一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y=
x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为
（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y=
x2+bx+c，得
解得
,抛物线的解析式是y=
x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）
（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，
x2+2x+6），则FG=
，
，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴
∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，
∴
当点F在x轴上方时，有 为（-1， ）,
，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标
当点F在x轴下方时，有 标为（-3，
）,
，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐
综上可知F点的坐标为（-1， ）或（-3，
）
（3）解：如图2，
不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上 ∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 , ∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k）， ∵点M在抛物线y= 解得k1=
x2+2x+6的图象上，∴k= 或k2=
）或Q2（2，
）.
(2-k)2+2(2-k)+6
∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，
求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。
【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。
（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，
点Q在抛物线的对称轴上 ,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。
2．在平面直角坐标系中，点A
.
点B
已知
满足
（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交 轴于点D，若点D(-1,0)，求点E的坐标；
（3）在(2)的条件下，如图2，过E作EH⊥OB交AB于H，点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上)，连接MO，作∠MON=45°，ON交线段BA的延长线于点N，连接MN，探究线段MN与OM的关系,并说明理由。 【答案】 （1）（-4,0）；（0，-4） （2）解：作FH⊥OA于H，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°，
∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°， ∴∠AFH=∠OAE, ∵AF=OA， ∴△AFH≌△EAO，
∴FH=OA，
∵点A（-4,0），点B（0，-4） ∴FH=OA=OB=4，
∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO, ∴△FDH≌△BDO， ∴OD=DH=1， ∴AH=OH=OE=2， ∴E（0，-2）
（3）解：结论：MN=OM,MN⊥OM， 理由：连接OH，OM与BN交于G，
∵OA=OB,∠AOB=45°， ∴∠OAB=45° ∵OE=EB=2，EH∥OA,
∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°， ∵∠MON=45° ∴∠GON=∠GHM, ∵∠NGO=∠MGH, ∴△NGO∽△MGH， ∴ = , ∴ = , ∵∠NGM=∠OGH, ∴△NGM∽△OGH， ∴∠NMG=∠OHG=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形 ∴MN=OM,MN⊥OM. 【解析】【解答】（1）∵ ∴a=-4，b=-4,
=0,
∴点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0，-4）
【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（2）如图1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出AH=OH=OE=2;（3）连接OH，OM与BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出 = ,再推出 = ,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.
3．如图，在矩形ABCD中，
交于点F．
，
，点E是BC边上的点，
，连接AE，
（1）求证： （2）连接CF，求
≌
； 的值；
（3）连接AC交DF于点G，求 的值． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，AB=CD=4， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠ADF=90°， ∴∠BAE=∠ADF， 在Rt△ABE中， ∵AB=4，BE=3， ∴AE=5，
在△ABE和≌△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS）.
（2）解：连结DE交CF于点H，
∵△ABE≌△DFA， ∴CE=EF=2， ∴DE⊥CF，
∴DF=DC=4，AF=BE=3，
∴∠DCF+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°， ∴∠DCF=∠DEC， 在Rt△DCE中， ∵CD=4，CE=2， ∴DE=2
，
.
∴sin∠DCF=sin∠DEC=
（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，
∵DF⊥AE， ∴CK∥DF， ∴
，
在Rt△CEK中，
∴EK=CE·cos∠CEK=CE·cos∠AEB=2× = , ∴FK=FE+EK=2+ = ,
∴ = =
.
【解析】【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得∠BAE=∠ADF，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得AE=5，由全等三角形的判定AAS可得△ABE≌△DFA.（2）连结DE交CF于点H，由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4，AF=BE=3，由同角的余角相等得∠DCF=∠DEC，在Rt△DCE中，根据勾股定理可得DE=2
,根据锐角三角
函数定义可得答案.（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，由平行线的推论知CK∥DF，根据平行线所截线段成比例可得
，在Rt△CEK中，根据锐角三角函数定
义可得EK= ,从而求出FK，代入数值即可得出答案.
4．如图，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，将此矩形绕点B顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1 ， 点A1在边CD上．
（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D到点D1所经过路径的长度；
（2）将矩形A1BC1D1继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2 ， 点D2在BC的延长线上，设边A2B与CD交于点E，若
=
﹣1，求 的值．
【答案】（1）解：作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1 ， 则四边形ADA1H是矩形．
∴AD=HA1=n=1，
在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2， ∴BA1=2HA1 ， ∴∠ABA1=30°， ∴旋转角为30°， ∵BD=
，
∴D到点D1所经过路径的长度=
（2）解：∵△BCE∽△BA2D2 ， ∴ ∴CE= ∵ ∴ ∴A1C=
-1 ， • ，
• ，
，
∴BH=A1C= ∴m2-n2=6• ， ∴m4-m2n2=6n4 ， 1- =6• ， ∴
（负根已经舍弃）
【解析】【分析】（1）作A1H⊥AB于H，连接BD，BD1 ， 则四边形ADA1H是矩形．根据矩形的对边相等得出AD=HA1=n=1，在Rt△A1HB中，根据三角形边之间的关系判断出∠ABA1=30°，即旋转角为30°，根据勾股定理算出BD的长，D到点D1所经过路径的长度，其实质就是以点B为圆心，BD为半径，圆心角为30°的弧长，根据弧长公式，计算即可； （2）首先判断出△BCE∽△BA2D2 ， 根据相似三角形对应边成比例得出故CE=,根据程，求解得出的值。
， 故
进而得出
，
， 由BH=A1C列出方
5．如图，在菱形ABCD中，
，
,点E是边BC的中点，连接DE,AE.
（1）求DE的长；
（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ①求证：△ ②求DF的长.
【答案】 （1）解：连结BD
△
；
,
（2）解：①
②
【解析】【分析】（1） 连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；
（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；
②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.
， 又
6．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，
（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当t= 时，试说明△DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由. 【答案】 （1）解：当t=2时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴BP=AB-AP=4，
∴△PBQ的面积= ×4×4=8；
（2）解：当t= 时，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，
∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117， ∵PQ2+DQ2=DP2 ， ∴∠DQP=90°， ∴△DPQ是直角三角形.
（3）解：设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O.
设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， ∵DC∥BO，
∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，
∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x， ∴
，即
，
，
解得：BO=
∴AO=AB+BO=6+ ∵∠ADP=∠ODP， ∴12：DO=AP：PO， 代入解得x=0.75， ∴DP能平分∠ADQ， ∵点Q的速度为2cm/s，
，
∴P停止后Q往B走的路程为（6-0.75）=5.25cm.
∴时间为2.625s，加上刚开始的3s，Q点的运动时间为5.625s.
【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出 AP=t=2，BQ=2t=4， 所以BP=4,进而根据三角形的面积计算方法即可算出答案；
（2）当t= 时，根据路程等于速度乘以时间得出AP=1.5，BQ=3，故PB=4.5，CQ=9， 根据勾股定理表示出DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股定理的逆定理判断出∠DQP=90°， △DPQ是直角三角形；
（3） 设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O ， 设QB的长度为x，则QC的长度为（12-x）， 判断出 △CDQ∽△BOQ， 根据全等三角形的对应边成比例得出
，根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长，根据角平分线的性质定理得出
12：DO=AP：PO， 根据比例式求出x的值，从而即可解决问题.
7．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A（3，0），C（-1，0），与y轴交于点B ． 点D为二次函数图象的顶点．
（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：
（2）如图②所示，在x轴上取一动点P（m ， 0），且1＜m＜3，过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD ， AB于点Q、F ， E ， 求证：EF=EP； （3）在图①中，若R为y轴上的一个动点，连接AR ， 则 （直接写出结果）．
【答案】 （1）解：将A（3，0），C（-1，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：
∴此二次函数的关系式为y=-x2+2x+3
，
BR+AR的最小值________
（2）证明：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴点D的坐标为（1，4）．
设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx+c（k≠0）， 将A（3，0），C（0，3）代入y=kx+c，得：
，解得：
，
∴线段AB所在直线的函数关系式为y=-x+3．
同理，可得出：线段AD所在直线的函数关系式为y=-2x+6． ∵点P的坐标为（m，0），
∴点E的坐标为（m，-m+3），点F的坐标为（m，-2m+6）， ∴EP=-m+3，EF=-m+3， ∴EF=EP．
（3）
【解析】【解答】解（3）如图③，连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q．
∵OC=1，OB=3， ∴BC=
．(勾股定理)
∵∠CBO=∠CBO，∠BOC=∠BQR=90°， ∴△BQR∽△AOB， ∴ ∴RQ= ∴AR+
,即 BR， BR=AR+RQ，
BR=AQ时，其值最小．
,
∴当A，R，Q共线且垂直AB时，即AR+ ∵∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC， ∴△CQA∽△COB， ∴ ∴AQ= ∴
,即 ，
BR+CR的最小值为
．
故答案为：
．
【分析】（1）根据A，C点的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的关系式；（2）利用待定系数法求出线段AB，AD所在直线的函数关系式，用m表示EF，EP的长，可证得结论；（3）连接BC，过点R作RQ⊥BC，垂足为Q，则△BQR∽△AOB，利用相似三角形的性质可得出RQ= AB时，即AR+
BR，结合点到直线之间垂直线段最短可得出当A，R，Q共线且垂直 BR=AQ时，其值最小，由∠ACQ=∠BCO，∠BOC=∠AQC可得出
△CQA∽△COB，利用相似三角形的性质可求出AQ的值，此题得解．
8．两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．
（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出 sinα的值．
【答案】 （1）解：）过点C作CG⊥AB于G 在Rt△ACG中 ∵∠A＝60° ∴sin60°＝ ∴
在Rt△ABC中 ∠ACB＝90°∠ABC＝30° ∴AB=2 ∴
（2）解：菱形
∵D是AB的中点 ∴AD=DB=CF=1 在Rt△ABC中，CD是斜边中线 ∴CD=1 同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF ∴四边形CDBF是菱形
（3）解：在Rt△ABE中 ∴
过点D作DH⊥AE 垂足为H
则△ADH∽△AEB ∴
即 ∴ DH=
在Rt△DHE中 sinα= =…=
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．
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