圆压轴八大模型题-弧中点地运用

圆压轴题八大模型题（一）

泸州市七中佳德学校 易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

C类型1 弧中点的运用

D在⊙O中，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E.

（1）在图1中，你会发现这些结论吗？

①AP＝CP＝FP； ②CH＝AD；

2

②AC＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.

（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？ 【分析】

(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD＝∠B＝∠ACE;∠PCF＝∠PFC,所以AP＝CP＝FP.

(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，DC＝AC＝AH,再由弧叠加得：CH＝AD,所以CH＝AD.

⌒⌒⌒⌒⌒AA⌒PEFOBH（图1）

CGPEOFDB（图2）

(1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC＝AEAB;AC2＝APAD;AC2＝CFCB;

(2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽ Rt△ACG∽Rt△CGF.

此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.

建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。 【典例】

（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F． （1）求证：CF＝BF；

（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直

＝

，CD⊥AB，

2

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线CM是⊙O的切线．

【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到，再由

＝

得到

＝

＝

＝

，等弧所对的角

（图1-1）

相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC⊥

BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。

证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图， ∵CD⊥AB，∴∵

＝

，∴

＝＝

， ，

∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF； （2）连接OC交BE于H，如图， ∵

＝

，∴OC⊥BE，

＝，

＝

，

（图4）

在Rt△OBH中，cos∠OBH＝∴BH＝×6＝

，OH＝

∵∴

＝＝

＝，＝＝，

，而∠HOB＝∠COM，

∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，

∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．

【点拔】

弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。

【变式运用】

1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，

AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若

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＝，

（图1-2）

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则

＝ ．（）

2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求

FG值。 AFAGFB图9ECD（1） 证明：在ABCD中，

∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180° ∵AE与DE平分∠BAD和∠ADC

11∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠ADC，

22∴∠AED＝180°－（∠EAD＋∠EDA）

11 ＝180°－（∠BAD＋∠ADC）

221 ＝180°－（∠BAD＋∠ADC）

2＝180°－90°＝90°

∴AE⊥DE

（2）解：在ABCD中，∵AD∥BC ∴∠EAD＝∠AEB，且∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE， 同理：DC＝EC＝5

又∵AB＝DC，∴AB＝BE＝ DC＝EC＝5， ∴BC＝AD＝10

在Rt△AED中，由勾股定理可得：

（图1-3）

DE＝AD2AE2102826 ∵∠BAE＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90° ∴△AFG∽△AED， AFAE84∴ FGED63

3. （2012·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是»AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。 (1)求证：P是线段AQ的中点； (2)若⊙O的半径为5，AQ＝

，求弦CE的长。

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB， ⌒⌒⌒⌒⌒∴AC＝AE．又∵C是AD的中点，∴AC＝CD， ⌒⌒∴AE＝CD．∴∠ACP＝∠CAP．∴PA＝PC， ∵AB是直径．∴∠ACB＝90°．

∴∠PCQ＝90°﹣∠ACP，∠CQP＝90°﹣∠CAP， ∴∠PCQ＝∠CQP．∴PC＝PQ．

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（图1-4）

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∴PA＝PQ，即P是AQ的中点；

⌒⌒（2）解：∵AC＝CD，∴∠CAQ＝∠ABC． 又∵∠ACQ＝∠BCA，∴△CAQ∽△CBA．

15ACAQ23∴． BCAB104又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8．

根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CH，∴6×8＝10CH．

24．又∵CH＝HE， 548∴CE＝2CH＝．

5∴CH＝

4．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且

DC＝CE•CA．

（1）求证：BC＝CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝

，求DF的长．

（1）证明：∵DC＝CE•CA， ∴

2

2

DCCA，△CDE∽△CAD， CEDC（图1-5）

∴∠CDB＝∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC＝CD；

（2）解：方法一：如图，连接OC， ∵BC＝CD，

∴∠DAC＝∠CAB，又∵AO＝CO， ∴∠CAB＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC，∴

PCPO， PDPA图a

∵PB＝OB，CD＝22，

∴

PC2∴PC＝42

PC223

又∵PC•PD＝PB•PA

∴42•（42＋22）＝OB•3OB ∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12， 在Rt△ACB中，

AC＝AB2BC282(22)2214，

∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°

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∴∠FDA＋∠BDC＝90°， ∠CBA＋∠CAB＝90° ∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA， 又∵∠AFD＝∠ACB＝90°， ∴△AFD∽△ACB ∴

AFFDAC2147 CB22在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝7x，

∴在Rt△APF中有，(7x)(x62)12，

222求得DF＝

32． 2方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，

PCPO， PDPAPGPO△PGO∽△PFA，可得， PFPA易证△PCO∽△PDA，可得可得，

图b

PCPGPCPC2，由方法一中PC＝42代入， PDPFPC22PC22DF32． 2即可得出DF＝5．（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．

【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A， ∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC，∵AB∥CD， ∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M， ∵AE是⊙O的切线，

由切割线定理得，AE＝EC•DE， ∵AE＝6，CD＝5，

∴6＝CE（CE＋5），解得：CE＝4，（已舍去负数），

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB＝AC＝BD＝CE＝4， 又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC， 设OF＝x，OH＝y，FH＝z，

2

2

（图1-6）

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∵AB＝4，BC＝6，CD＝5， ∴BF＝

12BC﹣FH＝3﹣z，

DF＝CF＝

12易得△OFH∽△DFM∽△BFN， DFDMBFBM∴，， OFOHOFOHBC＋FH＝3＋z，

53z23z2 ②， 即，① xyxy①＋②得：

图c

693z5，①÷②得：， x2y3z4693yx921x2y42222解得，∵x＝y＋z， ∴xx，

11693z5z33z4∴x＝

4747， ∴OF＝． 21216.如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5.

(1) 如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长； (2) 如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.

解：（1）如答图①，连接PB，

⌒∵AB是⊙O的直径且P是AB的中点， ∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90° 又∵在等腰三角形△ABC中有AB＝13，

图①

（图1-7）

图②

∴

图d

（2）如答图②，连接BC，与OP相交于M点，作PH⊥AB于点H， ⌒∵P点为BC 的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，

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又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.

∴∠ACB＝∠OMB. ∴OP∥AC.∴∠CAB＝∠POB.

又∵∠ACB＝∠OHP＝90°，∴△ACB∽△0HP. ∴

ABAC13

＝又∵AB＝13,AC＝5,OP＝ ， OPOH2

图e

∴

5

，解得OH＝

2

∴AH＝OA＋OH＝9. ∵在Rt△OPH中，有

。

∴在Rt△AHP中 有 .

∴PA＝

7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F． （1）求证：DP∥AB；

（2）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．

解：（1）证明：如图，连接OD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°. ∴∠DAB＝∠ABD＝45°。∴△DAB为等腰直角三角形。 ∴DO⊥AB.

∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD. ∴DP∥AB.

（2）在Rt△ACB中，∵△DAB为等腰直角三角形，

，

（图1-8）

∴.

∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。

∴

在Rt△AED中，

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.

图f

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，

∴

.

∵AB∥PD，∴∠PDA＝∠DAB＝45°.∴∠PAD＝∠PCD。 又∵∠DPA＝∠CPD，∴△PDA∽△PCD.

∴.

∴PA＝PD，PC＝PD.

又∵PC＝PA＋AC，∴

PD＋6＝PD，解得PD＝.

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