北京市海淀区人大附中2022年九年级数学第一学期期末调研试题含解析

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是则袋中球的总个数是（ ） A．2

B．4

C．6

D．8

1，4G为CD边中点，2．如图，在正方形ABCD中，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )

A．6 C．10

B．8 D．12

3．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )m．

A．2 B．4 C．6 D．8

4．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝

kk图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞解集为( ) xx

A．x＞2或﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2

B．﹣1＜x＜0 D．x＞2

5．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ） A．5cm

B．10cm

C．20cm

D．30cm

6．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ） A．3：1

B．4：1

C．5：1

D．6：1

7．二次函数y = -2(x + 1)2+5的顶点坐标是( ) A．-1

B．5

2C．(1, 5) D．(-1, 5)

8．在平面直角坐标系内，将抛物线y2x1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ） A．2,4

2B．2,4

C．2,3

D．2,3

9．二次函数yx4x5的图象可以由二次函数yA．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位

x2的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）

10．在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝6，BC＝8，则cosB的值是（ ） A．

3 5B．

2 4C．

4 5D．

4 311．化简8的结果是（ ） A．22

B．42

C．2

D．4

12．点A(1，y1)、B(3，y2)是反比例函数y＝A．y1＞y2

B．y1＝y2

9图象上的两点，则y1、y2的大小关系是( ) xC．y1＜y2

D．不能确定

二、填空题（每题4分，共24分）

13．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，1．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_____．

14．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设P在__________．

15．从长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm的四根木条中，抽出其中三根能组成三角形的概率是______． 16．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值为__________．

17．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．

18．若3a＝4b（b≠0），则三、解答题（共78分） 19．（8分）解方程 （1）2x2﹣6x﹣1＝0 （2）（x+5）2＝6（x+5）

ab＝_____． b20．（8分）二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+_____．

21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．

（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；

（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．

23．（10分）如图，抛物线yax2axc（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；

（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由． 24．（10分）如图，已知反比例函数y1＝（1）求k1，k2，b的值； （2）求△AOB的面积； （3）请直接写出不等式

k1与一次函数y2＝k2x+b的图象交于点A（2，4），B（﹣4，m）两点． xk1≥k2x+b的解． x

25．（12分）一个可以自由转动的转盘，其盘面分为3等份，分别标上数字3,4,5.小颖准备转动转盘5次，现已转动3次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下： 次数 数字 1 2 3 3 3 4 5 4 小颖继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这5次指针所指数字的平均数不小于3.6且不大于3.8”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．) 26．如图，在平面直角坐标系中，OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(3,1)（每个方格的边长均为1个单位长度）.

（1）将OAB以点O为旋转中心，逆时针旋转90度得到OA1B1，请画出OA1B1； （2）请以点O为位似中心，画出OAB的位似三角形OA2B2，使相似比为2:1.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分） 1、D

【解析】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）． 故选D． 2、D

【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出

14AFAB=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1． GFGD【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴

AFAB=2， GFGD∴AF=2GF=4， ∴AG=2．

∵AD∥BC，DG=CG， ∴

AGDG=1， GECG∴AG=GE ∴AE=2AG=1． 故选：D． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 3、B

【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得

EDDC；即DC2=ED•FD，代入数据可DCFD得答案．

【详解】解：根据题意，作△EFC；

树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8； ∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90° ∴∠ECD=∠CFD ∴Rt△EDC∽Rt△FDC， 有

EDDC；即DC2=ED•FD， DCFD代入数据可得DC2=16， DC=4； 故选：B． 【点睛】

本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用． 4、A

【解析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞故选A． 【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键． 5、B

【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r， 2πr=

k． x12030，

180r=10cm 故选B．

考点：弧长的计算． 6、C

【分析】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.

【详解】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形

两邻角度数比为5：1，故选C.

7、D

【解析】直接利用顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】因为y=2（x+1）2-5是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，5）． 故选：D． 【点睛】

主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键. 8、B

【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．

【详解】抛物线y2x1的顶点坐标为（0，−1）， ∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）． 故选B． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 9、C

【解析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将yx4x5转化为顶点式，与原式y减，上加下减，即可得到答案

【详解】解：∵yx24x5=x21，∴ yx24x5=x21的图形是由y2个单位，然后向上平移1个单位 【点睛】

本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目 10、C

【分析】利用勾股定理求出AB，根据余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，

2222x2对比，利用口诀左加右

x2的图形，向左平移

在RtABC中，AC6，BC8，

ABBC2AC2628210，

cosBBC84， AB105故选：C． 【点睛】

本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11、A

【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可. 【详解】8故选：A. 【点睛】

本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键. 12、A

【解析】∵反比例函数y＝

4222

9中的9>0， x∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， 又∵A(1,y ₁)、B(3,y ₂)都位于第一象限，且1<3， ∴y ₁>y ₂， 故选A.

二、填空题（每题4分，共24分） 13、

1 3【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】根据题意，画树状图如下：

共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有1种结果， 31所以两次摸出的小球标号相同的概率是=，

93故答案为

1． 3【点睛】

此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

错因分析 中等难度题.失分的原因有两个：（1）没有掌握放回型和不放回型概率计算的区别；（2）未找全标号相同的可能结果.

14、⊙O上或⊙O内

【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案．

【详解】解：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”， 首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内． 故答案为：在⊙O上或⊙O内． 【点睛】

此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的解题方法是解题关键． 15、

3 4【分析】四根木条中，抽出其中三根的组合有4种，计算出能组成三角形的组合，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：能组成三角形的组合有：4，8，10；4，10，12；8，10，12三种情况，

3故抽出其中三根能组成三角形的概率是.

4【点睛】

本题考查了列举法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=16、

m，构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边． n4 5【分析】根据勾股定理及三角函数的定义直接求解即可； 【详解】如图，ABBC2AC2826210，

BC84， AB1054故答案为：

5∴sin∠A【点睛】

本题考查了三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 17、80°或120°

【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数． 【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，

-2∠B=80°∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°， ②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD， ∴∠CDB″=60°，

旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°． 故答案为80°或120°． 【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键． 18、

1 34b，代入代数式进行计算即可． 3【分析】依据3a＝4b，即可得到a＝

【详解】解：∵3a＝4b，

4b， 341abbbb1∴＝3＝3＝．

b3bb1故答案为：．

3∴a＝【点睛】

本题主要考查了比例的性质，求出a＝

三、解答题（共78分） 19、（1）x4b是解题的关键． 3311；（2）x＝﹣5或x＝1． 2【分析】（1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）∵a=2，b=﹣6，c=﹣1， ∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0， 则x6211311； 42（2）∵(x+5)2﹣6(x+5)=0， ∴(x+5)(x﹣1)=0， 则x+5=0或x﹣1=0， 解得：x=﹣5或x=1． 【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键． 20、（﹣12）

【分析】由于二次项系数为1，所以右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，化简，即可得出结论．

【详解】∵y＝x2+6x﹣3 ＝（x2+6x）+3 ＝（x2+6x+32﹣32）﹣3 ＝（x+3）2﹣9﹣3

＝（x+3）2﹣12， 故答案为：（﹣12）． 【点睛】

此题主要考查了二次函数的三种形式的互化，掌握配方法是解本题的关键． 21、（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为838． 3【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案． 【详解】解：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD， ∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线； （2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8， ∴CD=DO2OC2824243∴S△OCD=

CDOC43422=83， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ×π×OC2=，

∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=

1683 ∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣∴阴影部分的面积为83﹣8， 38． 3

22、（1）见解析；（2）

25π． 4【分析】（1）分别作出点B、C绕点A按顺时针方向旋转90得到的对应点，再顺次连接可得；

（2）根据扇形的面积公式列式计算可得． 【详解】（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求 （2）解：∵AB=

3242=5，

905225=π ∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：

4360

【点睛】

本题主要考查作图以及旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式． 23、（1）抛物线的解析式为y42842xx4；（2）PM=m4m（0＜m＜3）；（3）存在这样的点P使△PFC333与△AEM相似．此时m的值为

23或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形． 162【解析】（1）将A（3，0），C（0，4）代入yax2axc，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先根据A、C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式，从而根据抛物线和直线AC的解析式分别表示出点P、点M的坐标，即可得到PM的长．

（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F和E对应，则若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m的代数式表示出AE、EM、CF、PF的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM的形状．

2【详解】解：（1）∵抛物线yax2axc（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），

∴

4a3． ，解得{c4428xx4． 33∴抛物线的解析式为y（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵A（3，0），点C（0，4），

43kb0k3． ∴{，解得{b4b4∴直线AC的解析式为y4x4． 3∵点M的横坐标为m，点M在AC上， ∴M点的坐标为（m，4m4）． 3428xx4上， 33∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y∴点P的坐标为（m，428mm4）． 33428442∴PM=PE－ME=（mm4）－（m4）=m4m．

333342∴PM=m4m（0＜m＜3）．

3C、F为顶点的三角形和△AEM（3）在（2）的条件下，连接PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、相似．理由如下：

由题意，可得AE=3﹣m，EM=44848m4，CF=m，PF=m2m44=m2m， 333334284mm）：（3－m）=m：（m4）， 333若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，分两种情况： ①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（∵m≠0且m≠3，∴m=

23． 16∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME． ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．

在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°． ∴△PCM为直角三角形．

②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（∵m≠0且m≠3，∴m=1．

∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．

∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM． ∴△PCM为等腰三角形．

4284mm）：（m4）， 333综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似．此时m的值为24、（1）k1＝8，k1＝1，b＝1；（1）2；（3）x≤﹣4或0＜x≤1．

23或1，△PCM为直角三角形或等腰三角形． 16【解析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出反比例函数解析式，再结合点B的横坐标即可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；

（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB的面积；

（3）根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）∵反比例函数y＝4＝8，m＝∴k1＝1×

k1与一次函数y＝k1x+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，m）， x8＝﹣1， -4∴点B的坐标为（﹣4，﹣1）．

将A（1，4）、B（﹣4，﹣1）代入y1＝k1x+b中，2k2b4，

4kb22k21

解得：，

b2

∴k1＝8，k1＝1，b＝1． （1）当x＝0时，y1＝x+1＝1，

∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，1）， ∴S△AOB＝

11×1×4+×1×1＝2． 22（3）观察函数图象可知： 不等式

k1≥k1x+b的解集为x≤﹣4或0＜x≤1． x

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）根据待定系数法求出函数解析式；（1）利用分割图形法求出△AOB的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集． 525、能，P=．

9【分析】根据平均数的定义求解可得后两次数字之和为8或9；根据题意画出树状图，再利用概率公式求其概率． 【详解】能

设第4次、第5次转出的数字分别为a和b， 根据题意得：3.61433ab3.8， 5解得：8ab9， 所以后两次数字之和为8或9； 画出树状图：

共有9种等情况数，其中“两次数字之和为8或9”的有5种， 所以P这5次指针所指数字的平均数不小于3.6且不大于3.8【点睛】

本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题；求一元一次不等式组的方法以及概率公式的运用．求出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 26、（1）见详解；（2）见详解.

【分析】（1）根据旋转的规律，将点A、B围绕O逆时针旋转90°，得到A1、B1，连接O、A1、B1即可；

（2）连接OA并延长到A2，使OA2=2OA，连接OB并延长到B2，使OB2=2OB，然后顺次连接O、A2、B2即可； 【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求作三角形； （2）如图，△OA2B2即为所求作三角形；

5． 9

【点睛】

本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．