常州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

常州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________

一、选择题

1． 若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=log8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ A．12

B．10

C．9

D．8

]，n∈N*，则下列说法正确的个数是（

）

）

姓名__________ 分数__________

2． 已知一组函数fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，①∀n∈N*，fn（x）≤

恒成立

②若fn（x）为常数函数，则n=2③f4（x）在[0，A．0

B．1

]上单调递减，在[C．2

D．3

，

]上单调递增．

3． 已知a∈R，复数z=（a﹣2i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内对应的点为M，则“a=0”是“点M在第四象限”的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件　

4． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（

）

A．5． 直线A．

B．C．

的倾斜角是（ B．

）

C．

D．

D．

6． 已知定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当

x[2,3]时，f(x)2x212x18.若函数yf(x)loga(x1)在(0,)上至少有三个零点，则

实数的取值范围是（ A．(0,）111]

B．(0,2) 23) 3第 1 页，共 18 页

C．(0,5) 5D．(0,6)6精选高中模拟试卷

7． 若A．C．

，则下列不等式一定成立的是（ ）

B．D．

8． 设集合Ax|（

）

x30,集合Bx|x2a2x2a0,若 AB,则的取值范围x1B．1a2

C.a2

D．1a2A．a1 9． 已知函数

，，若，则（ ）

A1B2C3D-1

10．若实数x，y满足A．

B．8

C．20

，则（x﹣3）2+y2的最小值是（ D．2

）

）

11．已知数列{an}是等比数列前n项和是Sn，若a2=2，a3=﹣4，则S5等于（ A．8

B．﹣8

C．11

D．﹣11

，则

C．36

（ ）

D．48

12．在等差数列A．12

中，已知B．24

二、填空题

13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=x3x，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为_____．

14．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.

（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；

（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．15．若数列{an}满足a1a2a3ann3n2，则数列{an}的通项公式为 2.16．不等式　

的解为　　　　　　．第 2 页，共 18 页

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17．对于集合M，定义函数

对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|fA（x）fB（x）=﹣1}．

已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为　　　　　　．　　

18．方程4xkx23有两个不等实根，则的取值范围是 2．三、解答题

19．（本题满分15分）

已知抛物线C的方程为y2px(p0)，点R(1,2)在抛物线C上．

2（1）求抛物线C的方程；

（2）过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l:y2x2于

M，N两点，求MN最小时直线AB的方程．

【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.

20．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

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∠AA1C1=60°，21．AB=AC=AA1=BC1=2，AC1与A1C如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC1⊥平面AA1C1C，相交于点D．

（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

22． 坐标系与参数方程线l：3x+4y﹣12=0与圆C：

（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．

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23．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，（1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？

（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？

24．如图，在Rt△ABC中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE，CE为边向Rt△BEC外作正△EBA和正△CED．

（Ⅰ）求线段AD的长；

（Ⅱ）比较∠ADC和∠ABC的大小．

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常州市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，由x∈[0，2]时，

f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，

同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为8，故选：D．

2． 【答案】 D

【解析】解：①∵x∈[0，

]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=

≤

，因此正确；

②当n=1时，f1（x）=sinx+cosx，不是常数函数；当n=2时，f2（x）=sin2x+cos2x=1为常数函数，当n≠2时，令sin2x=t∈[0，1]，则fn（x）=

，当t∈

当t∈

+

=g（t），g′（t）=

﹣

=

时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减；

时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增加，因此函数fn（x）不是常数函数，因此②正确．

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22sin2xcos2x=1③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）﹣﹣

=，

=+，当x∈[0，

，

]上

]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，单调递增，因此正确．综上可得：①②③都正确．故选：D．

]上单调递减，当x∈[]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、倍角公式、平方公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3． 【答案】A

【解析】解：若a=0，则z=﹣2i（1+i）=2﹣2i，点M在第四象限，是充分条件，

若点M在第四象限，则z=（a+2）+（a﹣2）i，推出﹣2＜a＜2，推不出a=0，不是必要条件；故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．　

4． 【答案】A

【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：

故选A．

【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．　

5． 【答案】A

【解析】解：设倾斜角为α，∵直线∴tanα=

，

的斜率为

，

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∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．　

6． 【答案】B【解析】

试题分析：f(x2)fxf1，令x1，则f1f1f1，fx是定义在R上的偶函数,

f10fxfx2．则函数fx是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当x2,3时，

fx2x212x18，令gxlogax1，则fx与gx在0,的部分图象如下图，

yfxlogax1在0,上至少有三个零点可化为fx与gx的图象在0,上至少有三个交点，0a13，解得：0a故选A．gx在0,上单调递减，则log323a考点：根的存在性及根的个数判断.

【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得图象与函数ylogax1的图象在0,上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.

7． 【答案】D【解析】

因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数故选D答案：D

为减函数且

，所以

，排除B，

fx是周期函数,其周期为,要使函数yfxlogax1在0,上至少有三个零点,等价于函数fx的

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8． 【答案】A【解析】

考

点：集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键.9． 【答案】A

【解析】g（1）=a﹣1，若f[g（1）]=1，则f（a﹣1）=1，即5|a﹣1|=1，则|a﹣1|=0，解得a=110．【答案】A

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

，

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由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离dmin=∴（x﹣3）2+y2的最小值是：故选：A．

．

，

【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．　

11．【答案】D

【解析】解：设{an}是等比数列的公比为q，因为a2=2，a3=﹣4，所以q=

=

=﹣2，

所以a1=﹣1，根据S5=故选：D．

【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．　

12．【答案】B【解析】，所以答案：B

，故选B

=﹣11．

二、填空题

13．【答案】2,23第 10 页，共 18 页

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【解析】14．【答案】

【解析】解：（1）证明：l1的斜率显然存在，设为k，其方程为y－2pt2＝k（x－2pt）．①将①与拋物线x2＝2py联立得，x2－2pkx＋4p2t（k－t）＝0，

解得x1＝2pt，x2＝2p（k－t），将x2＝2p（k－t）代入x2＝2py得y2＝2p（k－t）2，∴P点的坐标为（2p（k－t），2p（k－t）2）．

由于l1与l2的倾斜角互补，∴点Q的坐标为（2p（－k－t），2p（－k－t）2），

2p（－k－t）2－2p（k－t）2

∴kPQ＝＝－2t，

（－－）－（－）kt2pkt2p即直线PQ的斜率为－2t.

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（2）由y＝x得y′＝x，2pp∴拋物线C在M（2pt，2pt2）处的切线斜率为k＝2pt＝2t.

2

其切线方程为y－2pt2＝2t（x－2pt），

p又C的准线与y轴的交点T的坐标为（0，－p）．2

∴－p－2pt2＝2t（－2pt）．

2

解得t＝±1，即t的值为±1.22

6,n115．【答案】ann2,n2,nNn

【解析】【解析】a1a2a3ann1n2n1:a16；

n2:a1a2a3an1ann1n2 a1a2a3an1 nn1故n2:ann2n16．【答案】　{x|x＞1或x＜0}　．

【解析】解：

即

即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出　

17．【答案】　{1，6，10，12}　．

【解析】解：要使fA（x）fB（x）=﹣1，

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必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．

【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．　

18．【答案】【解析】

试题分析：作出函数y53,1244x2和ykx23的图象，如图所示，函数y4x2的图象是一个半圆，

直线ykx23的图象恒过定点2,3，结合图象，可知，当过点2,0时，k303，当直线224k(02)30553ykx23与圆相切时，即2，解得k，所以实数的取值范围是,.111]

121241k2考点：直线与圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.

三、解答题

19．【答案】（1）y4x；（2）xy20．

【解析】（1）∵点R(1,2)在抛物线C上，22p1p2，…………2分

22即抛物线C的方程为y4x；…………5分

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20．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2].【解析】



试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11，即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解；21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

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（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1，因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1；当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2，所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.21．【答案】

【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为由题意可得

，

，1，1），

，设平面ABC的法向量为

，则

，，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．

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22．【答案】 【解析】解：圆C：

的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4

由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离d=

故直线与圆相交故他们的公共点有两个．

【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．　

23．【答案】

【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种；

（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，故选人种数为C41×C53+C42×C52+C43×C51=40+60+20=120．

男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有C32+C41×C31+C42=21，故有120﹣21=99．　

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）在Rt△BEC中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=在△ADE中，AE=BE=由余弦定理可得AD=

（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°，∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小．在△ADE中，由正弦定理可得∴sin∠ADE=∴∠ADE＜30°∴∠ADC＜∠ABC．

＜=sin30°，

，

，DE=CE=1，∠AED=150°，

=

；

，

=＜2

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【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．　

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