DFN， ∴∠DFH =∠HFN =∠DFN， 又∵AB∥CD，∴∠BEN =∠DFN，从而∠GEN =∠HFN．
而∠GEN，∠HFN 是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，∴EG∥FH．
1212
例：如图，△ABC中，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B， 试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
错解：∵∠1+∠2=180°，∴EF∥AB ． ∴∠3+∠BDE =180°．
∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE =180°． ∴DE∥BC．
错解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB． 虽然∠1和∠2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角，
但由于它们不是同旁内角， ∴尽管∠1＋∠2=180°， 也不能得到EF∥AB． 正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°． ∴EF∥DB(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠3+∠BDE=180°(两直线平行， 同旁内角互补)． ∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°． ∴DE∥BC( 同旁内角互补，两直线平行)． 命题、定理、证明
1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题. 2、命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 3、如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题. 4、经过推理证实而得到的真命题叫做定理.
5、在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 ③连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.
②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等. 例：如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：
（1）点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿.
A D B
E C F （3）点＿＿＿＿＿的对应点是点F；（4）线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿； （5）线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；（6）∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿. （7）＿＿＿＿的对应角是∠F.
解：（1）D；（2）E；（3）C；（4）DE；（5）EF；（6）∠D；（7）∠ACB.
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