高考数学 解析几何在高中数学中的应用及解题方法 北师大版

一、高考风向分析：

高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。

二、本章节处理方法建议：

纵观文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对分

数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、X围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。 鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。

三、高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

四、常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

y21。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P的轨典型例题 给定双曲线x22迹方程。

2y12y221，x21。 分析：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x22211 / 11

word 两式相减得

1(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0。

2又设中点P（x,y），将x1x22x，y1y22y代入，当x1x2时得

2xyy22y·10。 2x1x2y1y2y1，

x1x2x222又k代入得2xy4xy0。

当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2xy4xy0

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

变式练习：

给定双曲线2x2-y2=2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q1、Q2两点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由. （2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

22x2y2典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点，F1(c,0)，F2(c,0)为焦点，PF1F2，PF2F1。

ab（1）求证离心率esin()；

sinsin3（2）求|PF1|PF2|的最值。

分析：（1）设|PF1|r1，|PF2r2，由正弦定理得

3r1r2c2。 sinsinsin()得

r1r22c，

sinsinsin()csin() asinsin33322e（2）(aex)(aex)2a6aex。 当x0时，最小值是2a；

当xa时，最大值是2a6ea。

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3233word 变式练习：

x2y22设F1、（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S△=bcot F2分别是双曲线2212ab（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程y2p(x1)(p0)，直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

p（1）证明：抛物线的准线为1：x1

4由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得t1xyt由2消去y得x2(2tp)x(t2p)0 yp(x1)p，而4tp40 4(2tp)24(t2p)p(4tp4)0

故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) x1x22tp，x1x2t2p OAOB，kOAkOB1 则x1x2y1y20

又y1y2(tx1)(tx2) x1x2y1y2t2(t2)p0

t2 pf(t)t2又p0，4tp40得函数f(t)的定义域是(2，0)(0，)

变式练习：

直线y=ax+1与双曲线3x－y=1交于两点A、B两点 (1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值X围 (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ （4）圆锥曲线的有关最值（X围）问题

圆锥曲线中的有关最值（X围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

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2

2

word 典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p （1）求a的取值X围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的X围，即：“求X围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的X围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A

4(ap)4a20（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1x22(ap),又y1=x1-a,y2=x2-a,

2x1x2a|AB|(x1x2)2(y1y2)22[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)0|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p,解得:

ppa. 24(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：

x3x1x22ap,y3y1y2(x1a)(x2a)p. 22所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，所以S

△

NAB=

122|AB||QN|p|AB|p2p2p2,即△NAB面积的最大值为2P2。 222变式练习：

x2y22双曲线221（a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为

ab2（1）求双曲线的方程

（2）设直线y=kx+m(k0且m0)与双曲线交于两个不同的点C、D，若A(0,-1)且AC=AD，某某数m的取值X围

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

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word 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)

设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为： A/（

k212k16k8(k21),2,2），B（2）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：2k1k1k1k1k=

2515,p=.

524515x,抛物线C的方程为y2=x.

52所以直线L的方程为：y=变式练习：

在面积为1的△PMN中，tanM=

1,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。 22．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。 变式练习：

过抛物线y=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且AB≤8，此外，直线AB和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。 （1）求直线AB的斜率k的取值X围

（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程 （6）存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

222M N O Q x2y21，试确定m的取值X围，使得对于直线y4xm，椭圆C上有不同两典型例题 已知椭圆C的方程43点关于直线对称。

分析：椭圆上两点(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，相减得3(x1x2)(x1x2)

4(y1y2)(y1y2)0。

又xyy2x1x2yy21，代入得y3x。 ，y1，k1x1x24225 / 11

word y3x又由解得交点(m,3m)。

y4xm213213(m)2(3m)2m1，得交点在椭圆内，则有。 131343变式练习：

为了使抛物线(y1)x1上存在两点关于直线ymx对称，求m的取值X围。 （7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1·k22y1·y21来处理或用向量的坐标运算来处理。

x1·x22典型例题已知直线l的斜率为k，且过点P(2,0)，抛物线C:y4(x1)，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

（1）求k的取值X围；

（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线

相垂直。

y 分析：（1）直线yk(x2)代入抛物线方程得 B 2222kx(4k4)x4k40， A P 由0，得1k1(k0)。 (-2,0) O x 24k4 （2）由上面方程得x1x2， 2C的焦点连线互

ky1y2k2(x12)(x22)4，焦点为O(0,0)。

由kOA·kOBy1y22k2，21，得k2x1x2k12 2arctan22或arctan变式练习：

(x3)2y21相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求经过坐标原点的直线l与椭圆

62直线l的倾斜角。

B:解题的技巧方面

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系

方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，

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word 并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆xyx2y0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求m的值。

解：圆xyx2y0过原点，并且OPOQ，

22221PQ是圆的直径，圆心的坐标为M(，1)

21又M(，1)在直线3x4ym0上，

2153()41m0，m即为所求。

22评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OPOQ，PQ是圆的直径，圆心在直线3x4ym0上，而是设P(x1，y1)、Q(x2，y2)再由OPOQ和韦达定理求m，将会增大运算量。 变式练习：

已知点P（5，0）和圆O：xy16，过P作直线l与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 评注：此题若不能挖掘利用几何条件OMP90，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算

量将很大，并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ，|PQ|求此椭圆方程。

解：设椭圆方程为axby1(ab0)，直线yx1与椭圆相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点。 由方程组222210，2yx1axby122消去y后得

(ab)x22bxb102bb1

x1x2，x1x2abab由kOPkOQ1，得y1y2x1x2（1） 又P、Q在直线yx1上，

(2)y1x11， (3)y2x21，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1把（1）代入，得2x1x2(x1x2)10， 即

2(b1)2b10

abab7 / 11

word 化简后，得 ab2（4） 由|PQ|105，得(x1x2)2(y1y2)2 22(x1x2)255，(x1x2)24x1x2，44

2b24(b1)5()abab4把（2）代入，得4b28b30，解得b13或b 2231

或a 2231由ab0，得a，b。

22代入（4）后，解得a

3x2y21 所求椭圆方程为22评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

变式练习：

x2y2若双曲线方程为221，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为

abkAB、kOM，则kABkOMb22 a三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1：xy4x2y0和C2：xy2y40的交点，且圆心在直线l：

22222x4y10上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2y24x2y(x2y22y4)0

即(1)x(1)y4x2(1)y40，

2221） ，11211

又C在直线l上，2 410，解得，代入所设圆的方程得x2y23xy10为所求。

113

其圆心为C（

评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

变式练习：

某直线l过直线L1：４x-３y-12=0和L2：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L1的倾斜角的一半，求此直线l的方程

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角

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word 代换法。

x2y2典型例题 P为椭圆221上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值

ab及此时点P的坐标。

变式练习：

已知P(x，y)是椭圆x2＋4y2=1上任一点，试求P到直线x + y – 2 = 0的最小值及此时P的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法

①充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如

△，若ax2bxc0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则|AB|1k2·|xAxB|1k2·|a|直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例求直线xy10被椭圆x4y16所截得的线段AB的长。

②结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

22x2y21的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|8，求值|F2A||F2B| 例 F1、F2是椭圆

259③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线y4x的焦点，点P在抛物线y4x上移动，若|PA||PF|取得最小值，求点P的坐标。

22五、高考试题选编

1. 过抛物线y26x的焦点F，作弦ABx轴于A、B两点，则弦长AB等于（） A. 6 B. 18 C. 62D. 36

x2y22. 若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则实数m的取值X围是（）

5m A. （0，5） B. （1，5） C. [1，5)D. [1，5]

3. 直线yx1被椭圆3x24y212所截得的弦的中点坐标是（） A. (8143411815，)B. (，)C. (，) D. (，)

77777777x254. 过点A(1，)引抛物线y的一条弦，使该弦被A点平分，则该弦所在直线方程为（）

42 A. 4x2y10B. x2y40 C. 4x2y90D. x2y60

5. 设x，yR且3x24y212，则x2y2的最大值与最小值分别是（）

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word A. 2，3B. 4，23 C. 4，3 D. 8，6

6. P是抛物线y2x上的点，F是抛物线的焦点，则点P到F与P到A(3，1)的距离之和的最小值是（ ） A. 3 B.

137 C. 4 D. 42227.已知圆C:(xa)(x2)4(a0)及直线l:xy30.当直线l被C截得的弦长为23时，则a=

（ ）

A．2 B．22 C．21 D．21

8．(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点F(7,0),直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为

2,则此双曲线的方程是（ ） 3x2y21 A．34x2y21 C．52x2y21 B．43x2y21 D．259．(03某某)已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB

夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值X围是 （ ） A．(,1)

13 B．(,) C．(,) D．(,)

12332152225310．(03某某)（双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（ ）

A.

3B.

663C. D.

32311. 直线ykx1与抛物线(y1)24(x2)只有一个公共点，则k的值为________。 12. 曲线C：y(x2)2关于直线xy30对称的曲线C'的方程_________。

22xyF、F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F1的距离等于9，13．(03年某某) 给出问题：11620求点P到焦点F2的距离PF2________。

某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由PF1PF28，即9PF28，得PF21或17。

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在上面空格内；若不正确，将正确结果填在上面空格内。

3)为OAB的直角顶点，已知AB2OA，且点B的纵坐14. (03年某某)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，标大于零。

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word （1）求向量AB的坐标。

（2）求圆x6xy2y0关于直线OB对称的圆的方程。

（3）是否存在实数a，使抛物线yax1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a222的取值X围。

15. 已知抛物线C：yx22m2x(2m21)(mR)

（1）求证：抛物线C与x轴交于一定点M；

（2）若抛物线与x轴正半轴交于N，与y轴交于P，求证：PN的斜率是一个定值； （3）当m为何值时，三角形PMN的面积最小，并求此最小值。

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