专题学习

数学课程的理念与目标(若干关键词)

专题一 标准的基本理念

数学课程标准的基本理念反映出教师对数学课程、数学课程内容、数学教学以及评价等方面应具有的基本认识、观念和态度，它是制定和实施数学课程的指导思想。《课程标准》中的每一部分内容都要贯穿基本理念的思想和要求。同时，教师作为课程的实施者，更应自觉地以基本理念为指导树立正确的数学教育观念，并用以指导自己的教学实践活动。 1.数学课程的核心理念

《课程标准》提出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”《纲要》提出：“把育人为本作为教育工作的根本要求。”要“关心每个学生，促进每个学生主动地、生动活泼地发展，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。”显然，《课程标准》所提出的上述理念与《纲要》的要求是一致的，课程改革走到今天，越来越清楚地表明，《课程标准》的基本出发点就是以学生发展为本,以把“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”视为数学课程的核心理念。理解“人人都能获得良好的数学教育” 的核心理念，重点要掌握以下几点。 ⑴不同的人在数学上应得到不同的发展。核心理念的主体是“人人”，即指学习数学课程的所有人，而不是指少数人。它表明，义务教育阶段的数学教育不是精英教育而是大众教育，不是自然淘汰、适者生存的教育，而是人人受益、人人成长的教育,同时，也要适应学生个性发展的需要，即既要关注“人人”，也要关注“不同的人”，既要促使全体学生数学基本质量标准的达成，也要为不同学生的多样性发展提供空间。教师在教学中要注重学生的主体性地位，实现不同的人在数学上得到不同的发展；要正视学生的差异，尊重学生的个性，促成发展的多样性；要促进学生更好地自主发展。

⑵良好的数学教育对于学生来说是适宜的、满足发展需求的教育。适宜的数学教育，应该是符合数学课程认知规律和学生身心发展规律的教育，是满足学生的发展需求，为学生未来生活、工作和学习作好准备的教育。如当今社会发展对公民数学素养提出了更高要求，人们越来越多地需要对收集到的数据进行分析、处理以作出决策，统计图和统计表等统计方式在日常生活中已经变得很常见，因此，从满足学生发展需求的角度看，加强统计与概率知识的学习就显得非常必要。

⑶良好的数学教育是全面实现育人目标的教育。全面实现育人目标对学生来说就是要促使其全面发展。今天的数学教育是一个对学生发展全面体现其育人价值的教育，不仅关注数学知识、技能的传授，也关注思想的感悟及经验的积累，不仅关注数学能力的培养，也关注学生的情感态度与价值观的培养，即关注学生作为一个“全人”的智力与人格的全面协调的发展。

⑷良好的数学教育是促进公平、注重质量的教育。“人人都能获得良好的数学教育”的根本是体现教育的公平性。《纲要》提出：“把促进公平作为国家基本教育政策。教育公平是社会公平的重要基础。”“把提高质量作为教育改革发展的核心任务。树立科学的质量观，把促进人的全面发展、适应社会需要作为衡量教育质量的根本标准。”这一要求需要我们在数学教育中予以落实。它应达到这样几层基本要求：一是希望为所有学生提供机会均等的数学教育。二是在数学课程的实施过程中，教师应给予所有学生平等的关注与帮助，并针对学生的实际情况提供适应个性发展的课程教学，特别对于在数学学习方面处于弱势的学生，应给予更多的关照与辅导。三是在数学学习评价中，对学生的学习状况和结果应给予科学、公正的评价，特别应改变“仅凭一纸试卷就将学生划分成三六九等”的做法。四是使每个学生都

能获得相对均衡的学习结果。

⑸良好的数学教育是促进学生可持续发展的教育。可持续发展的数学教育主要是指：数学教育要遵从儿童心理发展应有的阶段性规律，循序渐进，逐步提高的原则；数学教育是生动的、蕴涵丰富发展动因的教育；数学教育也是富有生命力的、具有自我生长力的教育。在数学教学中，教师除了要深钻教材，了解学情，研究教法外，更应该重视构建一个有利于“创生”的、能促进学生可持续发展的数学教育环境。 2.数学课程内容的选择与组织

⑴正确认识数学课程的内容与选择。在传统意义上，人们对数学课程内容的理解是指数学学科中特定的事实及相应的处理方式，包括概念、命题、原理、方法、问题与结论等。今天，我们对上述传统认识应该有所发展，即还应把数学学习活动和经验也包含于数学课程内容之中，同时，对课程内容的选择也应树立正确的观念,即课程内容的选择应是根据特定的教育价值观及相应的课程目标来选择的课程要素。

⑵妥善处理数学课程内容组织上的几个关系。《课程标准》指出：“课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。”之所以提出要处理好上述关系，是因为它反映出当前数学课程内容在选择与组织上的基本矛盾问题，无论是数学课程设计或是实施，都回避不了这些问题。这些问题具体表现为：一是关于过程与结果的关系，主要指数学课程内容的组织与呈现应该重视过程，通过这样一个过程，学生不仅能获得知识与技能，而且能体会感悟到这些知识技能背后更为本质的东西——知识的产生与发展，以及数学的思想、方法，积累起一定的数学活动经验，掌握一定的学习方法，养成良好的学习习惯，从整体上促进自己数学素养的提高。但是在强调过程的同时，也不应产生忽视结果的倾向，即要注重结果的总结。二是关于直观与抽象的关系，主要是指数学课程在本质上是研究抽象的东西，但是，也要考虑到学生学习数学的可接受性和心理适应性，即教师采用恰当的直观性教学手段进行教学就显得很有必要。比如，充分利用图形所具有的几何直观，将复杂的数学对象简明化；恰当地构造数学问题的现实情境，将抽象的数学关系具体化；通过直观调动学生的直觉思维以获得数学的猜想；通过数形结合的方法实现抽象与具体之间的转变；等等。这样的教学手段就能获得好的教学效果。三是关于直接经验与间接经验的关系，主要是指学生在课程中学习数学是以教材和老师的讲授为中介，来获得前人已经形成的数学知识，即学生学习主要是以一种间接的方式来获取和形成数学经验，主要是间接经验。这在客观上就容易形成以教师、课堂为中心的局面，也容易忽视学生个体的直接经验在学习中的存在。在当前的数学教育理论中，一方面，学生的数学认识不是被动地接受而建立的，而是通过白己的经验主动地构建起来的。另一方面，也要看到，在学习数学间接经验的同时，学生也在发展白己的直接经验，特别是通逋打好知识基础，掌握学习方法，学生具有了主动面对生活和社会去拓展白我直接经验的能力。所以，我们强调重视直接经验，不仅指它有利于间接经验的学习，也在于它本身就应成为课程的重要目标。正如《纲要》所指出的：要改变课程内容“过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验。”

3.数学教学的认识

⑴关于数学教学本质的基本看法。数学教学是对数学课程的具体实施，是为达成一定的数学课程目标、在特定的环境条件之下所展开的的教学活动。这一活动有如下本质特征：一是数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，即数学教学应该是教和学的行为主体具有一定参与度的活动，数学教学不应该是教师单向、独白式的教学，它是教师、学生、文本之间的多向交互关联的活动体，它通过交往获得动力，通过互动得到创生，它追求的就是一种和谐的，具有生命力和生长性的活动。二是有效的教学活动是学生学与教师教

的统一，即教学活动是在“教”和“学”这两种基本行为中展开的，这两种行为有共同的目的指向——教学目标，这两种行为的对象即数学教学内容。三是学生和教师在教学活动中有明确的角色定位，即在数学教学活动中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。

⑵明确数学教师在课堂教学中最需要做的事，即在数学课堂教学中，教师最应该下功夫的“点”在什么地方，什么是最需要去做的事。一是“激发学生的兴趣”，即在义务教育的数学课堂上，教师要更多地在激发学生学习兴趣上下功夫，要通过自己的教学智慧和数学艺术，充分展示数学的亲和力，拨动学生的好奇心，激发学生学习数学的原动力，使学生对数学由厌学到乐学，最终达到会学。二是“引发数学思考”，即在数学教学中，强化学生对最有价值的行为、题型、技能进行有效的思考，真正感悟到数学的本质和价值，促使学生在创新意识上得到发展。三是“培养学生良好的数学学习习惯”，即使学生在长期的学习中逐渐养成较稳固的学习行为、倾向和习性。四是“使学生掌握恰当的数学学习方法”，即在教学中，改善学生的学习方式，反映数学学习的特征。

⑶明确学生在数学学习中所应有的学习过程，即在数学学习过程中，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程；是有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程；认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学生学习数学的重要方式。

⑷发挥教师的主导作用，即教师要坚持面向全体、因材施教、注重启发式教学，要妥善处理好讲授和学生自主学习的关系。

4.数学课程的教学设计

数学课程的设计是保证此次课程改革顺利实施的重要途径。数学课程的教学设计主要从以下几方面着手。

⑴对数学课程作整体性、贯通式设计。本次课程改革在义务教育阶段数学课程中，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段（1～3年级），第二学段（4～6年级），第三学段（7～9年级）。这种划分淡化了传统意义上的小学与初中的区分，也淡化了多年来关于“五四制”“六三制”的一些争议，使得整个九年的课程安排更加均衡、协调。当然数学课程结构上的这种新变化对数学课程目标、内容、实施等多个方面也带来了影响。比如在数学课程目标上除总目标外，还必须考虑学段目标；在课程内容上，需通盘考虑九年安排和内容的合理分布；在教学上需处理好“长线”与“短线”的关系，这就需要一线教师应充分认识课程结构变化的意义，并在教学中主动适应这一变化，解决好由此带来的新问题。

⑵关于数学课程目标的设计。首先，要使教师理解课程目标的定位。教学目标主要由教育目的（是教育方针的总的培养目标的体现）、课程目标（《课程标准》提出的学生学习的达成目标）、教学目标（单元、章节、课堂教学达成目标）三部分组成，《课程标准》中的课程目标处于第二级，它具有“承上启下”的功能，即它既要反映《纲要》所提出的培养目标（一级目标）的总要求，并将此要求落实于数学课程的目标之中，也能对数学课堂教学目标（三级目标）发挥指导作用，使课程目标在实践操作层面具体化。其次，要使教师理解《课程标准》中的数学课程目标是一个具有层次结构的目标体系，即：由总目标与学段目标构成,在总目标中，又由总体表述与四个方面（知识技能、数学思考、问题解决、情感态度）具体阐述组成。而且四个方面的每一个方面，也是有层次的，它是由更加具体到4～5个小点来表述的。这种由总体到具体，逐步细化的表述方式，有利于教师不仅从全局和总体上把握数学课程的价值取向和学生学习的达成目标，也能从具体板块内容和学段人手，具体落实目标要求，增强课程目标在课堂教学操作层面的指导性和针对性。再次，要使教师理解数学课程目标陈述的基本方式，即目标表述的4个基本要素（行为主体（学生）、行为动词、行为条件和达成的程度）组成，结果性目标表述常用行为动词有“了解、理解、掌握、运用”等，

过程性目标常采用“经历、体验、探索”等目标行为动词，主要用于数学活动、情感态度等方面的表述。

⑶关于数学课程内容标准的设计。以数学课程的基本理念和课程目标为依据，根据多学段的划分，《课程标准》安排了“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分内容。《课程标准》特别对“综合与实践”内容设置的目的予以强调，指出其目的“在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”这就使得该部分内容设置的目标指向更加具体明确。注意综合运用知识，培养学生问题意识，积累数学活动经验更是成为“综合与实践”这一内容的落脚点。 专题二 标准的目标解析（一）

义务教育数学课程目标既是义务教育阶段的数学课程应该达成的目标，又是学生通过义务教育阶段的数学课程学习应该达成的目标，也是数学教师通过义务教育阶段的数学教学应该达成的目标。它们是学生在义务教育阶段的成长发展在数学课程中的具体体现。教师教学、学生学习，以及对教师和学生的评价，都要围绕课程目标来进行。

《课程标准实验稿》在几年实验研究的基础上，《课程标准》对课程目标进行了完善，在具体表述上做了修改，更加突显了课程改革倡导的使学生经历数学学习过程、学会数学思考等思想。同时，课程目标的设计，突显了以下特点。一是从结构上，课程目标的总体设计仍然保持总体目标和学段目标的结构。二是明确提出“四基”，即通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”。三是明确提出“发现问题、提出问题”能力的培养，特别是将原来总目标中四个方面的“解决问题”改为“问题解决”，体现更加重视学生的问题意识，以及学生解决问题综合能力的培养。此外，在分段目标和课程内容的表述上，尽量使用了描述结果目标和过程目标的行为动词。

《课程标准》中的课程目标的核心是三个“应该”、四个“围绕”、四个“了解”。三个“应该”，是数学课程、学生学习和教师教学应该达成的目标。四个“围绕”，是教材编写﹑教师教学﹑学生学习和学习评价都要围绕课程目标来进行。四个“了解”，课程目标主要是给教育行政部门的领导、教材的编写者和数学教师去看的，让他们了解义务教育阶段数学课程设置的目的是什么，数学教学活动有哪些教育意义，数学课堂应当是怎么样的，数学学习将使学生有什么收获。其中“课程目标”的表述是先总体后具体，再到学段的细节逐渐展开。数学课程的具体目标按照知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面展开，它们也是《基础教育课程改革纲要（试行）》中“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”三维目标在数学课程中的具体体现。

《课程标准》的课程目标，是从学生的角度来阐述上述问题，来表述本课程打算让学生达到的目标。因此，表述时常常会有“通过数学学习，学生能够”这样的语句，这体现了学生在教学中的主体地位。

《课程标准》把“课程目标”分成“总目标”“总目标的四个具体方面”以及“学段目标”三个部分。“总目标”带有全局性、方向性、指导性；“总目标的四个具体方面”，即知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面，也可以称为数学课程的四个具体目标。《课程标准》中对数学课程的“总目标”表述为三点：一是获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。二是体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。三是了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。数学课程“总目标”的表述，言简意赅，即结合数学教学的特点，分别从获得“四基”、增强能力、培养

科学态度的角度，用明确区分又相互联系的三句话表述，又体现了《纲要》中规定的三维目标，也体现了素质教育和全面育人的思想。下面对这三点进行具体分析。

1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验

（1）保留数学的基础知识和基本技能的原因。过去的数学课程，非常强调“双基”，即要求学生基础知识扎实，基本技能熟练，这是正确的，它在历史贡献是应该承认的，但是，对于“双基”的内容，在“知识爆炸”的时代，在现代信息技术突飞猛进的时代，也必须与时俱进。如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等，要有所删减；而对于估算、算法、数感、符号感、收集和处理数据、统计初步、数学建模初步等，又要有所增加。但这还不够，所以《课程标准》这次增加了两条，表述为“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”而且把“双基”列为“四基”的前两条，从而也强调了“双基”。

（2）发展为“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”的三点理由。一是因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标，就是知识与技能，而增加这两条，则还涉及三维目标的另外两个目标，就是过程与方法，情感态度与价值观。二是因为有些教师片面地理解双基，往往在实施当中见物不见人，而教学必须是以人为本，所以增加数学思想和活动经验就是直接与人相关。三是因为虽然双基是培养创新性人才的基础，但是创新性人才不能仅仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，思维训练和积累经验等也十分重要。 （3）明确获得数学基本思想的内涵。数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓。数学思想的内涵十分丰富，也有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。例如：从数学角度看问题的出发点，把客观事物简化和量化的思想．周到地思考问题和严密地进行推理，以及建立数学模型的思想，合理地运筹帷幄„„一个人完成学业进入社会后，如果不是在与数学相关的领域工作，他学过的具体的数学定理和公式可能大多都用不到，若干年以后就渐渐忘记了，而学习数学知识的同时他如果也获取了上述这些数学思想，却一定会终生受益。《课程标准》中所说的“数学的基本思想”主要是指：数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，使数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。

处于“数学的基本思想”下一层次的数学思想，还有很多。例如，由“数学抽象的思想”派生出来的分类思想，集合思想，数形结合思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称思想，对应思想，有限与无限的思想等；由“数学推理的思想”派生出来的归纳思想，演绎思想，公理化思想，转换化归思想，联想类比思想，逐步逼近思想，代换思想，特殊与一般的思想等；由“数学建模的思想”派生出来的简化思想，量化思想，函数思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想等。

这里值得注意的是，在用数学思想解决具体问题的时候，会逐渐形成程序化的操作，这就构成了数学方法。数学方法也是有层次的，处于较高层次的可以称为数学的基本方法。如有演绎推理的方法、合情推理的方法、变量替换的方法、等价变形的方法、分情况讨论的方法等。处于下一个层次的数学方法有：分析法、综合法、穷举法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法、递推法、消元法、降幂法、换元法、配方法、列表法、图象法等。数学思想常常通过数学方法去体现，数学方法又常常反映了某种数学思想,它们之间还是有联系的，但是数学方法跟数学思想是不同的。数学思想往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的，而数学方法往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的 ，这些形容词就把这两者给区别开了。教师在讲授数学方法的时候，

应该努力去反映和体现数学思想，让学生了解体会这些数学思想，从而提高学生的数学素养，这会让学生终身受益。

（4）获得数学基本活动经验的理解。这里说的数学活动既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活中进行的活动，也包括课程教学中特意设计的活动。活动是一个过程，不但体现出学习结果是课程目标，而且学习过程也是课程目标。课程标准提出来让学生获得数学活动经验，还有一个重要目的就是培养学生在活动当中从数学的角度进行思考，直观地合情地获得一些结果。数学活动经验不仅是解题的经验，更重要的是思维的经验，是在数学活动当中思考的经验，学生形成智慧不仅靠知识，也靠在实践当中取得经验。数学思想也不仅在推导当中去形成，还需要在数学活动经验的积累上去形成。基本的数学活动经验分别是直接的活动经验、间接的活动经验、教师设计的活动经验、学生思考的活动经验。

（5）“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”是一个有机的整体，是互相联系、互相促进的。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；数学思想则是数学教学的精髓，是统领课堂教学的主线；数学活动是不可或缺的教学形式。“四基”既然比双基增加两条，在课堂时间的安排上就应该有意识地给“数学思想”的教学预留适当的时间，但是“数学思想”的教学不能空洞地进行，一定要以数学知识为载体，并且应该注意将数学知识与数学思想融为一体。此外，在教学评价上也应该给“数学思想”和“数学活动”以适当的位置和空间。

2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系；运用数学的思维方式进行思考；增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力 本目标主要从以下几方面进行理解。

(1)体会数学这三个方面的相互联系。要学生体会三个方面的联系，首先要体会数学知识之间的联系，一堂课可能重点学习一个数学知识，但是数学是一个整体，任何数学知识都不是孤立的，一段时间以后，教师应该引导学生把这些知识点连接成线，再把这些线进一步连接成网，在自己的头脑中形成网状的知识体系。这样有利于学生全面认识和准确理解相关的数学知识，有利于学生养成良好的习惯，增强能力，逐渐善于把学到的数学知识建构成网状的知识体系，从而提高学生对于数学的整体认识和宏观把握，提高学生的数学素养。其次是体会数学与其他学科之间的联系，这主要是说数学学科与其他学科有广泛的联系，学生不应孤立地学习数学，而应注意数学与其他学科之间的联系。至于“数学与生活之间的联系”，也可表述为“数学与实践之间的联系”,由于《课程标准》是针对义务教育阶段的课程，所以表述为“数学与生活之间的联系”会更加贴近这一年龄段的学生。数学来源于实践，又应用于实践，与实践的关系非常密切。千万不要让学生误以为数学是数学家用符号编造出来的“天书”，误以为学数学仅仅是为了解题和应付考试。

（2）学会运用数学的思维方式进行思考。学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终生受益。这种思考就是“运用数学的思维方式进行”的思考，也可以称为“数学方式的理性思维”。它包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，包括合情推理和演绎推理（也称“逻辑推理”）等。在义务教育阶段数学课程进行的全过程，都应该注意培养学生的数学思维。其中的第一学段和第二学段，学生较多接触和学习的是合情推理，第三学段则必须加强演绎推理的教学。合情推理是从范围较小的命题得到范围较大的命题，是“从特殊到一般”的推理；演绎推理则是从范围较大的命题得到范围较小的命题，是“从一般到特殊”的推理。合情推理包含的范围相当广泛，如分类、归纳、类比、联想、猜测等。当然，“数学思维”中也包含以“归纳”为特征的“合情推理”，如前面提到的分类、归纳、类比、猜测，还有解读“四基”那一段里提到的“预测结果”的思维和“探究成因”的思维，都是得出新结论的一些途径，这对于培养创新人才是不可或缺的。还有数学课程中的“统计”部分则有自己的

思维规则，不同于数学的逻辑推理，它是从数据点发的，不像数学是从公理和定义点发的；统计的思维规则是以“归纳”为特征的，不像数学是以“演绎”为特征的；统计的结论只有“好”与“差”的区别，不像数学是“对”与“错”的区别。教师对于“统计”与“数学”在思维方式上的这些区别应有清醒的认识，并且要以恰当的方式渗透给学生。 （3）增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。《课程标准》围绕关键词——“问题”，表述“增强能力”的课程目标，一句是发现问题和提出问题”，另一句是“分析问题和解决问题”。所谓“发现问题”，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或者空间方面的某些联系，或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼点来。所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形态表述出来。对于“分析问题和解决问题”而言，其中的“已知”和“未知”都是清楚的，需要的是利用已有的概念、性质、定理、公式、模型，采用恰当的思路和方法得到问题的答案。但是对于“发现问题和提出问题”而言，其中的“已知”和“未知”都是不清楚的，所以难度更大，要求吏高。可是对于培养学生的创新意识和创新精神，“发现问题和提长问题的能力是必需的。这是《课程标准》的一个新发展，也是对于数学教学较高层次的要求。为此，教师在数学教学中要努力创设适当的情境，让学生用数学的眼光来看待和分析这些情境，经常采用探究式的教学方法，引导学生发现问题和提出问题，也引导学生分析问题和解决问题，从而培养学生的相应能力。

3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心；养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度

这里集中地谈到学生通过数学学习在“情感态度与价值观”方面的提高。主要从以下几方面理解。

(1)了解数学的价值，提高学生学习数学兴趣。要让学生了解数学的价值，教师在教学中就要注意说明数学在日常生活中的应用，在工程技木中的应用，在其他学科中的应用和在实践中的应用。对于低年级学生，要特别注意大量举例，说明数学在他们这个年龄段人群中的应用。同时，还要向学生介绍，他们在学会数学知识的同时，也要学到从数学角度看问题的出发点，学到数学方式的理性思维，使自己思考更有条理，表达更加清晰，提高自己的数学素养。当然教师还要讲究教学方法,让学生看到数学内在的本质和自身的魅力，从而激发他们学习数学的兴趣，实现“人人都能获得良好的数学教育”的目标。

(2)养成良好的数学学习习惯和科学态度。良好的学习习惯包括：认真对待学习，勤奋刻苦，积极参与探究．勇于坚持真理和纠正错误，及时完成作业，有饱满的学习热情，有强烈的求知欲，不畏惧困难，愿意提问、咨询、反思和质疑，乐于与人交流、合作，会合理安排时间，等等。习惯成自然，当教师指导学生把上述良好的学习习惯养成后，不但对他们今后的学习有益，而且对学生的终生成长都有益。

（3）创新意识和科学态度。创新意识是创新能力的基础，对于义务教育阶段的学生，需要关注他们创新意识,让他们学会发现问题和提出问题，有自己的独立见解，愿意讨论，敢于质疑。其实在发现问题直至解决问题的教学活动中，学生不但会有创新意识的提高，也一定会有“创新能力”的提高，只不过对于不同年龄的学生，这种“能力”的含义有所不同。教师对于在教学中特别优秀的学生，应该给予特殊的培养，增加难度，对他们进行个性化教学。对于“科学态度”，有许多内涵，如坚持真理，修正错误，严谨周密，实事求是等。其中“实事求是”是科学态度的核心。让学生具有良好的科学态度，也是数学教学贯穿始终的目标。如数学的结论（不包括数学课程中的统计部分）是通过严格的逻辑推理得到的，对就是对，错就是错，来不得半点儿的含糊，这对于所有人都是公开、公正、公平的，所以，数学教学特别适合培养学生实事求是的科学态度。教师在课堂讨论中，应该利用一切机会让学

生在方法上、逻辑上和结论上明辨是非。有不同意见是正常的，教师应该鼓励学生在课堂讨论中争论，不要过早表态，可以点拨和引导，使争论更加涉及问题的本质，使争辩的是非越来越分明。

以上这些“情感态度与价值观”方面的课程目标，不能脱离“知识与技能”的载体单独地传授，空洞地讲解。教师应该善于把这些课程目标融人教学过裎中去实现，并且主动地、每时每刻地关注这些课程目标的实现。这也再次体现了“过程也是目标”。学生在“情感态度与价值观”方面的这些发展，不仅对学习数学会产生积极的效应，而且对学习其他学科也会产生积极的效应；不仅在学习方面会产生积极的效应，而且在做人方面也会产生积极的效应；不仅在义务教育阶段会产生积极的效应，而且对学生的终生成长都会产生积极的效应。 专题三 标准的目标解析（二）

具体目标是对总目标的具体化，教师只有认识到具体目标的四个方面及四个方面的相互关系，才能更好地理解总目标。

1.具体目标的四个方面

义务教育阶段数学课程的总目标，具体体现在“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”等四个方面。在义务教育阶段，不但让学生掌握知识技能是重要的，而且让学生学会数学思考，经历问题解决的全过程，使学生发展良好的情感态度也是重要的。在数学思考、间题解决中，学生能够积累数学活动经验，感悟数学思想，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，实现义务教育阶段数学课程的总目标。因此，这四个方面既是三维目标在数学课程中的体现，也是总目标的三点内容的具体化。

（1）知识技能。《课程标准》在这里分以下4点表述。

•经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。 •经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。

•经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。

•参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。

知识技能就是以前所说的“双基”，即基础知识和基本技能，其内容一方面应随科技的发展与时俱进；另一方面又应有相对的稳定性。学生对于基础知识和基本技能的掌握，要尽量达到扎实和熟练的程度，为此，不应排斥模仿、记忆、适当重复和变式练习等行之有效的学习方式，但要在理解的基础上模仿和记忆，而不是机械地模仿，也不是死记硬背。《课程标准》分别从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述数学课程在“知识技能”上应该达到的目标。前三个领域是数学课程的三个分支，所以表述的句式都是“经历„„过程，掌握„„的基础知识和基本技能。”第四个领域有特殊性，表述的句式为“参与„„活动，积累„„经验。”这里的“经历”“参与”两个行为动词，都是表述“过程”的，说明《课程标准》强调了在达成知识技能目标时应该关注教学过程。《课程标准》对“知识技能方面”的这种表述，是希望学生经历学习知识技能的过程，让学生在感悟、理解的基础上，掌握知识技能，同时积累数学活动经验，感悟数学思想。其中，对于基础知识和基本技能的表述，都用了“掌握”一词，这表明《课程标准》对于“双基”的目标要求是较高的。但是《课程标准》没有用“扎实”“熟练”这两个修饰词，是提醒教师在“双基”教学中要防止题海战术，特别是防止大量的机械记忆类、重复操练型习题。此外，对于什么是学生应该掌握的“基础知识”和“基本技能”，在“知识爆炸”的时代，在现代信息技术突飞猛进的时代，必须与时俱进。

关于学生如何才算掌握了数学的基础知识和基本技能，可从以下几点考虑：一是对于

重要的数学概念、性质、定理、公式、方法、技能，学生应该在理解的基础上是否记住其结论的本质，并且会运用；二是学生能够了解这些数学概念、结论产生的背景，并通过不同形式的探究活动，体验数学发现和创造的历程；三是学生应该感悟、体会、理解其中所蕴涵的数学思想，并且能够与后续学习中有关的部分相联系。 对于前三个领域的“知识技能”目标，《课程标准》关于具体经历什么过程的表述，不同领域并不一样，这反映了《课程标准》认为该领域（数学分支）的教学中学生分别应该“经历”的重点所在。“数与代数”领域的重点是“经历数与代数的抽象、运算与建模等过程”“图形与几何”领域的重点是“经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程”“统计与概率”领域的重点是“经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程。”对于“综合与实践”领域中学生在“知识技能”上应该达到的目标，《课程标准》这里用的行为动词是“参与”和“积累”。“参与”应该比“经历”的要求较高，“经历”只需要学生在场，而“参与”则不但学生必须“在场”，还应该在其中动手动脑，实际操作。这才体现了“实践”活动。这里的“参与”，实际上既包含学生认知的参与，也包括行为的参与，还包括情感的参与。“积累”这一动词后则表述为“积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验”，这里也有三点值得注意，一是“知识、技能和方法”这种多角度的阐述，体现了实践活动的“综合”性；二是解决“简单”问题的阐述，体现了义务教育阶段要求的适当分寸；三是“数学”活动经验的阐述，体现了这些活动必须围绕“数学”来展开。 (2)数学思考。《课程标准》中分以下4点表述。 •建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

•体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

•在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达白己的想法。

•学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

《课程标准》从上述四点来阐述数学课程在“数学思考”上应该达到的目标。前三点从数与代数、图形写几何、统计与概率、综合与实践四个领域来阐述（其中第一点涉及两个领域），后一点则是概括的阐述。指出了“数学思考”这一方面课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维。让学生学会思考，特别是学会独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心，而学会思考的重要方面是学会数学抽象，学会数学推理，学会数学思维。前三点是联系四个领域对这三个目的的具体说明。其中，第一点中“建立数感、符号意识”“初步形成运算能力”是针对数与代数领域的；“建立空间观念”“初步形成几何直观”是针对图形与几何领域的；而“发展形象思维与抽象思维”则是同时针对这两个领域的。第二点是从统计与概率领域来阐述，应注意其中“体会意义”“发展观念”“感受现象”的表述，它们是用来表达“数学思考”的。第三点从综合与实践领域来阐述，应注意“发展合情推理和演绎推理能力”的短语，它们也是用来表达“数学思考”的。从培养创新性人才考虑，关于数学思考还有两个“关系”,教师在教学中需特别注意，一是合作探索与独立思考的关系；二是演绎推理与归纳推理的关系。《课程标准》不但强调学生的合作探索，也强调学生的独立思考。不但强调培养学生的演绎推理能力，也强调培养学生的归纳推理能力。 (3) 问题解决。《课程标准》中分以下4点表述。

•初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

•获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意

识。

•学会与他人合作交流。

•初步形成评价与反思的意识。

“问题解决”这一短语与“解决问题”不完全相同，它不但是一种教学方式，是展开课程内容的一种有效形式，也是学生应该掌握的学习形式和应该具备的能力，也是课程目标。它包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题的四个方面。这里提及的“问题”，并不是数学习题那类专门为复习和训练设计的问题，也不是仅仅依靠记忆题型和套用程式去解决的问题，而是展开数学课程的“问题”和应用数学去解决的“问题”，这些问题应该是新颖的，有较高的思维含量，并有一定的普遍性、典型性和规律性。“问题”又往往会与生活、生产实际相联系，所以这里还强调了“实践”和“应用”，表述为“增强应用意识，提高实践能力”。关于解决问题的策略、方法和途径可以是多种多样的，《课程标准》强调了这种“多样性”，并且希望学生由此发展创新意识。学生独立思考，自己发现和提出问题，是对创新意识的一种培养。因此，教师应鼓励学生思考和交流，形成自己对问题的理解。在课堂探究时如果对于同一问题出现不同的解决方法，教师不应轻易地否定某一种方法，而应该因势利导，让学生在讨论和对比中自己去认识不同方法的优劣，同时也体验了“解决问题方法的多样性”。《课程标准》还提到“学会与他人合作交流”，则是指“情感态度”方面的目标，在“问题解决”的过程中教师应该注意引导学生学会交流，学会合作，既包括学会倾听，也包括学会表达，还包括共同分析问题、解决问题。一方面要听懂别人的思路，补充或者修正别人的思路；另一方面要准确、简明地表述自己的思路，以及从别人对自己思路的评论中吸取正确的成分，改善自己的思路。在“问题解决”的过程中，教师应该引导学生独立思考、主动探索、合作交流，这是使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验和实践能力的主要途径。《课程标准》还希望在“问题解决”的过程中或者最后，都要有“评价与反思”的环节，去关注﹑回顾和总结问题解决的过程，而不是仅仅关注问题解决的结果。这样，可以锻炼学生挖掘和抓住事物本质的能力，以及培养学生解决问题“优化”的思想。同时，教师在这一环节中也应明确表态，以使学生知道孰优孰劣，有所收获。在义务教育阶段，只要求学生“初步形成评价与反思的意识”，即了解评价与反思的含义，经历这样的活动，认识其作用和好处。

(4) 情感态度。《课程标准》中分以下5点表述。 •积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

•在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 •体会数学的特点，了解数学的价值。

•养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。

•形成坚持真理、修正错误、实事求是、严谨求实的科学态度。

“情感态度方面”的课程目标，分5点阐述了数学课程在“情感态度价值观”上应该达到的目标。一是学生对于数学活动有积极的态度，“对数学有好奇心和求知欲”，因为学习兴趣是学生主动学习的根本动力，而好奇心和求知欲是发展兴趣的基础。数学课程首先应该能够吸引学生的注意，这是在“情感态度”方面起码的课程目标；如果课程还能够普遍引起学生的“好奇心和求知欲”，就不简单了，这不但需要课程内容的合适，更需要教师的教学艺术。二是要让学生“体验获得成功的乐趣”，这是培养学生求知欲的重要途径，也有利于学生建立自信心。这要求教材的难易适当，也需要在学生获得点滴成功时教师要恰如其分的肯定和鼓励。但是未必所有学生在每一次都能有成功的体验，数学学习对许多学生还是一个艰苦的过程，所以要让学生在遇到困难和战胜困难的过程中“培养克服困难的意志”，这需要教师适当的引导，特别是在学生遇到不同程度困难时不同方法的引导。如果学生在不顺利时不仅有“克服困难的意志”，而且能够找出克服困难的办法，体验到克服困难的乐趣，便

会逐渐“建立自信心”。三是价值观方面的课程目标，让学生“体会数学的特点，了解数学的价值。”这需要教材得当的表述，也需要教师得当的教学。数学的价值是多方面的，了解了数学的价值，才有利于巩固对数学的求知欲。四是养成艮好习惯方面的课程目标，要让学生“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”，这与课程“总目标”第三点的表述相呼应，且具体强调了四个学习习惯。“认真勤奋”的本质是集中精力，这是发展其他习惯的基础；“独立思考”的重点在于思考要独立，这是积累数学经验的基础；“合作交流”则是对于独立思考的补充，可以培养与他人合作的意识；“反思质疑”可以使学生学会深入思考，养成批判思维的习惯。其中“认真勤奋”是对待一切工作的良好态度和习惯，“独立思考”是对待问题时的良好习惯，“合作交流”是与他人共同工作时的良好习惯，“反思质疑”是对待结论时的良好习惯。学生在学习活动中养成这些良好的习惯，会使他们终生受益。“反思”是学生对于自身活动的过程和结果进行思考和总结；“质疑”是学生对于书本或者他人的推理、结论进行思考、表示怀疑。两者都需要学生自己独立地“再思考”。当学生进行“质疑”时，教师需要注意鼓励学生为自己的疑问寻找证据，以否定、修正或证实他人的结论,特别是当事实表明学生的怀疑是错误的时候，应指导学生理智地放弃怀疑，实事求是地尊重科学，同时对其敢于质疑的精神给予恰当的肯定。五是科学态度方面的课程目标，要让学生“形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。”在课堂探索中或者合作交流中，常常会有不同观点、不同方法的碰撞，这时，在达成“知识技能”“数学思考”“问题解决”等目标的同时，也应该关注达成“严谨求实的科学态度”方面的目标。在思考问题时应该严格、谨慎，在对待自己或者他人的错误时应该敢于和善于“坚持真理、修正错误。” 2.具体课程目标四个方面的关系

在《课程标准》中，当叙述了数学课程在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的具体目标后指出，这四个方面不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。教师在课程设计和教学活动的组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。 （1）这四个方面是密切联系的整体。《课程标准》对于具体目标四个方面的分别表述，可能会使读者产生这四个方面相互独立的错觉，《标准》这里特别用“不是„„而是”的句型，从正反两个方面进行解释，以防止这种错觉。这里表达了三层意思：这四个方面，不但不是“割裂的”，而且也不是“相互独立”的；这四个方面，不仅是“密切联系”的，而且是“相互交融的”；它们实际上是一个“有机整体”。

（2）教学中应同时兼顾这四个方面的目标。教师在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标，而且在实践上需要教师有较高的统筹兼顾的能力，特别是在备课设计中,只有兼顾知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面，才能在教学活动中有效地实施。并且备课设计时一般有比校充裕的时间，这样便于全面、周到、充分的思考，以做到统筹兼顾。

（3）四个方面目标的整体实现是“学生受到良好数学教育的标志”。《课程标准》在这里给出了“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”表述的完整解释：“这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志。”这样，就把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面具体目标的整体实现，提高到一个新的高度去认识，更加体现出它们的重要意义。而且这种整体实现，不仅有重大的现实意义，还有重大的长远意义，它不但有利于学生学习数学课程当时的成长，还能够促进学生未来的发展，并且还能使学生的发展不是片面的，而是全面的，不是阶段的，而是持续的，所说的四个方面不是各自独立的，而是和谐融合的。这也进一步诠释了什么是“良好的数学教育”。这里“和谐”

一词，与“全面”一词并不重复，“全面”是指从知识技能一个方面扩展为四个方面，“和谐”则与前面“相互交融”的表述相呼应，学生在这四个方面的发展．不是各自分离的四维发展，而是“密切联系”“相互交融的”四个维度的发展。 （4）四个方面目标是互相促进的。“数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。”《课程标准》在这里强调具体目标的四个方面是互相促进的，同时也阐述了结果目标与过程目标的关系。知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面的具体目标，表面上似乎是并列的，其实可以分为两组：知识技能的目标往往是通过学生学习的结果体现和达成的，简称为“结果目标”；数学思考、问题解决、情感态度的目标往往是通过学生学习的过程体现和达成的，简称为“过程目标”。但是，知识技能的目标表述中也有“经历”“参与”这些行为动词，其中也包含过程目标；数学思考、问题解决、情感态度的目标表述中也有关于运算能力、推理能力、解决问题能力方面的内容，所以其中也包含结果目标。即“结果目标”与“过程目标”不能截然分开。当前，数学课程不仅要向学生提供数学的知识技能，而且也要促进他们在数学思考、问题解决、情感态度方面的成长。这里，两者不能偏废，但知识技能的目标是基础，数学思考、问题解决、情感态度的目标不能离开知识技能凭空地实现。事实上，数学思考、问题解决、情感态度这些“过程目标”的得当实现，一定会使知识技能的目标更好地实现；但是“经历过程”并不仅仅是为了“结果目标”的实现，这些过程本身也是目标。所以《课程标准》强调，“知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现”，要求教育者在这方面必须进行主观努力，在实施知识技能目标的过程中，“有利于其他三个目标的实现”。这种教育者的主观努力，主要指在知识技能的教学中千方百计地融入和渗透数学思考、问题解决、情感态度的课程目标。

3.数学课程的学段目标

“学段目标”分三个学段来阐述课程在知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的具体目标。关于具体阐述，全文结合了每个学段的学习内容，也结合了每个学段学生的年龄心理特点。在阐述知识技能和数学思考的目标时，又会兼顾到课程的“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三个领域；而对于“综合与实践”领域，在“学段目标”中没有做单独的表述。《课程标准》在“内容标准”部分，虽然是分学段详细表述的，但限于篇幅和分工，主要表述的是课程“知识技能”方面的内容。要求教师也要同样关注课程在数学思考、问题解决、情感态度方面的具体目标，为此，教师可以参照“学段目标”三个学段中相应的部分，并且在课程设计时把四个方面的具体目标融会贯通。

下面分别对于《课程标准》中知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的“学段目标”每个都举一个例子，纵向地将三个学段的表述作简要的对比和解读，从而清晰地看出这些表述是如何层层深入的。这种“层层深入”包含两个方面的意思：一是后一个学段的要求应该比前一个学段更加深入，体现循序渐进；二是不应把过高的要求放在较低的学段，那样会欲速则不达。 （1）知识技能方面 。《课程标准》中的学段目标在“知识技能”的结果目标表述中，大量使用了“经历”“体会”“感受”“体验”“探索”等表达过程目标的行为动词，这再次表明课程的结果目标与过程目标是密不可分的，教师在教学活动中一定要统筹兼顾。如在“数与代数”领域中，学段目标关于知识技能方面的表述，可以分为“数学抽象”“数与式”“数学运算”三个小方面，我们看它是如何层层深入的。

第一，关于数学抽象的表述，第一学段为“经历从日常生活中抽象出数的过程”；第二学段为“体验从具体情境中抽象出数的过程”；第三学段为“体验从具体情境中抽象氙数学符号的过程”。第一学段的行为动词为“经历”，第二、第三学段的行为动词上升为“体验”；第一学段涉及的范围仅仅是“从日常生活中”，第二学段的范围上升为一般的“从具体情境

中”；第一、第二学段的中心短语是“抽象出数”，第三学段的中心短语是“抽象兵数学符号”。这些表述，都体现出逐渐深化的过程。 第二，关于数与式的表述，第一学段为“理解万以内数的意义，初步认识分数和小数。”第二学段为“认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数。”第三学段为“理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数。”这些表述在逐渐扩大数的范围，至第三学段不但扩大到“有理数、实数”，还扩大到“代数式、方程、不等式、函数”。

第三，关于数学运算的表述，第一学段为“体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。”第二学段为“掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。”第三学段为“掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。”虽然三个学段都使用了“掌握必要的运算技能”的短语，但是第一学段是针对“万以内的数”和简单的“分数和小数。”第二学段是针对“万以上的数”和“分数、小数、百分数”。第三学段则是进一步针对“有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数”。关于估算，第一学段只要求“在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算”，第二学段则要求“理解估算的意义”，第三学段进一步要求“掌握必要的估算技能”。关于方程，第一学段没有要求，第二学段只要求“能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程”，第三学段则进一步要求“探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。”这些表述也都体现出逐渐深化的过程。

（2）数学思考方面。下面以“图形与几何”领域及思维和推理两方面进行阐述。在“图形与几何”领域，学段目标关于数学思考方面的表述，第一学段为“在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中，发展空间观念”。第二学段为“初步形成空间观念”“感受几何直观的作用”。第三学段为“在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。”这里从“发展空间观念”到“初步形成空间观念”，再到“进一步发展空间观念”；从“感受几何直观的作用”到“初步建立几何直观”，也都体现出逐渐深化的过程。在思维和推理的方面，第一学段为“在观察、操怍等活动中，能提出一些简单的猜想”“会独立思考问题，表达自己的想法”。第二学段为“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达白己的思考过程与结果”。第三学段为“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”“能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。这里关于思维的表述，从“会独立思考问题”到“能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”，再到“能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”，也体现出逐渐深化的过程。关于推理的表述，从“能提出一些简单的猜想”到“发展合情推理能力”，再到“发展合情推理与演绎推理的能力”，也体现出逐渐深化的过程。

（3）问题解决方面。下面仅以发现问题、提出问题和初步地解决问题方面为例进行分析。这方面学段目标的表述为：第一学段是“能在教师的指导下，从日常生活中发现和提出简单的数学问题，并尝试解决”；第二学段是“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决”；第三学段是“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，井综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”这里关于发现问题、提出问题，第一学段中的表述“能在教师的指导下”，意味着还不够主动，第二学段的表述改为“尝试”，就多少有了一点主动性，第三学段发展为“初步学会”，体现出逐渐深化的过程。第一、第二学段的表述为局部的“从日常生活中”，第三学段的表述为一般的“在具体的情境中”，也体现出逐渐深化的过程。关于初步地解决问题，

第一学段中的表述为“尝试解决”，第二学段中的表述为“运用一些知识加以解决”，第三学段发展为“综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题”，也体现出逐渐深化的过程。 （4）情感态度方面。下面仅以引起好奇心和求知欲两方面为例进行分析。第一学段表述为“对身边与数学有关的事物有好奇心，能参与数学活动。”第二学段为“愿意了解社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学学习活动。”第三学段为“积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。”这里的中心短语，从“有好奇心，能参与”到“愿意了解”“主动参与”，再到“积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲”；范围也从“身边与数学有关的事物”到“社会生活中与数学相关的信息”，都体现出逐渐深化的过程。 从以上可以看到，《课程标准》在关于三个学段的学段目标中，对于具体目标的每一方面的表述，都照顾到各个学段学生的年龄心理特点，体现了层层深入、步步提高的意图，也反映了课程内容螺旋式上升的思路。这是符合学生的认识规律的。 专题四 标准中的核心概念（一）

在前期课程改革实验总结研究的基础上，课程标准修订组通过广泛听取各方意见和建议，对《课程标准实验稿》中提出的6个核心概念“数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力”做了调整。共提出了10个核心概念。这就是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。 为什么提出核心概念？主要是由于在研制课程标准的过程中，感觉在数学教学中，应该凸显一些在整个数学教学中最重要的东西，那么用什么样的方式，把这些最重要的东西凸显出来？经过认真思考、讨论，一致认为应该用一些核心词或者叫做核心概念来体现，最后确定为核心概念。核心概念的确定，对于教师教学和学生的学习都具有极为重要的意义。一是这些核心概念的内涵在性质上都是体现学习主体——学生的特征，所涉及的都是学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。 二是《课程标准》将这些核心概念放在课程内容设计栏目下提出，是想表明这些概念不是设计者超乎于数学课程内容之上外加的，而是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者是与课程内容紧密结合的。三是核心概念从本质上体现的教是数学的基本思想，即指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。四是这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。

《课程标准》对每一个核心概念都作出了较为明确的阐述，这有助于教师更好地把握课程目标、深刻理解课程内容，同时对于数学课程内容的选择和教学方法的改革也有重要的指导意义。下面就对这些核心概念逐一解释。 1.应用意识

《课程标准》在课程目标中指出：要使学生“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。因此，增强应用意识作为数学课程的重要目标应该引起一线教师的重视，并应通过有效的措施在课堂教学中予以落实。

⑴掌握《课程标准》中数学应用意识的含义。数学应用意识是一种用数学的眼光、从数学的角度观察、分析周围生活中问题的积极的心理倾向和思维反应。它的含义主要体现在两个方面：一是有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。也就是让学生能够有意识地、积极主动地应用数学知识去分析、解决现实世界中的现象和问题，这对学生实践能力和创新精神的培养具有重要意义。二是有意识地运用数学知识去解决现实生活中的问题。如学生学习了“两点之间线段最短”这一数学知识后，善于思考的同学就会发现，我能解决“在两个汽车站之间，怎样设加油站的位置，使得到两个汽车站的距离最小？”的实际问题。

⑵明确培养学生应用意识的意义。一是现代数学发展的一个典型特征就是数学应用的空前发展，目前许多抽象的数学理论得到了应用，数学向其他学科渗透又形成了许多新的数学交叉学科，即便是一些过去与数学无缘的人文学科也与数学产生了联系，各门科学都向着“数学化”发展。同时，数学在渗透到各门学科领域时，也逐渐渗透到了人们生活的各个角落：面积、体积、对称、百分数、平均数、比例、角度、概率等成为社会生活中很常见的名词；人口增长率、生产统计图、股票趋势图等不断出现在报刊、电视等大众信息传播媒介中；而像储蓄、债券、保险、面积和体积计算、购物决策等更是成为人们在生活中不可回避的现实问题。现代社会比以往任何时候都更需要公民运用数学知识去面对生活和工作中的问题。因此，数学应用是学生认识数学、体验数学、形成正确数学观的过程，是使学生通过这一过程学会数学地思考，掌握数学思想方法，感悟数学的精神并形成正确的数学态度。二是认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决，让学生从认识上建立对数学应用的正确理解。如某商场搞打折销售活动，有两种活动方案，一种是满200元省50元；另一种是直接打8拆，如果你想买一种商品，请你制订你的购买方案。对于这一打折销售问题，学生能意识到可以抽象为数学中的函数问题，然后用函数的相关知识予以解决。

⑶如何培养学生的应用意识。一是在教学中教师要注重知识的来龙去脉，即提供数学知识产生的背景，呈现数学知识的形成过程，也就是指教师在教学中，应该关注“知识背景知识形成揭示联系”的过程和“问题情境一建立模型一求解验证”的过程，从而提高学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。如“多项式与多项式相乘”的教学，可设置如下情境：学校操场的长、宽分别为m米、a米，由于教学需要，长、宽分别增加n米、b米，你能用两种方法表示扩大后的操场面积吗？学生画图后可得（m+n）（a+b）和ma+mb+na+nb两种表示形式。教师再引导学生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+ na+nb。如此，在提高学生学习数学的兴趣的同时，也会让学生感觉到多项式乘法的应用价值。二是在整个数学教育的过程中培养学生的应用意识，即在课程目标定位、课程内容设置、教学设计、课堂教学、课后作业、学习评价等数学教育诸环节都应关注应用意识的培养；贯穿于数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容的数学课程中。三是发挥综合实践活动是培养应用意识栽体的作用，因为综合实践活动兼顾“综合性”与“实践性”：一方面，注重学生自主参与、全过程参与（经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程），让学生积极动脑（独立思考）、动手（自主设计解决问题的思路）、动口（合作交流）；另一方面，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。此外，综合实践活动还可以以“长作业”的形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，让学生经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。更重要的是，综合实践活动不仅关注结果，更关注学生积累活动经验、展现思考历程、交流收获体会、激发创造潜能的过程。这样，在多种活动形式、多种过程体验及多种评价方式的交融浸润中，更利于激发、促进、培养学生的应用意识。 2.创新意识

创新是21世纪出现频率最高的词汇，它已经普及几乎每一个领域，当然它也是教育领域最重要的词汇，它是这次课程改革的标志性词汇的代表。 （1）《课程标准》中的创新意识。在《课程标准》中，创新意识是此次修改新增加的一个核心概念。标准指出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。

（2）如何培养学生的创新意识。培养学生的创新意识要做到以下几点。一是鼓励学生

“质疑——发现问题和提出问题”。我国著名数学家丁石孙曾说过：没有问题的学生不能算是好学生。保护学生发现问题和提出问题的积极性，就像保护学生的好奇心一样，非常重要。鼓励学生提问应该贯穿在教学的各个环节中，无论是在课堂上，还是在日常学习中，都应该鼓励学生提出他们的问题。二是鼓励学生“在做中积累经验”。创新意识不是靠教师教出来的，是“做出来的”，是学生在各个教学环节中不断亲身经历、不断锻炼，不断积累而形成的。教师要坚持在“做”中去培养学生的问题意识、从而逐步提升学生的创新意识。三是教师要带头做。凡是要求学生做的，教师要带头做，教师在教学的各个环节中应该要求自己有问题，能够提出问题，并通过提问引导教学不断深入。

（3）培养创新意识应注意什么。在教学中培养学生创新意识应该注意以下几点：一是对学生创新意识培养应贯穿数学教学始终，即对于学生来说好奇心是天性，他们有很多很多的问题，他们对一切都感到新鲜、富于想象，保护、激发他们的好奇心是教师的职责，数学教学应该启发学生的思维，培养学生的创新意识,当然，培养学生创新意识不仅仅是数学教学的任务，而是整个数学教育的任务。二是数学教学要培养学生从“分析与解决问题”到“发现与提出问题”，这是数学课程目标的一个发展，其实质就是重视创新，重视学生创新意识的培养，这应该成为基于时代发展要求之下的数学教学的魂。同时，学习数学必须有问题，没有问题学不好数学，不仅要能解决别人的问题，更重要的是自己要有问题，培养学生的问题意识是培养学生创新意识的好办法。三是数学教学要培养学生在日常教与学中不断积累经验，即结合他们生活经验，引导他们关注一些身边的事物，需要不断地实践，不断地积累经验，如在学习角时，引导学生观察、讨论那些角是最常见的角——直角，进而讨论如何利用直角去区分其他的角？经过一段学习，又可以讨论为什么直角是最重要的角？随着年龄增长，引导学生从“感性”提出问题逐渐向“理性提出问题过渡，不断积累提出问题，提出好问题的经验。到初中，再让学生尝试着从实际生活情境和数学情境中独立地提出问题，判断问题的好坏。四是发挥“综合与实践”活动在培养学生创新意识的重要作用，即教师要充分发挥综合与实践是“以问题为载体、以学生白主参与为主的学习活动”的特点和功能，让学生在此类活动中经历观察、实验、归纳、抽象、概括、猜想等多样性的活动，经历发现问题、提出问题、进而分析、解决问题的全过程。 3.数感

一般人提起数感，总感到它是比较玄乎的。也有人质疑，像“数感”这种因人的感觉而异的、较“虚”的东西有必要作为核心概念提出来吗？一些老师也感到,数感作为课堂教学目标不好把握。这些情况说明，有必要加强教师对数感的认识。

（1）什么是数感？“数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等。例如：认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；数感是一种主动地、自觉地或自动他地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养或认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。《标准实验稿》提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。”《课程标准》的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”实质就是数与数量、数量关系、运算结果估计，这主要是基于义务教育阶段数学课程内容的范围并根据学生的实际所做出的要求，这有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。一是关于数与数量。在小学低段，儿童对数的感悟是从数数学习辨认各组实物对象的多少开始建立的，学习用数表示多少的第一步就是数数，随着学

习年级的增高，学生经历了更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数„„的感悟，并形成对数的各种表征方式的理解，这是一个逐渐展开的过程。二是关于数量关系。它是培养学生数感的另一个层次，即不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础，如学生在学习分数概念后，就建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小。随着他们数感的增强，学生年级的升高和数系的扩充，学生对数量关系的感悟也会逐步提升，最后达到对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。三是关于运算结果估计。它是数学课程中所占学时较多的内容，过去更多关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感应成为我们现在课程教学的目标。因此，《课程标准》在“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（第一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上面图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（第二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（第三学段）。所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。

（2）如何培养学生的数感。数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要教师在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。具体做法是如下。

第一，重视低学段学生对数的感觉的建立，并在数感培养上处理好阶段性和发展性的关系。培养学生的数感，第一学段数学是重点。《课程标准》在第一学段目标中，明确指出：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”教学要选择适合学生年龄特征的方式，提供实物，联系身边具体事物，观察操作、游戏等都是较好的方式，如刚入学的儿童在认识10以内数的时候，应该通过实物、图片等，将数与物对应起来。然后，结合具体教学内容，逐步提升和发展学生的数感。在第二学段应结合学生所熟悉的现实素材感受大数的意义，并能对一些问题进行估算；能了解负数的意义．用负数表示日常生活的问题，建立起对负数的数感。

第二，紧密结合现实生活情境和实例，培养学生的数感。由于现实生活情境和实例，与学生的实际生活经验密切相连，不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟环境，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程，逐步发展学生关于数的思维, 理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。如让学生通过调查、讨论，弄清楚自己的学号、地区邮政编码、汽车牌照号、身份证编号的规律和意义，进一步建立数感。

第三，让学生多经历有关数的活动过程，逐步积累数感经验。在具体的数学活动中，让学生动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之相互交流，这对强化他们感知思维，积累数感经验非常有益。如让学生调查：从你家到学校的路程大约有多远？你到学校大约要多长时间？教室面积有多大？学校食堂有多大？你家住房有多少平方米？你所在城市有多少人口？如何测量一张纸的厚度？还可组织学生针对一周出版的某种报纸，讨论中间出现了哪些与数、数量、运算有关的数学问题，分别表述这些问题中关于数的意义作用，如何用数来解决这些具体问题等。

专题五 标准中的核心概念（二）

4.符号意识

符号对于数学来说是特有的。它既是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法。数学符号的功能特性是多方面的：它具有抽象性，这使得数学能够超越于数学对象的具体属性，而从形式化的角度进行逻辑推演，并一步步把数学引向深入；它具有明确性，某一数学符号的意义一旦被赋予，它就在这确定的意义下被运用，不会含糊，不会产生歧义，从而带

来数学极大的严谨性；它具有可操作性，数学过程往往体现于数学符号之间的“运算”。针对这种“运算”的算法是形式化的，“几乎是自动化的，不需要每次都从头做起”。此外数学符号还具有简略性和通用性等特点。正因为如此，数学符号在数学发展中起着举足轻重的作用。学生在数学学习过程中，将无时无刻不与符号打交道，对数学符号的语言、工具、方法的功能和上述特性的认识事实上构成了学生数学学习的重要内容，学生掌握数学符号、运用数学符号能力的培养也成为重要的教学目标。

（1）什么是符号意识。从一般意义上说，所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代弓。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。符号意识( Sym-bol sense)是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果。如在数与代数中，数来源于对数量本质（多与少）的抽象，而数字就成为能够以大小排序的符号。数学符号不仅是一种表示方式，更是与数学概念、命题等具体内容相关的、体现数学基本思想的核心概念，发展学生的符号意识是数学教学的重要目标。 （2）《课程标准》中对符号意识的表述。此次修订，将原来的“符号感”改为了“符号意识”，这说明其意义与课程目标的价值取向和数学符号的本质意义要求更加吻合。在数学学习中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号去表征数学对象，并用符号去进行运算、推理，得到一般性的结论。《课程标准》对符号意识的表述有以下几层意思。 第一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，即能够理解符号所表示的意义与能够运用符号去表示数学对象（数、数量关系和变化规律等）。如“+、一、×、÷”分别表示特定的运算意义，“一、≈、<、>”则表示数学对象之间的某种关系。同时，对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。即运用符号表达数学对象是“用”符号的重要方面,这里的数学对象主要指数、数量关系和变化规律及它们在各个学段的要求。如用数字符号表示现实中的多少，用单一的运算符号表示数字运算关系，而关系式、表格、图象等又都是表达数量关系和变化规律的符号工具。 第二， 知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识，要求学生在各学段的学习中，要加强他们在逻辑法则下使用符号进行运算、推理的训练等，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等。

第三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学表达是学生在解决具体问题时必须采用的方式，数学表达实质上就是以数学符号作为媒介的一种语言表达,通过培养学生的符号意识，发展学生的数学表达能力已成为当今课堂关注的目标。而发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，这种思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映，是最具数学特色的思维方式。

（3）如何培养学生的符号意识。一是在各学段紧密结合概念、命题、公式的教学，培养学生的符号意识。因为概念、命题、公式是数学课程内容中的重要组成部分，它们又是数学教学的重点，又和数学符号的表达和使用密切相关。因此，《课程标准》在学段目标和各学段内容标准中都提出了具体要求。如：“理解符号<、一、>的含义，能使用符号和词语描述万以内数的大小”“认识小括号”（第一学段）；“认识中括号”“在具体情境中能用字母表示数”“结合简单的时间情境，了解等量关系，并能用字母表示”“能用方程表示简单情境中的等量关系”（第二学段）；二是结合现实情境培养学生的符号意识。这里一方面，尽可能通过实际问题或现实情境的创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，或引导学生对现实情境问题进行符号的抽象和表达；另一方面，对某一特定的符号表达式启发学生进行多样化的现实意义的填充和解读。这种建立在现实情境与符号化之间的双向过程，有利于增强学生数学表达和数学符号思维的变通性、迁移性和灵活性。三是在数学问题解决过

程中发展学生的符号意识。如引导学生经历发现问题，提出问题（实际上需要运用符号抽象和表达问题）、分析问题、解决问题（实际上是使用符号进行运算、推理和数学思考）的全过程，在这一过程中积累运用符号的活动经验，更好地感悟符号所蕴涵的数学思想本质，逐步促进学生符号意识得到提高。 5.空间观念

（1）什么是空间观念。关于空间观念的含义，也可理解为空间想象力。林崇德在1991年指出，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。曹才翰提出，空间想象力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造，创造新的形象的能力。同时他指出，空间想象力对初中生来说要求太高了，所以《课程标准》中只提出培养学生的空间观念。空间观念至少反映了如下的5个方面的要求：一是由形状简单的实物抽取出空间图形；二是由空间图形反映出实物；三是由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；四是由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；五是由文字或符号作出或画出图形。

（2）建立培养学生空间观念的意义。数学家和数学教育研究者对于建立培养学生的空间观念都有相关的描述。数学家阿蒂亚认为，几何是数学中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位。荷兰数学家、数学教育家弗莱登塔尔指出，几何是对空间的把握——这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。在这个空间里，儿童必须学会去了解、探索、征服，从而能更好地在其中生活、呼吸和运动。全美数学教师理事会在《美国学校数学课程与评价标准》提到，几何有助于我们用一种有序的方式表示和描述我们生活的现实世界，将帮助学生描述和弄清世界的意义。对于学生来说，发展牢固的空间关系的观念，掌握几何的概念和语言，可以较好地为学习数和度量概念做准备，还可以促进其他数学课程的进一步学习。

（3）《课程标准》中关于空间观念所包含的内容。《课程标准》是从如下几方面进行刻画描述的：空间观念主要是指根据物体特征抽象几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。这几方面的描述，是在义务教育阶段对学生在在图形与几何内容的学习所要达成的目标。这样的目标达成的过程是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析的过程，它贯穿在图形与几何学习的全过程中，无论是图形的认识，图形的运动，图形与位置等都承载着建立，培养学生空间观念的任务。

（4）如何培养学生的空间观念。空间观念的培养是一个长期的经验积累的过程，全美数学教师理事会在1989年指出，发展学生的空间观念，儿童必须具有许多经验。如几何关系的要点，在空间中物体的方向、方位和透视观点；相关的形状和图形与实物的大小，以及如何通过改变大小来改变形状。这些经验要依靠儿童以下几个方面的能力，如会运用像“上面”“下面”和“后面”等一些词语，面出一个图形旋转90。或180。以后的图形，作图、折叠，让儿童想象、绘制和比较放在不同位置上的图形，等等，这些活动将有助于培养他们的空间观念。事实上，在图形与几何课程的学习中，有很多的素材和机会培养学生的空间观念的，主要有以下几方面。

第一，现实问题情境和学生经验是发展空间观念的基础。这在《课程标准》第一、第二学段的“图形与运动”“图形与位置”中的大部分内容的学习，都是培养学生空间观念的很好素材，都从不同方向观察物体、运用基本图形拼图及基本几何体的展开图等，也都是旨在建立培养学生空间观念的课程内容。教师要在教学中结合学生们熟悉的现实问题情境建立

培养学生的空间观念。

第二，利用多种途径建立培养学生的空间观念。生活经验的回忆与再现、实物观察与描述、拼摆与画图、折纸与展开、分析与推理等，都是建立培养学生空间观念的有效途径。教学中教师应结合教学内容恰当地安排学习的活动，创造条件使学生有机会从事上述的活动来建立培养空间观念。

第三，在学生的思考、想象过程中建立培养空间观念。因为学生空间观念的培养不是一蹴而就的，它需要不断的经验的积累和丰富的想象力，因此，教学中教师要为学生提供足够的时间和空间去观察和想象、操作和分析。 6.几何观念

（1）什么是几何直观。顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考和想象。这次课程改革中，强调几何变换不仅是内容上的变化，也是设计几何课程指导思想上变化，这将是几何课程发展的方向。让图形“动起来”，在“运动或变换”中来研究、揭示、学习图形的性质，这样，一方面，加深了对图形性质的本质认识；另一方面，对几何直观能力也是一种提升。由此可以看到，在义务教育阶段对几何直观的学习和研究，能把复杂的数学问题变得简明、形象，能帮助学生直观地理解数学，从而培养学生的几何直观。

（2）几何直观的作用。正如前面所指出的，图形有助于发现、描述问题，有助于探索、发现解决问题的思路，也有助于我们理解和记忆得到的结果，学会用图形思考、想象问题能使我们更好地感知数学、领悟数学。因此，在义务教育阶段教学和指导学生学习时，认识和理解几何直观，能帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中教师不仅在几何内容教学中要重视几何直观，在整个数学教学中都应该重视几何直观，培养几何直观能力应该贯穿义务教育数学课程的始终。

（3）如何培养学生的几何直观。一是在教学中让学生逐步养成画图习惯，即通过多种途径和方式让学生体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的益处。二是重视变换——让图形动起来，因为几何变换或图形的运动是几何、也是整个数学中很重要的内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法，因此，在教学时教师要充分地利用运动去认识、理解几何图形性质，培养学生的几何直观。三是学会从“数”与“形”两个角度相结合认识数学，因为数形结合是对知识、技能的贯通,能有效进行数与形的化归与转化。四是掌握、运用一些基本图形解决实际问题，在教学中教师只有强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，才能有效培养学生的几何直观。 专题六 标准中的核心概念（三） 7.数据分析观念

（1）什么是数据分析观念。在《课程标准》中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。” 这段表述点明了两层意思，一是点明了统计的核心是数据分析。“数据是信息的载体，这个载体包括数，也包括言语、信号、图象，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。”二是点明了数据分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵着信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。

（2）数据分析观念的要求。课程标准对数据分析观念的要求主要表现在三方面。

第一，体会在数据中蕴涵着的信息。在以信息和技术为基础的现代社会里，充满着大量的数据，需要人们面对它们做出合理的决策。因此，数据分析观念的首要方面是“了解在现实生活中有许多问题应当先做出调查研究，收集数据，通过分析判断，体会数据中蕴涵着信息。”如《课程标准》中的一个例子。

新年联欢会准备买水果，调查班级同学最喜欢吃的水果，设计购买方案。

[说明]借助学生身边的例子，体会数据调查、数据分析对于决策的作用。此例可以举一反三。教学中可作如下设计：一是全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他的原则。二是鼓励学生讨论收集数据的方法,如可以采用一个同学提案、赞同举手的方法,可以采取填写调查表的方法,还可以采用全部提案后，同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法；等等。三是收集并表示数据，参照事先的约定决定购买水果的方案。总之，要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理，购买方案没有对错之分，但要符合最初制定的原则。

在这个例子中不难看出，首先需要设计合适的例子，鼓励学生收集数据、整理数据、分析数据，从而作出决策和推断。并在此基础上，体会数据中蕴涵着信息，体会数据分析的价值。

第二，根据问题的背景选择合适的方法。《课程标准》对数据分析观念方法的选择指出：要“了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。”如《课程标准》中例38的说明中指出：“条形统计图有利于直观了解不同高度的学生数及其差异；扇形统计图有利于直观了解不同高度的学生占全班学生的比例及其差异；折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况，预测未来身高变化趋势。”因此，需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。

第三，通过数据分析体验随机性。数据的随机主要有两层含义：一方面，对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律。如《课程标准》中例40：袋中装有4命红球和1个白球，一方面，每次摸出的球的颜色可能是不一样的，事先无法确定；另一方面，有放回重复摸多次（摸完后将球放回袋中，摇晃均匀后再摸），从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律，比如，红球多还是白球多、红球和白球的比例等。

8.运算能力

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力去学习和掌握关于各种运算的知识及技能。《课程标准》在学段目标的“知识技能”部分，对各学段运算分别提出了明确的要求：第一学段：经历从日常生活中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数；理解常见的星；体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算；在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。第二学段：体验从具体情境中抽象m数的过程，认识万以上的数；理解分数、小数、百分数的意义，了解负数的意义；掌握必要的运算技能；理解估算的意义；能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。第三学段（略）。总之，运算不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，是不可或缺的内容。在《课程标准》所提出的课程目标中的很多方面，如获得“四基”（基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力等，都与运算的学习有关，运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用。

（1）什么是运算能力。根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知量,通过计算得出确定结果的过程，称为运算。能够按照一定的程序与步骤进行运算，称为运算技能。不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确

的运算途径，称为运算能力。《课程标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律，正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

（2）运算能力的特征。运算的正确、灵活、合理和简洁是运算能力的主要特征。首先要保证运算的正确，为此，必须要正确理解相关的概念、法则、公式和定理等数学知识，明确意识到实施运算的依据。然后，在适度训练、逐步熟悉的基础上，清楚地意识到实施运算中的算理。不断总结正反两方面的经验和教训，逐渐减少在实施运算中，思考概念、法则、公式等的时间和精力，提高运算的熟练程度，以求运算顺畅，力求避免失误。一题多解和多题一解出现在运算过程中是十分普遍的，即一般性与特殊性往往同时出现在实施运算的过程中，一题多解体现了运算的灵活性，多题一解则体现了运算的普适性。一题多解和多题一解的交替出现，相互比较，循环往复，不断优化，促使学生越来越感悟到：实施运算，解决问题，不仅要正确，而且要灵活、合理和简洁。

（3）要充分重视估算。《课程标准》在每个学段的学段目标和内容标准中，都强调了估算，提出了具体的要求。第一学段：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计（例3）；能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（例6）。第二学段：理解估算的意义。结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计（例23）；在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（例26，例27）；会用方格纸估计不规则图形的面枳（例33）。第三学段（略）。需要指出的是，运算能力的形成不是一蹴而就的，运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的。因此，在实际教学过程中，既不能让学生的运算能力在已有的水平上停滞不前，也不能超越知识的内容和其他能力水平孤立地发展运算能力。应该贯穿于师生共同参与数学教学活动的全过程中，并体现发展的适度性、层次性和阶段性。

（4）运算能力的培养与发展。运算能力的培养与发展是一个长期的过程，应伴随着数学知识的积累而深化。正确理解相关的数学概念，是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提。运算能力的培养与发展包括运算技能的逐步提高，运算思维素质的提升和发展。在义务教育阶段，运算能力的培养、发展要经历如下几个过程。

第一，由具体到抽象。其中第一学段理解万以内的数，初步认识仆数和分数，初步学习整数的四则运算，以及简单的分数和小数的加减运算。第二学段认识万以上的数，进一步学习整数的四则运算（包括混合运算），小数和分数的四则运算（包括混合运算），了解并初步应用运算律。第三学段（略）。

第二，由法则到算理。学习和掌握数与式的运算，解方程的运算，让学生在反复操练、相互交换的过程中，不仅会逐步形成运算技能，还会引发对“怎样算？”“怎样算的好？”“为什么要这样算？”等一系列问题的思考。这是由法则到算理的思考，使运算从操作的层面提升到思维的层面，这是运算能力发展的重要内容。《课程标准》规定了一系列与算理相关的内容。如在第二学段指出：探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。

第三，由单向思维到逆向、多向思维。逆向思维是数学学习的一个特点。在第二学段，《课程标准》规定“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。”在第三学段，又增加了乘方与开方的互逆关系。到高中阶段，更有指数与对数、微分与积分等互逆关系。运算的互逆关系，是逆向思维的重要表现形式之一。 运算也是一种推理，在实施运算分析和解决问题的过程中，“由因导果”和“执果索因”的推理模式也是经常要用到的，表现为有效探索运算的条件与结论，已知与未知的相互联系

及相互转化，思维方向是互逆的，更是相辅相成的。在实施运算的过程中，还会遇到多因素的情况，各个因素相互联系，相互制约，又相辅相成，更加需要不同的思维方向、不同的解题思路和不同的解题方法，通过比较，加以择优选用。同时，由于思维定势的消极作用，逆向思维和多向思维的难度较大，在实施运算的过程中，教师对分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序等各个环节都要引导学生进行周密的思考，力求使运算符合算理，达到正确熟练、灵活多样、合理简洁，实现运算思维的优化及运算能力的逐步提高。 9.推理能力

推理在数学中具有重要的地位。《课程标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学习数学就是要学习推理。具有一步的推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是数学课程和课堂教学的重要目标。

（1）什么是数学推理。数学推理直接与命题有关。在数学中，我们随时会对思维对象作出一种断定，即对客观事物的情况有所肯定或否定的思维形式叫做判断。在数学中把表示判断的语句称为命题。而数学推理则是以一个或几个数学命题推出另一个未知命题的思维形式。如果从数学内部看，数学推理反映的是一种基本的数学思想，也是一种主要的数学方法。它与数学证明紧密关联，数学推理与证明共同构成了数学的最重要的基础。 （2）《课程标准》中的推理能力。《课程标准》中的推理能力主要指以下几点：一是合情推理与演绎推理。合情推理是数学家乔治•波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。其中归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理；类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它所在另一属性也相同或相似的一种推理。而演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）确定的规则出发，得到某个具体结论的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的结论一定真）。它的思维进程是从一般到特殊。它的基本形式是三段论。二是合情推理与演绎推理功能不同，但它们是相辅相成的。波利亚很早就注意刭“数学有两个侧面„„用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。正如《课程标准》指出的：“两种推理功能不同，相辅相成。” （3）如何培养学生的推理能力。在教学中教师应该从以下几个方面培养学生的推理能力。一是在整个数学的学习过程中应注重学生推理能力的发展，即贯穿于整个数学课程的各个学习内容，它包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域内容；它应贯穿于数学课堂教学的各种活动过程；贯穿于整个数学学习的环节（如预习、复习、课堂教学、白我练习、测验考试„„）合理安排、循序渐进、协调发展。二是通过多样化的活动，培养学生的推理能力，即在观察、操作等活动中，能提出一些简单猜想”（第一学段），“在观察、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（第二学段），“在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（第三学段）。三是让学生多经历“猜想一证明”的问题探索过程，即让学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验。

10.模型思想

模型思想是此次修订《标准》新增的核心概念。尽管《课程标准实验稿》在课程实施部分的“教学建议”中曾提到了“建立模型”一词，但数学模型、建模等概念并未出现在义务教育阶段课程目标及课程内容的文字表述之中。这次随着“模型思想”的列入，我们会看到关于教学模型的相关提法在《课程标准》的多个部分出现。特别是模型思想作为一种基本的数学思想更会与目标、内容紧密关联。作为一线教师应对《课程标准》中模型思想的含义及要求准确理解，并把这要求落实于课堂教学之中。

（1）什么是数学建模。所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。即用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。它的结构有两个主要特点：一是经过抽象、舍去对象的一些非本质属性以后所形成的一种纯数学关系结构；二是这种结构借助数学符号来表示，并能进行数学推演的结构。 （2）《课程标准》中模型思想的含义及要求。一是模型思想是一种数学的基本思想，如在《课程标准》将数学基本思想作为“四基”之一提出，必然引出这样的问题：数学基本思想主要指哪些思想呢？现在模型思想作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，实际上已经明示它是数学基本思想之一。史宁中教授在《数学思想概论》中提出这样的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型„„通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。”从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。二是明确建立和求解模型的过程要求。《课程标准》以义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”，然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”，最后通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，使学生更有思想、方法，也有一些经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）也会得到培养。三是模型思想还体现在《课程标准》其它方面。如《课程标准》中有如下提法：“经历数与代数的抽象、运算与建模过程。”（数与代数总目标）；“结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程”（“综合与实践”内容标准）等，除此之外，在教学实施、评价、案例等部分都有关于模型思想的具体要求，教师在课程实施中要注意这一特点。

（3）如何培养学生的模型思想。培养学生的模型思想主要从以下几方面着手。 第一，在教学中教师要逐步渗透和引导学生不断感悟。即教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求，逐步渗透模型思想。比如在第一学段，可以引导学生经历从现实情境中抽象出数、从简单几何体到平面图形的过程和从简单数据收集、整理的过程，使学生学会用适当的符号来表示这些现实情境中的简单现象，并提出一些力所能及的数学问题。在第二学段，通过一些具体问题，引导学生通过观察、分析抽象出更为一般的模式表达，如用字母表示有关的运算律和运算性质，总结出路程、速度、时间，单价、数量、总价的关系式。总之，模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴涵于概念、命题、公式、法则的教学之中，并与数感、符号感、空间观念等的培养紧密结合。

第二，在教学过程中强化体验。教学中教师要让学生经历“问题情境一建立模型一求解验证”的数学活动过程，它体现了《课程标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。

第三，通过数学建模改善学生学习方式，如下面的学习方式都可以在数学建模中尝试：小课题学习方式（让学生自主确定数学建模课题，设定课题研究计划，完成后提交课题研究报告。小课题研究要针对不同的年龄段应该有不同的层次和不同的水平，但不管何种层次和水平，关键要引导学生根据自己的生活经验和对现实情境的观察，提出研究课题），协作式学习方式（以小组为单位在组内进行合理分工，协同作战，培养学生的合作交流能力）等。

专题学习

数学课程的实施策略(重点教学与评价)

课堂教学是落实小学数学课程标准、达成小学数学课程目标的主要途径和基本环节。课堂教学应根据具体的教学内容，注重课程目标的整体实现，重视学生在学习活动中的主体地位，注重学生对基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的理解和把握，强化学生数学思考与问题解决能力的培养，关注学生情感态度的发展，妥善处理教学中的几个关系，从而促使学生主动地富有个性地学习,不断提高他们发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力，有效提高课堂教学效率。

专题一 教学中如何把握“四基”

课程标准在课程目标中明确提出，学生要通过义务教育阶段的数学学习,能够获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。所以，教师在教学中要从以前的突出基础知识、基本技能的教学，拓展为突出基础知识、基本技能、基本数学思想和基本活动经验的教学。

（1）发扬“双基”的优良传统。“双基”是“基础知识、基本技能”的简称。要求学生做到“基础知识扎实，基本技能熟练”，是我国数学教学的优良传统，也是我国数学教学的重要特色。“双基”数学教学在历史上作出了很大贡献，它使我国学生的平均数学基础较好，并且在多次国际中学生数学测试和数学竞赛中位居前列。课程标准继续保留了“双基”，并且把“双基”列为“四基”的前两条，进而也强调了“双基”。不过当今的“双基”教学应该与时俱进，一是基础知识及基本技能的内容应该与时俱进，即对于过去数学“双基”的某些内容，如繁杂的计算、细枝末节的技巧等，需要有所删减，而对于估算、算法、数感、符号意识、收集和处理数据、概率初步、统计初步、数学建模初步等，又要有所增加。二是数学基础知识及基本技能的教学方法也应与时俱进，即教师根据教学内容采用的“启发式”讲授和适当采用“精讲多练”、“自主探究”、“全班讨论”或“小组合作交流”是“双基”数学教学的主要方法，在习题训练方面，教师选编数学开放题进行教学，或者加强数学应用题的解题训练，由此开展数学“双基”教学，是可以提倡的。但教师无论采用哪种教学方法，都应该努力营造教师与学生互动、学生与学生互动的生动活泼的课堂氛围，注重培养学生独立思考、反思质疑的习惯。

（2）基础知识重在“理解和掌握”。课程标准指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。”这就是说，数学基础知识的教学应该注重让学生“理解和掌握”。理解是描述对象的特征和由来，阐述这个对象与相关对象之间的区别和联系。如三角形有什么样的特征，三角形有三个角、三个边及相互关系，具有稳定性；同时，三角形在现实生活中又是怎样和现实的一些具体的问题联系起来的。掌握是在理解的基础上，把这个对象用新的情境表示，即学会用理解的知识解决一个新的问题。要使学生对基础知识能“理解和掌握”，教师在教学中要努力做到以下几点。一是对于数学的概念、定理和公式，要让学生了解这些数学知识的背景及来龙去脉，并且理清所学数学知识与相关知识之间的区别和联系，使学生在需要的时候才能够运用这些概念、定理、公式解决数学中的问题，解决其他学科中的问题，解决实践中的问题。二是在注重数学“双基”教学时，不仅要关注学生获取“知识与技能”的结果，还要关注“知识与技能”的形成过程。特别是不能为了快速获得结果，大大缩短知识的形成过程。三是对于学生基础知识的掌握，要采用在理解的基础上模仿和记忆的学习方式，而不是机械地模仿，更不是死记硬背。特别是要在知识的应用中不断巩固和深化，从而真正掌握这些基础知识。

（3）基本技能在“理解和掌握”中形成。课程标准指出：“在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。”这就是说，数学基本技能的教学也应该注重让学生“理解和掌握”。因此，教师在培养学生基本技能时要注意以下几点。一是对于数学操作程序和步骤的教学，教师不仅要让学生记住这些程序和步骤，懂得对于什么样的问题才可以采用这些程序和步骤，还要让学生明白其中的道理：为什么对于这样的问题可以实施这些程序和步骤，每一步骤的理由是什么，哪些数学知识作为这些理由的支撑，其逻辑依据是怎样的；特别是对于计算的基本技能，不仅要让学生明白如何进行计算，还要让学生明白相应的算理，如20以内数的进位加法和退位减法，凑十法是一种基本的方法，但也不只是让学生记住凑十的方法，重点是应让学生理解算理，即个位上满十就进一，十位上的一是表示十的道理，如三加九，学生把九分成一个七和二，然后三和七凑成十就得十二，凑十法是一个最基本的方法，不排除学生用其他的方法，只要他懂得算理就可以进行计算；同样对于学生绘图的技能，不仅要让学生明白绘图的步骤，还要让学生明白实施这些步骤的理由。二是对于学生数学的基本技能要有一定量的训练和重复，但是，这种训练不是僵化的训练，不是呆板的重复。尤其应该注意的是，要掌握适当的“度”，不同的基本技能要采用不同程度的训练，要讲究训练的实际效率，要让学生在理解的基础上去训练，注意步骤间的逻辑关系，从而培养学生严密的逻辑思维。对于专门为了应付考试的训练，是不应提倡的。

（4）以知识和技能为载体，感悟数学基本思想。课程标准指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。”其中,最基本的数学思想是抽象的思想、推理的思想和模型的思想。在小学阶段，抽象思维是主要的，纯粹的演绎推理并不多，小学生是以形象思维为主的，在教学中有些知识开始就很抽象，而后结合具体的内容训练学生，如对数的认识，开始认识数就是抽象的思想，简单的一个数字5，它本身就蕴涵了一种抽象，从5个物体或5个图，再到数字5，就使学生逐步建立起抽象的思想。再如“分类思想”也是贯穿小学整个教学阶段，低年级是对实物的分类（如上面对扣子的分类），到高年级是对数学一些对象的分类（角的分类、三角形的分类、四边形的分类），还有在学习数的整除时，把数分成可以被二整除的，可以分成质数、合数，这样的一些过程，也都是一些分类的过程，都蕴涵着数学的分类思想。通过这些具体的教学过程，使学生感悟到数学思想，基本把握数学思想。所以，数学基本思想是数学教学的精髓，而数学“双基”是其载体。各类数学活动是数学教学的形式，重要的数学基本思想应该在数学教学过程中实现，只有让学生体验一些数学知识的获取和经历问题解决的过程，让学生“读——理解”、“疑——提问”、“做——解决问题”、“说——表达交流”，并在其中获得对基本数学思想方法的感悟，才能使学生获得对基本数学思想方法的认识和感悟，体会到数学思想的作用，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移。所以，强调数学“双基”教学的重要性，也要强调以知识和技能为载体，引导学生感悟其中数学基本思想的重要性。

（5）在学习和掌握知识与技能的过程中注重数学基本活动经验的积累。课程标准特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”学生只有在教师的引导下，参与数学的观察、训练、猜测、验证、推理与交流、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理，还有反思与建构等活动方式，才能逐步达到对数学知识的意会、感悟，才能积累解决问题和分析问题的基本经验，感悟数学的理性精神，形成创新能力。教师在课堂教学中，一方面根据学段的不同、教学内容的不同，要认真分析学生已有的数学活动经验与新知识之间的结合点，设计适合学生实际的有效的数学活动，让学生通过自己的实践、猜测、验证，积累发现问题、研究问题和解决问题的经验。另一方面发挥综合与实践活动是学

生积累数学活动经验重要载体的作用。综合与实践活动要求学生能利用所学的数学知识完整地解决一个数学问题。这种活动可以是一项统计调查，也可以是设计一种春游方案，还可以是论证与探究数学知识的结论，这样的活动往往需要学生分小组合作进行，学生需要思考和讨论的问题也较为复杂。学生通过参加这些活动，才能更好地帮助他们积累数学的基本活动经验。

一是把积累活动经验作为数学教学的目标，数学课程标准有很多这样的表述，如让学生在经历什么样的过程中理解数学概念，这个经历过程的目的就是让学生积累活动经验，所以把活动经验作为一个数学教学目标设计在教学过程中，通过给学生机会进行观察、试验、猜测、验证、推理等活动，即让学生剪一剪、拼一拼、做一做、猜一猜等活动，让学生在做的过程中积累活动经验，不仅使学生理解了数学知识，也积累了数学活动经验。 二是为学生设计一些有效的数学学习活动，如探索三角形三条边之间的关系，学生通过探索就体验到，三角形的任意两条边之和大于第三边，再去探索一个三角形是这样，另一个三角形是不是这样，直角三角形呢，钝角三角形呢，在不断探索的活动过程中，他们会积累到任意三角形的任意两条边之和都大于第三边的结论。总之，设计一些有效的数学学习活动，让学生在分析问题、解决问题的过程中积累活动经验。

三是积极参与综合与实践活动。前面已经介绍综合与实践活动是学生利用所学的数学知识，完整地解决数学问题的活动，它往往需要学生分小组合作进行，需要学生进行思考和讨论，在不断地经验分享的过程中，也是学生积累基本活动经验的过程。如一个春游方案的设计，不是简单的一个设计问题，学生要经历提出问题，发现问题，共同交流，讨论哪个方案好，哪个方案不好，然后去完善这个方案或推翻这个方案。在这个活动设计过程中，学生就积累了怎么提出问题，怎么运用数学解决问题的活动经验。

专题二 教学中培养学生的数学思考与问题解决能力

1．关于数学思考与问题解决能力

关于数学思考,课标分4点表述：

● 建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。

●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。

●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。

●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

数学思考是指运用“数学方式的理性思维”进行的思考，它培养学生“从数学角度去思考”的素养，会使学生终生受益，而无论他们将来从事什么职业。前三点从数与代数、图形与几何、统计与概率、综合实践活动四个领域来阐述（其中第一点涉及两个领域），后一点则是概括的阐述，指出了“数学思考”这一方面课程目标希望达到的三个目的：让学生学会独立思考，体会数学思想，体会数学思维。让学生学会思考，特别是学会独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心，而学会思考的重要方面是学会数学抽象，学会数学推理，学会数学思维，这些，又正是重要的数学思想。

前三点是联系四个领域对这三个目标的具体说明。第一点中“建立数感、符号意识”，“初步形成运算能力”是针对数与代数领域的；“建立空间观念”，“初步形成几何直观” 是针对图形与几何领域的；而“发展形象思维与抽象思维”则是同时针对这两个领域的。第二点从统计与概率的领域来阐述，应注意其中“体会意义”、“发展观念”、“感受现象”的表述，它们是用来表达“数学思考”的。第三点从综合实践活动的领域来阐述，应注意“发展合情

推理和演绎推理能力”的短语，它们也是用来表达“数学思考”的。

关于问题解决也是分4点表述：

● 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。

●学会与他人合作交流。

●初步形成评价与反思的意识。

“问题解决”这一短语与“解决问题”不完全相同，它不但是一种教学方式，是展开课程内容的一种有效形式，也是学生应该掌握的学习形式和应该具备的能力，也是课程目标。它包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题四个方面。“从数学的角度”很重要，它要求一种数学的眼光，因此，课程应该创设各种情境，让学生去观察、思考，使他们面对各种现象时都有机会“从数学的角度发现问题和提出问题”。 这里提及的“问题”，并不是数学习题那类专门为复习和训练设计的问题，也不是仅仅依靠记忆题型和套用程式去解决的问题，而是展开数学课程的“问题”和应用数学去解决的“问题”，这些问题应该是新颖的，有较高的思维含量，并有一定的普遍性、典型性和规律性。“问题”又往往会与生活、生产实际相联系，所以这里还强调了“实践”和“应用”，表述为“增强应用意识，提高实践能力”。“应用意识”可以有三个方面的含义，一方面是在接受数学知识时，主观上有探索这些知识的实用价值的意识；另一方面是在遇到实际问题时，自然地产生利用数学观点、数学理论解释现实现象和解决实际问题的意识；第三方面是认识到现实生产、生活和其他学科中蕴含着许多与数量和图形有关的事物，这些事物可以抽象成数学内容，用数学的方法给出普遍的结论。

课标对解决问题的策略、方法和途径强调了“多样性”。并且希望学生由此发展创新意识。学生独立思考，自己发现和提出问题，是对创新意识的一种培养。因此，课程应该鼓励学生思考和交流，形成自己对问题的理解。当课堂探究时如果对于同一问题出现不同的解决方法，教师不应轻易地否定某一种方法，而应该因势利导，让学生在讨论和对比中自己去认识不同方法的优劣，同时也体验了“解决问题方法的多样性”。但是，在没有出现多种解决问题的策略、方法时，课堂上也不必强求。 “课标”里说到的“学会与他人合作交流”，则是说的“情感态度”方面的目标。 在“问题解决”的过程中教师应该注意引导学生学会交流，学会合作，既包括学会倾听，也包括学会表达，还包括共同分析问题、解决问题。一方面要听懂别人的思路，补充或者修正别人的思路；一方面要准确、简明地表述自己的思路，以及从别人对自己思路的评论中吸取正确的成分，改善自己的思路。在“问题解决”的过程中，教师应该引导学生独立思考、主动探索、合作交流，这是使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验和实践能力的主要途径。

“课标”还希望在“问题解决”的过程当中或者结尾，有“评价与反思”的环节。去关注问题解决的过程，回顾问题解决的过程，总结问题解决的过程，而不是仅仅关注问题解决的结果。

可以锻炼学生挖掘和抓住事物本质的能力，以及培养学生解决问题中“优化”的思想。同时，教师在这一环节中也应明确表态，以使学生知道孰优孰劣，有所遵循。义务教育阶段，只要求学生“初步形成评价与反思的意识”，即了解评价与反思的含义，经历这样的活动，认识其作用和好处。

2．如何在教学中培养学生的数学思考与问题解决能力 第一、体会与数学相关的各种联系。

学生要体会三个方面的联系：数学知识之间的联系；数学与其他学科之间的联系；数学与生活之间的联系。一堂课可能重点学习一个数学知识，但是数学是一个整体，任何数学知识都不是孤立的；一段时间以后，教师应该引导学生把这些知识点联接成线，再把这些线进一步联接成网，在自己的头脑中形成网状的知识体系。这样的教学活动多次进行，不仅有利于学生全面认识和准确理解相关的数学知识，而且有利于学生养成良好的习惯，增强能力，逐渐也善于把学到的数学知识建构成网状的知识体系，从而提高学生对于数学的整体认识和宏观把握，提高学生的数学素养。此外，数学学科与其他学科是广泛联系着的。许多数学知识来源于其它学科，所有数学知识都将应用于其它学科。所以学生不应该孤立地学习数学，而应该注意数学与其他学科之间的联系。教师也不应该封闭地讲授数学，而应该经常提及其他学科中的数学背景和应用。这一轮课程改革，加强了课程内容的综合性，淡化了学科界限，教材的编写者和教师都应该注意到这一特点。至于“数学与生活之间的联系”，其实也可以表述为“数学与实践之间的联系”；由于本“课标”是针对义务教育阶段的课程，所以表述为“数学与生活之间的联系”可能更加贴近这一年龄段的学生。数学来源于实践，又应用于实践，与实践的关系非常密切。千万不要让学生误以为数学是数学家用符号编造出来的“天书”，误以为学数学仅仅是为了解题和应付考试。 为了让学生充分体会这三个方面的联系，数学课程的教学中应该列举大量的相关实例，使学生反复加强印象。第一学段的数学教学，可以更多地创设学生生活中的情境，加强课程内容与现实生活和学生经验的联系。“综合与实践”类型的数学课程中，教师更应该有意识地强调上述这三个方面的联系。

第二、运用数学的思维方式进行思考。

在学生学会知识的过程中也要学会思考，学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终生受益。这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也可以称为“数学方式的理性思维”。数学课程在培养学生逻辑推理和理性思维方面的作用，是其他课程难以替代的。教数学一定要教思维，但是不能空洞地、形式地教思维，而要以数学知识为载体教思维。学数学也一定要学思维，学生学会了“数学方式的理性思维”，将受用无穷。这也是“授人以渔”比“授人以鱼”更加高明的原因。

第三、增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

所谓“发现问题”，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量或者空间方面的某些联系，或者找到数量或者空间方面的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来。

所谓“提出问题”，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以“问题”的形态表述出来。

对于“分析问题和解决问题”而言，其中的“已知”和“未知”都是清楚的，需要的是利用已有的概念、性质、定理、公式、模型，采用恰当的思路和方法得到问题的答案。 但是对于“发现问题和提出问题”而言，其中的“已知”和“未知”都是不清楚的，所以难度更大，要求更高。可是对于培养学生的创新意识和创新精神，“发现问题和提出问题”的能力是必须的。这是“课标”的一个新发展，同时对于数学教学是较高层次上的要求。

专题三 学生的情感态度的培养与评价

义务教育数学课程的具体目标，包含“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四方面。“情感态度”这方面的课程目标，是近年来才提出的，是课程改革的一个重要进步。由于这一方面课程目标的隐性性质，在教学中有时不被教师所熟悉和重视，有必要特别强调“情感态度”方面的目标对于学生成长的意义，以便教师备课和教学活动时都能够主

动关注这一目标。课程标准关于“情感态度”课程目标的表述，可以包括“引起好奇心和求知欲”，“锻炼克服困难的意志，建立自信心”，“了解数学的价值”，“养成良好的习惯和科学态度”四个方面。对于这些目标，教师不但要认真理解，而且在课堂教学中要全面落实。 1.将“情感态度”目标融入教学过程

要达成“情感态度”的课程目标，并不需要拿出特定的课时专门讲授情感态度。该目标不能脱离“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”的课程目标，必须以它们为载体，注意把“情感态度”的目标渗透、融合在整个教学过程中，即在传授知识和技能的过程中，润物细无声地去关注学生情感态度的培养和发展。这也是《基础教育课程改革纲要（试行）》中提出的“过程也是目标”的一个含义。现在大多数教师都能够认识到“关注学生情感态度的发展”的重要性，但是有些教师往往还停留于空洞的说教，或者习惯单独地讲授，并不善于在教学活动中贯彻这一目标。

2.在学生“合作交流”的学习情境中落实“情感态度”教学目标

学生在合作交流时，他们不仅有认知方面的收获，在非认知方面也有所收获。如在合作中，学会尊重别人，认真地去听懂别人的发言；培养与人交流习惯，能清晰简洁地表达自己的想法；能围绕着问题，积极而有依据地去进行思考；能采集众长、取长补短，该坚持的坚持，该放弃的放弃等。这些情感态度的培养，都将有利于“情感态度”目标教学的落实。 3.重视在九个“如何”中落实“情感态度”的教学目标

为了更好地实现“情感态度”的课程目标，课程标准建议教师在设计和进行教学活动时要考虑九个“如何”。这九个“如何”是把“情感态度”课程目标的四方面具体化了，细化了。具体表述和它们之间的联系，如“如何引导学生积极参与教学过程”“如何组织学生探索，鼓励学生创新”“如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣”是属于“引起好奇心和求知欲”的方面。“如何引导学生感受数学的价值”是属于“了解数学价值”的方面。“如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心”“如何帮助学生锻炼克服困难的意志”是属于“锻炼克服困难的意志，建立自信心”的方面。“如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑”“如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责”“如何培养学生良好的学习习惯”是属于“养成良好习惯和科学态度”的方面。这就是说，“情感态度”的目标不是在学习知识与技能的过程中“顺便”达成的“副产品”，教师应该在设计教学方案、进行教学活动时，都要主动地、经常地考虑上述这九个“如何”的问题，这样，就可以有意识地把“情感态度”的目标融合在教学过程当中。 4.以身作则感染学生

教学活动是师生双方的共同活动，在学生面前，每位教师都应该是一部活的教材，是一个生动的榜样。教师自身的榜样作用可以表现在：教师对数学有兴趣，从而感染到学生对数学有兴趣；教师对于问题有锲而不舍的探索精神，从而感染到学生有锲而不舍的探索精神；教师鼓励独立思考、反思质疑，从而感染到学生养成独立思考、反思质疑的习惯；教师尊重学生，从而感染到学生尊重他人；教师有强烈的责任心，从而感染到学生有强烈的责任心；教师有严谨的治学态度，从而感染到学生有严谨的治学态度；教师有健全的人格，从而感染到学生有健全的人格。同时，教师在数学教学中要关注全体学生，妥善处理好面向全体与关注个体差异的关系。

对学生学习数学情感态度的评价，目的在于激励学生学习的兴趣，增强学生学好数学的信心，提高学生克服困难的勇气。课程标准中有关情感态度的目标是：①积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。②在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。③体会数学的特点，了解数学的价值。④养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。⑤形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。这些目标的评价很难在一般的测验中完成，更多地体现在学生学习过程中，体现在学生参与学习活动

和解决问题的过程中的表现。所以，对学生学习数学情感态度的评价，需要教师在平时的教学中了解，注重对学生学习数学过程的评价。如教师可采取即时评价的方式，在教学过程中给学生鼓励，也可以采取小组互评的方式，即在小组合作学习的过程中给学生机会，评价学生参与状况及学习中的表现。除此之外，也可以在平时教学中注意记录学生学习数学中的一些典型的表现，考查和记录学生在不同阶段情感态度的状况及发生的变化。

专题四 把握知识技能评价的要求

学生基础知识和基本技能是小学数学学习的重要组成部分，对这部分内容的评价是数学学习评价改革的重要环节。课程标准提出：“对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要求为标准，考查学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度，以及在学习基础知识与基本技能过程中的表现。”在教学活动中，应按课程标准的要求，恰当准确地评价学生的基础知识和技能。

1.把握小学基础知识和基本技能评价的基本要求

对基础知识和基本技能评价，首先要把握课程标准的要求，这些要求都用相应的行为动词进行描述。与知识技能直接相关的行为动词有了解、理解、掌握和应用。课程标准明确规定了这些行为动词的含义。

了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。

理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。 掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。

运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。

在对小学每一个具体的知识技能内容进行评价时，教师都应了解这些内容是属于哪一个层次的要求，对不同层次的要求，要用恰当的方式评价学生的学习表现。如第二学段“数的认识”内容中下面的几个内容的要求是：在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制记数法，会用万、亿为单位表示大数；知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1～100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数；结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义（参见例25）；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）。在这里，知道、认识和会、能分别属于了解、理解、掌握的层次。认识万以上的数是属于理解层次，十进制记数法就属于了解层次。同样，自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数属于了解层次，小数和分数的意义属于理解层次。因此，在评价学生具体问题的表现时，应根据不同要求选择是了解或理解层面的题目还是选择理解或应用层面上的题目。

2.运用适当的评价方法

学习评价思想指出，运用纸笔测验的方式评价学生知识与技能的掌握水平还是评价方法之一，关键在于设计恰当的测验题目。传统的测验往往过多地测验学生对知识的记忆，对具体知识点的掌握情况，忽视对知识的真正理解和在解决问题情境中的运用。对于技能测验更多的重视某一个单一技能的熟练程度，忽视在具体情境中技能的选择和运用。课程标准则要求测验的题目要有助于了解学生是否能灵活运用所学的知识技能解决问题，了解学生是否真正理解和掌握了相关的知识技能；同时，除了运用纸笔测验的方法对学生知识技能进行评价外，还应运用课堂观察、数学日记、成长记录等方式进行评价。 3.关注学生的个别差异

义务教育阶段的学生存在着明显的个别差异，评价时应考虑学生的发展水平和数学学

习上的差异，为学生设计不同层次的题目，对不同水平的学生提出有差异的要求，以达到促进学生发展、激发学生学习动机的目的。评价的功能除了对学生的学习结果作出判断外，还包括诊断学生的学习状况，激励学生的学习热情。学生一时的学习成绩不理想，可以再给学生机会针对评价中表现出的问题学习和改正，当他们理解了相当的内容，再次评价就会有比较好的成绩。在平时的过程性评价中，评价的结果并不是最重要的，使学生和教师了解存在的问题，有针对性地采取措施解决问题，进而提高学生的学习成绩和水平，是评价的真正目的。

专题五 关注学生能力的评价

在数学教学过程中应重视培养学生多方面的能力，注重学生的情感态度的发展。评价中也同样应体现这样的理念，重视对学生能力的评价和情感态度的评价。能力评价和情感态度评价与知识技能评价不同，更应当注重过程性评价，在学生学习思考和解决问题的过程中，了解学生的表现。

1.数学思考的评价

数学思考是学生数学素养发展的重要标志，数学思考包括学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观等数学能力的培养，数学思考能力的提高，也体现在学生抽象推理和建模等数学思想的形成和发展过程之中。学生数学思考的评价要体现在学习过程和解决问题的过程之中。如数的概念的形成和发展过程，需要学生有抽象能力，需要建立数感、符号感。对学生数的概念的评价，不只是看他们对数的认识理解的程度、掌握的水平，还应当了解学生数学思维能力的发展。数学技能的评价不只是对技能的熟练程度的评价，要将数学思考能力融合在一起。下面的题目就体现了在一定的情境中，数学知识技能与数学思考的评价的整合。 题目1：将1，2，3，4和5分别填在下面乘法竖式的每一个方框里，想一想， 如何填才能使所得的结果最大？ 口口口 × 口口

分析：若保证结果最大，首先保证三位数最大，一是543×21，二是521×43或531×42。经思考：521×43最后是3×500，而531×42，最后是用2×500，显然3×500更大，所以还是，521×43的结果会更大。而543虽是三位数最大，可乘的是20几的话，那么500乘20多只是一万多的数，因此最小。在对这个问题进行思考的过程当中，其实就体现了一种数感，就是首先要考虑到，得数最大，首先考虑让三位数比较大，即是500多，接着看下面两位数，若500乘以40多，得出是两万多的数，而具体到是521×43还是531×42，肯定有一定微小的差别，此时用个位再去乘，十位乘百位已经知道，从个位去乘百位时又有一个数感的思想，即数量级的感受。 题目2：你有10元零花钱，“六一”儿童节时想给自己购买一些礼物。下面这张表给出了不同的三个商店的不同物价：

价格／元 商店1 商店2 商店3

礼物1 3.50 3.00 4.00

礼物2 4.25 4.00 4.50

礼物3 2.75 2.25 2.50

选择一个可能的组合，计算花了多少钱，你还剩多少钱。

不超过10元钱，购买这三件东西有多少种不同的组合？把每一种组合表示出来。 上面问题的特点是：①运用相关的数学知识；②考查学生知道什么时候需要估算以及如何估算；③考查学生知道为什么这样算的道理；④可以从不同的角度思考问题。 这样的问题有助于我们更好地考查学生是否真正理解和掌握了各种数学技能，同时考查学生的数学思考能力。因此，数学思考的评价重在问题情境的设计，在学生解决具体问题的过程中对学生进行思考的评价。

2.问题解决的评价

问题解决是数学学习的核心，评价学生问题解决的能力是数学评价不可缺少的重要内容。问题解决的能力包括发现问题、提出问题、分析问题和解决问题。每一个学习领域都有相应的问题可以用来评价学生问题解决的能力。不同的问题评价的功能也不尽相同，侧重于问题解决能力评价的问题，更具有情境性和富于思考。如下面题目（做了部分改造）。

王林知道一支钢笔比一支铅笔贵1元，他的朋友买了2支钢笔和3支铅笔花了17元，如果王林要买1支钢笔和2支铅笔，要花多少元？（写出过程） 下面是一个学生的回答过程。 铅笔：x元 钢笔：x+l元 2(x+1)+3x=17

5x=15

x＝3 所以一支铅笔3元 x+1＝3+1=4 所以一支钢笔4元 (x+1)+2x＝4+2×3=4+6=10

答:1支钢笔和2支铅笔是10元。

这个问题不仅要求学生得出结果，还要学生写出过程。在学生解决问题的过程中，可了解到学生是怎样思考的，他的思维是否有根据，从而考查学生的思考能力和问题解决的能力。

3.注重学生表现性评价

表现性评价是基于任务的评价，可以较为全面地考查学生问题解决能力。运用这种评价方法，能较为全面地考察学生问题解决的能力，可以更加关注学生的数学发展和在数学学习过程中特殊的表现。如学生在完成一项具体的任务中，教师可评价他对数学的兴趣，对数学知识技能、思维能力、创造能力的水平。运用表现性评价，不仅使学生有效学到数学知识的内容和方法，而且可使教师从多方面了解学生数学学习的表现，包括学生的思维活动、对

有关内容的理解和掌握、数学的创造能力、数学学习活动的参与，以及对数学的情感和态度。 4.关注学生学习数学的能力和素养的养成

学生是否具有会学数学的能力和素养，直接影响学生学习数学的成效，在小学可以从下几方面评价学生数学学习的能力和素养。一是能否从具体的数学事实中抽象出数学概念的结果、方法和思想，同时对数学抽象的概念、结果、方法和思想又能给出具体的、简洁生动的实例，包括生活中或数学中的实例，还能总结出知识内在的联系、脉络和结构，形成整体的理解，并能够理解到哪些地方是关键。二是有条理地表述问题。要养成一个讲道理的习惯，逐步地学会数学推理，养成有条理地思考问题的习惯和能力。三是要引导学生能主动地运用数学的三种语言，即数学的符号语言，图形语言和自然语言，能够在各种语言之间进行转化，如对文字题能列出一个代数式，能用画线段图，用数形结合的思想来理解。教师要对能够主动转化的学生做出积极的及时的评价，使学生在教师评价的引导下，更好地体会学习数学的过程和方法。

专题六 评价主体与方法的多元化

在学习评价中，评价对象、主体、方式多样化的观点由来已久，特别是美国著名心理学家加德纳在多元智能理论中提出，人类至少存在七种以上的智力，这些智力以不同的方式组合，每种智力都有不同的表现方式，因此，很难找到一种适用于所有人的统一的评价标准。在“多元主义”价值观的支配下，在具体的评价对象、评价主体、评价方式上，评价势必要体现出多样化的特点。数学评价多样化趋势，就是认识学生个体发展的差异性和独特性，关注学生的个体差异。

1.评价主体的多元化

关于评价主体的多元化，课程标准指出：“评价主体的多元化是指教师、家长、同学及学生本人都可以作为评价者，可以综合运用教师评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式，对学生的学习情况和教师的教学情况进行全面的考查。”课程标准尤其强调学生自我评价和学生之间的评价：“每一个学习单元结束时，教师可以要求学生自我设计一个‘学习小结’，用合适的形式（表、图、卡片、电子文本等）归纳学到的知识和方法，学习中的收获，遇到的问题，等等。教师可以通过学习小结对学生的学习情况进行评价，也可以组织学生将自己的学习小结在班级展示交流，通过这种形式总结自己的进步，反思自己的不足以及需要改进的地方，汲取他人值得借鉴的经验。条件允许时，可以请家长参与评价。”因此，新课程改革下，除继续改革教师对学生的评价外，首先教师还要抓好学生自我评价和学生之间的相互评价，即在教学中教师要给学生提供表现自己所知所能的各种机会，通过评价形成学生自我认识和自我教育、自我进步的能力，使评价成为有力手段；同时,同学之间的感受是最直接、最真实的，让学习伙伴一起来互评，有利于准确找出学习中存在的问题，提高学习效率。如在课堂教学中，教师可以进行有意识的引导，“你同意他的观点吗？”“你怎么看待他刚才的错误？”“你来当裁判，说说他们俩的做法怎么样？”又如，在小组共同完成一份调研报告或数学实验报告后，教师可以制订一些评价表格，引导学生对合作学习中参与态度、知识的学习、习得的能力等方面进行自评和互评。其次，由于家长与孩子之间的特殊关系，家长的评价对孩子的作用也不可低估，教师可以利用评价手册、家校联系卡、课外作业、实践活动，让家长对学生进行评价，以发挥家长在学生成长中的作用。另外，参与评价活动的还可以包括专职的评价机构、教育决策机构、学校管理人员、活动中涉及的其他有关人员（如调查活动的调研对象等）。总之，教师对学生的评价、学生的自我评价、同伴之间的评价、家长及社会评价等，构成评价主体的立体化。为了很好地发挥评价的作用，教师作为这立体化评价主体中的核心，发挥着协调、连接等重要作用。教师应协调好学生、同

伴、家长之间的关系，做好综合评价工作，以发挥多元评价的“合力”作用。

2.评价方式多样化 课程标准强调：“评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等，在条件允许的地方，也可以采用网上交流的方式进行评价。”下面就选择几种典型的评价方式进行介绍。 第一，书面测验是一种量性的评价方式，是指通过检测的形式，考查学生对知识的掌握程度，是教学中常用的评价方式，在教学中发挥着重要的作用，如检查学生的知识水平、学习技能，发现学习困难，进而调整教学目标和教学进度。关于书面测验，前面已有阐述，教师也比较熟悉，这里不在详述。

第二，口头测验。口头测验是一种质性评价方式，通过学生对问题的思考、分析、解答、操作，不仅可以考查学生对知识技能的掌握运用情况，还可以使教师全面了解学生的思维过程、解决问题的方法、动手操作能力、表达与交流的能力和个性创造力，为多角度评价学生提供真实有效的素材。

第三，课堂观察。课堂观察适用于学生数学学习的一切领域，包括了解学生数学知识与技能、数学思考、解决问题以及情感态度与价值观等，是获得书面测验中不易获得学生学习情况的有效措施。可因观察的效度难以检验，观察又有它的主观性，故教师在观察时，要设计评价标准，重点观察学生提出问题、解决问题方面、倾听和表达、参与程度和态度等，也要设计一些探究性的活动，观察学生独立思考的习惯，合作交流的意识，倾听和表达的能力等。

第四，成长记录袋。学生成长记录袋是另一种典型的质性评价方式，通过系统收集学生日常学习作品，如调查报告、手抄报、人口统计图、知识树、设计方案、数学小论文等展示学生在知识能力及情感态度等方面的发展过程、水平和潜力。从成长记录中了解学生的发展变化，使用成长记录评价学生的数学学习，教师需要注意有计划地收集反映学生成长的内容，制订比较明晰的可操作的评分标准，以及定期对成长记录袋进行必要的讨论和反思，这样才能在最大限度上发挥成长记录的优势。（关于成长记录袋的具体使用不再详述。）