徐州师范大学2007年硕士研究生入学考试业务课试卷

考生请注意:答案必须写在考点提供的答题纸上,写在本试卷上无效!

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 一、（本题满分 10 分）求极限lim(a4a8a2a)，其中a0. nneee二、（本题满分10分）求极限limx0n2x2xnx. 1x三、（本题满分10 分）设a12,an1（1）an3,n1,2,3,. （2）数列{an}收敛,并求其极限值. a3n,n1,2,.证明 2an四、（本题满分 14分）设 f(0)6, ln(1ax3),x0,axx2sinx f(x)exax1,x0.xxsin4(1)求f(x)在 x0处的左极限和右极限. (2)问a为何值时, f(x)在x0连续. 五、（本题满分12 分）证明ycosx2在有限区间[0,b]上一致连续,在[0,)上不一致连续. 六、（本题满分12 分）设函数(x),(x)均为二次可微函数, 2u2u2u20. ux(xy)y(xy), 证明u满足方程22xyyx七、（本题满分 10分）计算曲线积分ex(1cosy)dxex(ysiny)dy,其中C为域C0x,0ysinx的正方向围线. 本试卷共 3 页,第 1 页

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考生请注意:答案必须写在考点提供的答题纸上,写在本试卷上无效!

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 八、（本题满分14 分）设函数f在[a,b](ba0)上连续,在(a,b)内可导.证明 (1)存在(a,b)使得f()f(b)f(a). 222ba(2) 存在,(a,b)使得f()(ba)f(). 2nx2n1(1)n九、（本题满分 10分）求幂级数(1)的和函数及的和. 2n12n1n0n0十、（本题满分 10 分）计算二重积分D{(x,y)|y0,x2y23x}. D9x2y2dxdy,其中十一、（本题满分 14分）设函数项级数xn(1x)2的和函数为S(x)，前n项部分n0和函数为Sn(x). （1）求S(x)Sn(x)在[0,1]上的最大值点. （2）证明函数项级数xn(1x)2在[0,1]上一致收敛. n0十二、（本题满分14 分）设p0,ba0, (1)证明含参量积分epxcosxydx在[a,b]上一致收敛. 0(2) 证明epxcosxydx0p,其中y0. p2y2(3) 求epx0sinbxsinaxdx的值. x 本试卷共 3 页,第 2 页

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考生请注意:答案必须写在考点提供的答题纸上,写在本试卷上无效!

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 十三、（本题满分 10分）证明公式 dxdydz1cos(r,n)ds, r2SV其中S是包围V的分片光滑闭曲面, (0,0,0)S,n是S的外法线方向. rx2y2z2,r(x,y,z). 本试卷共 3 页,第 3 页

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业务课试卷标准答案及评分标准

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 一、（本题满分 10 分）求极限lim(a4a8a2a)，其中a0. nn解. 原式=liman111n242liman112nlimaann2a. 1xeee二、（本题满分10分）求极限limx0nx2xnx 解.原式=limex01exe2xenxnln(1)xn 1exe2xenxn1exe2xenxnlimlnlim1x0xnnx0x x2xnxe2enen1limx0n2所以,原极限=en12. a3n,n1,2,.证明数列{an}收敛,并求2an2三、（本题满分10 分）设a12,an1其极限值. 证.(1) 由an1a32an3n3,n1,2,知an3,n1,2,. 2an2an223an,n1,2,由(1)知{an}是递减数列,故收敛.设极限为a.对(2) 因an1an2ana23,解得a3.依题意, a3. 通项公式取极限得a2a 共 8 页,第 1 页

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业务课试卷标准答案及评分标准

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 四、（本题满分 14分）设 f(0)6, ln(1ax3),x0,axx2sinx f(x)exax1,x0.xxsin4(1)求f(x)在 x0处的左极限和右极限. (2)问a为何值时, f(x)在x0连续. ln(1ax3)ax33ax26axlimlimlim6a 解.(1) limf(x)limx0x0x0x0x0xsinxxsinx1cosxsinxeaxx2ax1eaxx2ax1limf(x)limlimx0x0x0xx2xsin44 ax2axae2xaae2limlim2a24x0x0x1222a246(2)若f(x)在x0连续,应有,所以a1时, f(x)在x0连续. 6a6五、（本题满分12 分）证明ycosx2在有限区间[0,b]上一致连续,在[0,)上不一致连续. 证.因ycosx2在有限区间[0,b]上连续,故一致连续.取12n,则xnxn0,xn2n,xn222n22n20, 共 8 页,第 2 页 徐州师范大学2007年硕士研究生入学考试

业务课试卷标准答案及评分标准

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 xn2n2)210,n1,2,.2n,但是cosxncos(xn,,xn2所以ycosx2[0,)上不一致连续. 六、（本题满分12 分）设函数(x),(x)均为二次可微函数, 2u2u2u20. ux(xy)y(xy), 证明u满足方程22xyyx证. u(xy)x(xy)y(xy),x ux(xy)y(xy)(xy),y2u2(xy)x(xy)y(xy), (1) 2x2u(xy)x(xy)y(xy), (2) xy2u2(xy)x(xy)y(xy), (3) y22u2u2u20. (1)-2(2)+(3)即得22xyyx共 8 页,第 3 页

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业务课试卷标准答案及评分标准

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 七、（本题满分 10分）计算曲线积分ex(1cosy)dxex(ysiny)dy,其中C为C域0x,0ysinx的正方向围线. QPex(sinyy)exsinyyex,故有 xy解.由于xxe(1cosy)dxe(ysiny)dy C0x0ysinxyedxdyx0edxxsinx01xydyesin2xdx201xcos2x2sin2xx1xedxecos2xdxe1ee1.040550 八、（本题满分14 分）设函数f在[a,b](ba0)上连续,在(a,b)内可导.证明 f()f(b)f(a). (1)存在(a,b)使得2b2a2(2) 存在,(a,b)使得f()(ba)f(). 2f()f(b)f(a). 证.(1)对f和x应用柯西中值定理, 存在(a,b)使得2b2a22(2)由(1)得 f()(ba)f(b)f(a).由拉格朗日中值定理, (a,b)使2baf()(ba)f()f(b)f(a). .因此有f()2ba 共 8 页,第 4 页

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业务课试卷标准答案及评分标准

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 x2n1(1)n九、（本题满分 10分）求幂级数(1)的和函数及的和. 2n12n1n0n0n证.设和函数为f(x),显然收敛半径是R1,又x1时级数收敛,故收敛域是[1,1]. 对幂级数逐项求导得,f(x)(1)nx2nn01.注意f(0)0得1x2(1)ndt. f(x)arctanx.由此得01t22n14n0x十、（本题满分 10 分）计算二重积分D{(x,y)|y0,x2y23x} D9x2y2dxdy,其中解. 用极坐标变换得  D9xydxdy2d0223sin09rrdr92(1sin3)d9(022). 23十一、（本题满分 14分）设函数项级数xn(1x)2的和函数为S(x)，前n项部n0分和函数为Sn(x). （1）求S(x)Sn(x)在[0,1]上的最大值点. （2）证明函数项级数xn(1x)2在[0,1]上一致收敛. n0xn(1x),证. S(x)Sn(x)0,x[0,1),x1;由(xn(1x))nxn1(n1)xn0,解得 共 8 页,第 5 页

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专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 最大值点 x0n. n1nn1(2) supS(x)Sn(x)()0,(n),由此知xn(1x)2在[0,1]上n1n1x[0,1]n0一致收敛. 十二、（本题满分14 分）设p0,ba0, (1)证明含参量积分epxcosxydx在[a,b]上一致收敛. 0(2) 证明epxcosxydx0p,其中y0; p2y2(3) 求epx0sinbxsinaxdx的值. xcosxyepx证.(1)因epx，而e0pxdx收敛.所以由M判别法, 0epxcosxydx在[a,b]上一致收敛. (2)由分步积分法 0epx1ypx1y2cosxydxesinxydx2pp0pp0epxcosxydx 从而解得epxcosxydx0p. 22pybsinbxsinaxcosxydy,所以由结论(1)和(2)可知下列积分可交换积分次ax序,从而可得 (3)因为0epxbbsinbxsinaxdxdxepxcosxydydyepxcosxydx 0aa0x共 8 页,第 6 页

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业务课试卷标准答案及评分标准

专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 bapba. dyarctanarctan22pppy十三、（本题满分 10分）证明公式 dxdydz1cos(r,n)ds, r2SV其中S是包围V的分片光滑闭曲面, (0,0,0)S,n是S的外法线方向. rx2y2z2,r(x,y,z). 1证.设n(cos,cos,cos),又r(x,y,z)的方向余弦为(x,y,z),则 rcos(r,n)xyzcoscoscos. rrr(1)若(0,0,0)V,由 高斯公式得 11xyzcos(r,n)dscoscoscosdS2S2Srrr1xyzdydzdzdxdxdy2rrrSx1yzdxdydz()()()dxdydzxr2yrzrrVV (2) (0,0,0)intV时,取充分小的0使得以0为半径,以(0,0,0)为中心的球面SV,且S取内侧.由 (1)可得 111dxdydz1cos(r,n)dscos(r,n)dScos(r,n)dScosdS 222r2SSSSSV共 8 页,第 7 页

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专业: 数学 考试科目: 数学分析 (A) 科目代码: 641 =Vdxdydz22 r其中V为S和 S所围成的区域.又因为Vdxdydz是收敛的反常三重积分,则有 r1dxdydzdxdydz2. cos(r,n)dslim202SrrVV 共 8 页,第 8 页