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苏科版数学七年级下册第三章代数式:3.2代数式 学案

来源:爱够旅游网
3.2代数式

学习目标:

1. 理解代数式的概念,能用代数式表示简单问题中的数量关系. 2. 能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义.

3. 掌握单项式、多项式、整式的概念,会求单项式的系数和次数,能求出多项式的次数和项数.

4. 通过具体例子感受同一个代数式可以有不同的实际意义,初步感悟模型思想. 知识详解:

知识点一:代数式(重点)

1.代数式的概念

像a1,a6,40mn,0.015m(m20),和2a2等都是代数式,即用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子都是代数式. 提醒:

(1)单独一个数或者一个字母也是代数式;

(2)代数式中除了含有数、字母和基本运算符号外,还可以有括号,如(mn); (3)代数式与公式、等式不同,代数式中不含有“=”“<”“>”等符号. 2.代数式的书写

(1)代数式中出现的乘号,特别是字母与字母、数字与字母的乘积通常简写为“·”或者省略不写,如“ab”应该写为“a•b”或者“ab”;“10b”应写作“10•b”或者“10b”.

(2)数与字母相乘时,一般将数字写在字母的前面,如“x3”应写作“3•x”或“3x”,如果是带分数与字母相乘时,带分数还要化成假分数的形式;

(3)在代数式中出现除法运算时,一般按照分数的写法来写,被除数作分子,除数作分母,“÷”转化为分数线;

12st(4)在一些实际问题中,表示某一数量关系的有理数代数式里往往是有单位名称的,如果代数式是积或者商的形式,就将单位写在式子后面即可;如果代数式是和或者差的形式,则必须把代数式括起来,再将单位名称写在式子的后面;

(5)同一个问题中,一个字母只能代表一个量,不同的量应当用不同的字母表示.字母表示实际问题中的某个量时,字母的取值必须使这个问题有意,并且符合实际意义.

3.代数式的读法

代数式的读法一般有两种方式:第一种方式是按照运算关系读;第二种是按照运算结果结果读.如ab,x5,,mn分别读作“a加b”或“a与b的和”,“x减5”或“x与5的差”,“s除以t”或“s与t的商”,“m乘n”或“m与n的积”. 提醒:

(1)对于不含括号的代数式一般按从左到右的顺序来读,同时还要注意运算顺序.如ab2读作“a与b的平方的和”,由于b2是先计算,所以要整体读出.x2y2则读作“x与y两数的平方和”,突出平方.

(2)对于含有括号的代数式,应当将括号中的式子当成一个整体,按运算顺序读出来.如(ab)2读作“a,b两数和的平方”

(3)由于分数线具有括号和除号的双重作用,因此在读有分数的代数式时,无论是按分数读,还是按除法读,都必须把分子、分母分别视为一个整体去读.如“n与m2的商”,不能读作“n除以m加2”. 例1:指出下列各式中哪些不是代数式;

①0; ②2a1; ③a; ④y1; ⑤; ⑥abc; ⑦3x15; ⑧

54x4m. an读作m2st例2:下列各式:①1y; ②2•3; ③abc; ④20%x; ⑤; ⑥x5.其中不符合代数式的书写要求的有( )

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

知识点二:列代数

列代数式是指“把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来”.简而言之,就是把用文字语言叙述的数量关系“翻译成”代数式.列代数的关键是要理清各数量之间的关系. 提醒:

(1)认真审题,将问题中表示数量关系的词语,正确地转换为对应运算,如:和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等都是常用的表示数量关系的词语,要掌握好他们和运算之间的对应关系.

(2)注意题目的语言叙述所直接表示的运算顺序一般是先读后写.

(3)在比较复杂的问题中,要弄清题中数量关系和运算顺序,正确使用表明运算顺序的符号,分层次逐步列出代数式.

列代数式通常有两种,一种是文字语言表述的代数式,另一种是列实际问题的代数式.解实际问题的关键是必须抓住一些基本的数量关系,如速度×时间=路程,利润率=

利润,利息=本金×利率×期数等. 进价例2:用代数式表示下列问题的结果.

(1)含盐率为10%的盐水,其中含盐 kg,含水 kg.

(2)某书每本定价8元,若购书不超过10本,则按原价付款;若一次性购书10本以上,超过10本的部分按八折付款.设一次性购书数量为x本(x10),则付款金额为 元.

(3)有甲、乙两列火车分别从相距akm的A,B两地同时出发,相向而行,甲的速度为xkm/h,乙的速度为ykm/h,则甲、乙两列火车经过 h相遇. 知识点三:

单项式的有关概念单项式的概念:

只含有数与字母的积的代数式叫做单项式,例如代数式代数0.55a,0.35b,0.15m,2a,2a2,0.8a

和abc等都是单项式.单独一个数或者一个字母也是单项式. 单项式的系数:单项式中的数字因数叫做单项式的系数; 单项式的次数:单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数; 提醒:

1. 单项式的系数是1时,要省略不写;单项式的系数为-1时,要保留“-”号,1也省略不写.

2. 单项式中的数字与字母之间都是乘积的关系;对于式,而式.

3. 圆周率π是数,不是字母,在单项式中应看做数字因数;

4.单项式中数字与字母之间不能出现和、差关系;例如3x7y就不是单项式.

1m22例3.(1)代数式:,3m3,2,,2b2中,单项式有__________

n35x2y2(2)单项式a的次数为 ,系数为 ;单项式的次数为 ,

2xy1xy可以写成xy,所以是单项22222不能写成数字和字母积的形式,它是数字和字母商的关系,所以不是单项xyxy系数为 . 4.多项式的有关概念

多项式的定义:几个单项式的和叫做多项式.例如2ab,x23x2,m33n32m2nm33n32m2n可以看成m3,3n3,2m,都是多项式.其中x23x2可以看成x2,3x,2的和,

2n的和.

多项式的项:多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项.在确定多项式的项时,要特别注意项的符号.如多项式x23x2共有三项,分别是

x2,3x,2,其中第二项时“3x”,而不能说成是“3x”,2是常数项.

多项式的次数:多项式里,次数最高项的次数就是这个多项式的次数.例如:2ab是一次二项式;x23x2是二次三项式;m33n32m2n是三次四项式.

提醒:

(1)多项式是单项式和的形式,每个单项式要包括前面的符号; (2)多项式的次数是次数做高项的次数,而不能理解为所有项次数的和.

例4:下列代数式哪些是多项式?如果是多项式,请指出每一项的系数这个多项式的次数和项数;

10m2n13(1)2x1 (2) (3)2x2 (4)3x4x21

3x

5.整式的概念(重点)

单项式和多项式统称为整式; 提醒:

(1)单项式只允许含有乘法以及数字为除数的除法运算.

(2)多项式中必须含有加法或减法运算,但不能含有以字母为除式的除法运算. 例5:下列代数式:(1)mn;(2)m;(3);(4);(5)2m1;(6)(7)

2xy2;(8)x22x.其中,整式有( )个. xy31212baxy;5A. 3 B.4 C.6 D.7

补充:现阶段,判断一个代数式是不是整式,只要看这个代数式的分母中有没有字母,如果没有,就是整式;否则就不是整式; 拓展例题

拓展点一:现实问题中的列代数式问题

例1:小明买了单价分别为8元和15元的两种书共9本,其中单价为8元的书买了a本,小明应付多少元?

例2:有一堆苹果,小赵拿走,又多拿了2个,小孙拿走剩余的,又多拿了2个,若设这堆苹果有x个,则用x表示最后剩下的苹果的个数.

拓展点二:代数式的实际意义

例3:请举例说明代数式2x3y可以表示不同的实际意义.(要求至少写出两种不同的实际意义)

拓展点三:数形结合问题

例4:如图,边长为(m+3)的正方形纸片剪去一个边长为m的正方形之后,剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠,无缝隙),若拼成的长方形一边长为3,则另一边长是( ).

A.2m+3 B. 2m+6 C. m+3 D. m+6

拓展点四:多项式概念的应用

例5:已知单项式22x2ny2和多项式5x2ym1xy26的次数都是6,则m= ,n= .

1818基础巩固

1.下列各式:x1,3,92,xy1,sab,其中代数式的个数是( ) xy2A. 5 B. 4 C. 3 D.2 2.在3,21,x2y2,x2y,1a15,2六个代数式中,单项式的个数是( ) 2aA. 2 B. 3 C. 4 D. 5

23a2b3.单项式的次数是( )

5A. 23 B. C. 6 D.3 4.多项式2a2bab2ab的项数及次数分别是( )

A. 3,3 B. 3,2 C. 2,3 D.2,2 5. 下列说法正确的是( ) A.单项式x的系数是0,次数是0

3x2yB.单项式的系数是-3,次数是2

585C.单项式3102a2b3的系数是-3,次数是7 D.单项式7x2y2的系数是-7,次数是4 6.若代数式x23x或者“多项”)

7.已知多项式7a2b2ab35a4b4b5a3,请回答下列问题:它是____次____项式,字母a的最高次数是____,字母b的最高次数是____. 8.关于x,y的多项式4xy22ax23xyx21不含x2项,则a的值为____.

2a3b9.单项式的系数是____,次数是____.

3m是整式,则常数m____,这个整式是____式(填“单项”x10.多项式5x48x630.1x2x2是__次__项式,最高次项的系数是____,常数项是__,系数最小的项是__.按x降幂排列为___.

11.如果(|x|3)x3(k3)x22是关于x的二次多项式,则k的值是____.

12.若单项式(n4)2x2y|1n|是关于x,y的五次单项式,多项式3x|m|y3(m3)x2y1是关于x,y的六次三项式,则(mn)2017____. 能力提升

13.12345是一个五位数,将数字1放到右边构成新的五位数23451,如果x是一个四位数,现在把数字1放在它的右边,得到一个五位数,用代数式如何表示这个新五位数?若将1放在左边,也可以得到一个五位数,又如何表示?

14.已知(2m3)x2y|m|1是关于x,y的五次单项式,且系数是负数,试写出这个单项式.

15.已知单项式x4y3的次数与多项式a28am1ba2b2的次数相同,求m的值.

16.已知a,b为有理数且ab,ab,ab,中恰有三个数相等,求(2a)3b的值.

17.有一列单项式:x,2x2,3x3,4x4,•••,19x19,20x20••• (1)根据你发现的规律,写出第101个,第102个. (2)进一步写出第n个和第n1个单项式.

ab12

18.观察下列排列的单项式的规律:

12111ab,a2b2,a2b3,a2b4••• 24816(1)请按照此规律写出第10个单项式;

(2)试猜想写出第n的单项式,并写出其系数和次数.

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