集合、函数与导数、三角函数综合检测题

一、选择题

1、若集合A．

B．

， C．

，则 D

等于（ ）

【答案】D

2、 已知

A．

是第二象限角,

B．

C．

（ ）

D．

【答案】A

3、设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.“

4、下列函数中为偶函数的是（ ） A．【答案】B

B．

C．

D．

5、函数

A．

【答案】C

的定义域为（ ）

B．

C．

D．

6、已知函数

A．2

【答案】D

为奇函数,且当

B．1

时,

C．0

,则

（ ） D．-2

7、若函数

（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

8、 函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是（ ）

A．π,1 B．π,2 C．2π,1 D．2π,2 【答案】A 9、 函数

的图象大致为（ ）

【答案】D

10、将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移个单位长度后,再作关于x轴对称变换,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)可以是 ( D ) A.sinx C.2sinx

11、若函数f(x)=sin围是 ( A ) A.

B.

(ω>0)在区间

上单调递增,则ω的取值范

B.cosx D.2cosx

C.[1,2]

D.[0,2]

12、已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3ex+1,那么函数f(x)

的极值点的个数是 ( C ) A.5

B.4 C.3 D.2

二、填空题

13、经过曲线y=x3-2x上的点(1，-1)的切线方程为 .

【答案】x-y-2=0，或

5x+4y-1=0.

三个数的大小关系是 ．

14、 【答案】15、

，

，

设f(x)= sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是_____._____

【答案】

16.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanα·tanβ= . 答案:

三、解答题

17、(12分)已知函数y=cos(1)求函数的最小正周期. (2)求函数的对称轴及对称中心. (3)求函数的单调增区间.

【解析】(1)由题可知ω=,T==8π, 所以函数的最小正周期为8π. (2)由x+=kπ(k∈Z),

.

得x=4kπ-(k∈Z),

所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z); 又由x+=kπ+(k∈Z), 得x=4kπ+(k∈Z); 所以函数的对称中心为

(k∈Z).

(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z), 得8kπ+≤x≤

+8kπ(k∈Z);

,k∈Z.

所以函数的单调递增区间为

18、(10

分)(2016·深圳模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

,cos2A-cos2B=

sinAcosA-sinBcosB.

已知a≠b,c=

(1)求角C的大小.

(2)若sinA=,求△ABC的面积.

【解题提示】(1)先利用三角恒等变换公式化简已知的表达式,再利用三角函数的性质得到方程,解方程求解.(2)先利用正弦定理求a,再利用三角恒等变换公式,求sinB,最后求面积. 【解析】(1)由题意得

-=sin2A-sin2B,

即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B, sin

=sin

.

由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π), 得2A-+2B-=π, 即A+B=,所以C=. (2)由c==

,sinA=, ,得a=.

由a19、

设函数

的最小值,并求使

.

取得最小值的的集合; 的图像可由

的图象经过怎样的变化得到.

当所以,(2)

时,

的最小值为

,此时

,此时x 的集合

倍,得

;

.

,

.

(Ⅰ)求

(Ⅱ)不画图,说明函数

【答案】解:(1)

横坐标不变,纵坐标变为原来的

然后

向左平移个单位,得

20、(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=loga(1)求实数b的值. (2)求函数f(x)的单调区间.

是奇函数.

(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值. 【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即loga

+loga

=0,

于是,(b2-1)x2=0,由x的任意性知b2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=loga(x<-1或x>1), f′(x)=

.

,

当00,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f′(x)<0,

即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).

(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即loga又a>3,得a=2+

21、

=1,

.

已知函数

.

(Ⅰ)求(Ⅱ)讨论

【答案】

,曲线在点处切线方程为

的值;

的单调性,并求

的极大值.

(II) 由(I)知,

令从而当故当

22、(本小题满分

.

.

<0.

10分)选修4-4:坐标系与参数方程

(t为参数),曲线C的极坐标方程为

已知直线l的参数方程为ρ2cos 2θ=1.

(1)求曲线C的直角坐标方程. (2)求直线l被曲线C截得的弦长.

【解析】(1)由ρ2cos 2θ=1得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ=1，即有x2－y2=1， 所以曲线C的直角坐标方程为x2－y2=1.

x2t，(2)把代入x2－y2=1中，得（2+t）2－（3t）2=1，即2t2

y3t－4t－3=0，

所以t1+t2=2，t1·t2=－，

设直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

32所以直线l被曲线C截得的弦长为