专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

第九讲 第十讲 第九讲 第十一讲 专题 第十三讲 第十四讲 第十五讲 第十六讲 第十七讲 2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路(可编辑) 第十二讲 Word 版含解析 第十八讲 第十九讲 第二十讲 第二十一讲 第二十二讲 第二十三讲 第二十四讲 第二十五讲 第二十六讲 第二十七讲 第二十八讲 第二十九讲 第三十讲 第三十一讲

第三十二讲

第三十三讲 姓名，年级： 第三十四讲 时间：

第三十五讲 第三十六讲

第三十七讲 第三十八讲

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

第三十九讲 零点定理

【套路秘籍】---千里之行始于足下 1.函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x）(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)（x∈D)的零点． (2)三个等价关系

方程f（x)＝0有实数根⇔函数y＝f（x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． （3)函数零点的判定（零点存在性定理)

如果函数y＝f（x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f（a)·f(b)〈0，那么，函数y＝f(x）在区间（a，b)内有零点，即存在c∈(a，b），使得f(c）＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

2

Δ〉0 2Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax＋bx＋c （a〉0)的图象 与x轴的交点 零点个数 3．一元二次方程根的分布情况

（x1，0),（x2,0） 2 (x1，0) 1 无交点 0 设x1,x2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1,x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表:(m，n，p为常数，且m2

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

二、二分法

（1）二分法及步骤

对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

（2）给定精确度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步：确定区间[a,b],验证f(a)f(b)0，给定精确度。 第二步：求区间(a,b)的中点x1.

第三步：计算f(x1)：①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)0,则令bx1（此时零点x0(a,x1)）③若f(x1)f(b)0,则令ax1（此时零点x0(x1,b))

第四步:判断是否达到精确度即若ab,则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步.

【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 零点区间

【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f（x)＝x－3x－18,x∈［1，8]； (2)f（x）＝x－x－1，x∈[－1,2］；

(3）f（x）＝log2(x＋2）－x，x∈［1，3]． 【答案】见解析

【解析】（1）方法一 因为f(1）＝－20<0，f(8）＝22〉0，所以f(1)f(8）〈0, 故f（x)＝x－3x－18在［1，8]上存在零点．

方法二 令x－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f（x）＝x－3x－18在[1,8］上存在零点．

（2)因为f(－1)＝－1<0,f（2）＝5>0，f（－1)f（2）〈0，故f（x)＝x－x－1在[－1,2]上存在零点．

（3)因为f（1）＝log2(1＋2)－1＝log23－1〉log22－1＝0,

3

2

2

232

f(3)＝log2（3＋2）－3＝log25－3所以f(1)f(3)<0，故f（x）＝log2（x＋2)－x在[1，3]上存在零点

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

【套路总结】 判断函数零点所在区间的三种方法 1．解方程法：当对应方程f（x)＝0易解时,可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． 2．定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f（x）在区间[a，b］上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)〈0.若有,则函数y＝f(x）在区间（a，b)内必 【举一反三】

1。函数fx＝－1xlog2x的零点所在区间是( ) A．(,) B．(,1) C．1,2 D．2,3 【答案】C

【解析】f错误!＝1－错误!log2错误!＝1＋错误!＝错误!＞0，f错误!＝1－错误!log2错误!＝1＋错误!＝错误!＞0,

114212f(1）＝1－0＝1＞0,f(2）＝1－2log22＝－1＜0,由f（1)f（2）＜0知选C．

2。已知函数fx＝lnx－()x2的零点为x0，则x0所在的区间是（ ) A．(0，1） 【答案】C

【解析】∵fx＝lnx－()x2在(0，＋∞)上是增函数，又f1＝ln1－()1ln120,

11f2＝ln2－()0ln210，f3＝ln3－．故f（x）的零点x0(2，3)．

22121212B．(1，2） C．（2，3) D．（3,4）

3．若a〈b〈c，则函数f（x）＝（x－a)（x－b)＋(x－b）（x－c)＋(x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（ ） A．（a，b）和（b，c）内

B．（－∞，a)和(a，b）内

C．（b，c）和（c,＋∞）内 D．（－∞，a）和（c，＋∞)内 【答案】 A

【解析】 ∵a0，

f(b)＝（b－c）（b－a)〈0，f(c）＝(c－a)（c－b)〉0，

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

由函数零点存在性定理可知，在区间（a，b）,(b，c)内分别存在零点，又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点．因此函数f（x)的两个零点分别位于区间（a,b)，（b，c)内，故选A.

4．设f（x)＝ln x＋x－2，则函数f（x）的零点所在的区间为( )

A．（0，1) B．(1,2） C．（2，3) D．（3,4） 【答案】 B

【解析】 解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x）＝ln x，h(x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：

可知f（x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.

解法二：易知f（x）＝ln x＋x－2在（0，＋∞）上为增函数，且f（1)＝1－2＝－1〈0,f(2）＝ln 2〉0。

所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．故选B。

考向二 零点个数

【例2】函数f（x)＝2|log0.5x｜－1的零点个数为（ )

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B

【解析】 令f（x)＝2|log0。5x|－1＝0，得｜log0。5x|＝错误!。

设g(x)＝｜log0.5x｜，h(x)＝错误!，在同一坐标系下分别画出函数g（x）,h(x）的图象（如图)．由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点．故选B。

xxxx专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

【套路总结】 函数零点个数的判断方法 （1)直接求零点． (2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数． 【举一反三】

1。 已知f（x）＝错误!则函数y＝2［f（x)]－3f(x）＋1的零点个数是________. 【答案】5

2

【解析】由2[f(x)]－3f（x）＋1＝0得f（x）＝错误!或f(x）＝1，

2

作出函数y＝f（x)的图象。

由图象知y＝错误!与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点。 因此函数y＝2[f(x）］－3f（x）＋1的零点有5个。

2。如图，函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f（x)≥log2（x＋1)的解集是（ )

2

A。{x|－1B.｛x|－1≤x≤1｝ D.｛x｜－1专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

【解析】令g(x）＝y＝log2(x＋1),作出函数g（x)图象如图，由错误!得错误! ∴结合图象知不等式f(x)≥log2（x＋1）的解集为{x|－1〈x≤1｝。

3。函数f（x)＝｛x－2，x≤0，，2x－6＋ln x，x>0 的零点个数是 ．

2

【答案】 2

【解析】当x≤0时，令x－2＝0，解得x＝－错误!（正根舍去），所以在（－∞,0]上，f(x)有一个零点；当x〉0时，f′（x)＝2＋错误!>0恒成立,所以f（x)在(0，＋∞）上是增函数．

又因为f（2)＝－2＋ln 2<0,f(3)＝ln 3>0,所以f（x)在（0,＋∞)上有一个零点， 综上，函数f(x）的零点个数为2。

4.函数f(x）＝｜x－2｜－ln x在定义域内的零点的个数为 ． 【答案】 2

【解析】由题意可知f(x）的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2｜(x〉0），y＝ln x（x>0）的图象,如图所示．

2

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2。

5。函数f(x）＝错误!－cos x在[0，＋∞)内零点个数为 ． 【答案】 1

【解析】当x∈错误!时，因为f′(x)＝错误!＋sin x，错误!〉0,sin x〉0,所以f′(x）>0,故f（x)在[0，1］上单调递增，且f(0）＝－1<0，f(1）＝1－cos 1〉0，所以f（x）在［0，1］内有唯一零点．当x>1时，f(x）＝x－cos x〉0，故函数f(x）在［0，＋∞)上有且仅有一个零点．

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

考向三 利用零点求参数

【例3】已知函数f（x）＝错误!函数g（x）＝b－f(2－x），其中b∈R.若函数y＝f（x)－

g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是（ )

A。错误! B.错误!C.错误! D.错误! 【答案】 D

【解析】由y＝f（x）－g（x）＝0得f(x)＋f(2－x)＝b，设F（x)＝f(x）＋f（2－x)，则F(2－x)＝f(2－x)＋f（x)，所以F（2－x）＝F（x），F(x）关于直线x＝1对称．当02

2

2

【套路总结】 1。已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围． (2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． （3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然 【举一反三】

1。已知函数f（x)满足f（x)＝f错误!,当x∈[1,3]时,f(x)＝ln x，若在区间错误!内，曲线g（x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是( ）

A.错误! B.错误! C。错误! D.错误! 【答案】 C

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

1

【解析】 当x∈，1

3

］

时，错误!∈［1,3]，f(x）＝f错误!＝－ln x，所以f(x）＝错误!

作出其图象，

如图所示．设x∈［1，3]时,直线y＝ax与y＝ln x的图象相切，其切点为（x0，y0),则错误!＝a，所以x0＝错误!，所以y0＝1，所以1＝ln 错误!,所以a＝错误!.又点(3,ln 3）与原点连线的斜率为错误!,可知曲线g（x)＝f（x)－ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是错误!。故选C.

2.已知函数f（x）＝2＋x＋1，g(x）＝log2x＋x＋1，h（x)＝log2x－1的零点依次为a,b，

xc，则（ ）

A．a〈b〈c B．a〈c【解析】 作出y＝2，y＝log2x，y＝－x－1的图象，如图．

x

令函数f（x)＝2＋x＋1＝0，可知x〈0，即a〈0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0令h(x)＝log2x－1＝0,可知x＝2，即c＝2，显然ax【运用套路】---纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行 1．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

【答案】C

【解析】A中函数没有零点,因此不能用二分法求零点;B中函数的图像不连续;D中函数在x轴下方没有图像，故选C．

232.已知fxx，则yfx的零点个数是( ）

xxxA．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C

22x【解析】 令由图可知,图象x0,化简得22x2,画出y2x,y2x2的图象，

xxx有两个交点，即函数fx有两个零点．

13.已知函数fxx3,那么在下列区间中含有函数fx零点的是

2111122A．0, B．, C．, D．,1

323233x1【答案】B

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

1313121311111111【解析】f010,f0,f0,ff0,∴

3232223211函数f（x)在区间,必有零点，选B．

32|2x1,x2, 若方程fxa0有三个不同的实数根，则实数a的取4。已知函数fx{3,x2,x1值范围为（ ）

A．0,1 B．0,2 C．0,3 D．1,3 【答案】A

2x1,x2【解析】函数fx{ ,作出函数fx图象，如图所示，方程fxa03,x2x1有三个不同的实数根，等价于函数yfx的图象与ya有三个不同的交点，根据图象可知,当0a1时,函数yfx的图象与ya有三个不同的交点，程fxa0有三个不同的实数根，a的取值范围是0,1,故选A．

5。已知f(x)＝错误!若函数g(x）＝f（x)－k有两个零点，则两零点所在的区间为( ）

A．(－∞，0） B．（0，1) C．（1，2) D．（1，＋∞） 【答案】 D

【解析】 在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图，由图易得若函数g（x)＝f(x）－k有两个零点，即函数f（x）的图象与直线y＝k有两个交点，则k的取值范围为(0，1)，

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

两个零点分别位于（1，2）和(2，＋∞）内,故选D。

x6。函数f（x)＝2＋log2｜x｜的零点个数为（ )

A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 C

【解析】 函数f（x)＝2＋log2|x|的零点个数,即为函数y＝－2的图象和函数y＝log2｜

xxx|的图象的交点个数．如图所示：

数形结合可得，

函数y＝－2的图象和函数y＝log2｜x｜的图象的交点个数为2，故选C.

x7.若函数y＝f（x)（x∈R）满足f(x＋1）＝f（x－1），且x∈［－1，1]时，f（x）＝1－

x2,函数g(x）＝错误!则函数h(x）＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为( )

A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 C

【解析】 因为函数y＝f（x)（x∈R）满足f（x＋1）＝f（x－1），所以函数y＝f（x)(x∈R)是周期为2的周期函数．又x∈［－1，1］时，f（x)＝1－x,所以作出函数y＝f(x）（x∈R)与y＝g（x)的图象．

由图知,函数h（x)＝f(x)－g（x)在区间[－5，5]内的零点的个数为8.故选C。

2

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ )

A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x＋1 【答案】A

【解析】试题分析:函数A．y=cosx；B．y=sinx； C．y=lnx；D．y=x+1中，是偶函数的是A．y=\"cosx\" ；D．y=x+1函数D．y=x+1恒大于等于1，不存在零点,∴应选A． 10.命题p:a1，命题q:函数fx2xa在1,2上有零点，则p是q的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C

721x2

2

2

2

11。定义在R上的奇函数fxa2x2x4sinx的一个零点所在区间为（ ） A．a,0 B．0,a C．a,3 D．3,a3 【答案】C

【解析】∵函数fxa2x2x4sinx为奇函数，∴fxfx,

即a2x2x4sinxa2x2x4sinx，整理得a12x2x0在R上恒成立, ∴a1，∴fx2x2x4sinx，

∵f12124sin10,f00,f12214sin10,

f24224sin20,f38234sin30, ∴函数fx的零点在区间1,3内,故选C．

x31,x012．已知函数fx2,若存在x10,,x2,0,使得fx1fx2，则x1的

x1,x0专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

最小值为（ ）

A．log23 B．log32 C．1 D．2 【答案】B

【解析】画出函数图象如下图所示，由图可知3x111,x1log32。

13.已知函数fxex,gxlnx，若有fmgn，则n的取值范围是（ ） A．0,1 B．0, C．1, D．1, 【答案】C

【解析】由fxex0，fmgn，则gnlnn0,∴n1，故选C． 14。若a满足xlgx6，b满足x106，函数fx{xx2abx2,x02,x0 ，则关于x的

方程fx5x的解的个数是（ ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D

【解析】由图像知a+b=6,fx{x2abx2,x02,x0 {x26x2,x02,x0 ，∴

{x0x02x或，解得，解的个数是1，故选D． { 5x26x25x5x215.已知定义在R上的函数fx满足fxfx，当0x3时，fxx2；当x3时，fxfx2，则函数yfxlnx||的零点个数是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．6

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

【答案】C

【解析】

函数满足fxfx,函数为偶函数,设函数gxlnx，则函数gx也是偶函数,

yfxlnx的零点个数就是yfx与ylnx图象的交点个数,

两函数图象都关于

y轴对称,只需求出y轴右边的交点个数乘以2即可，画出yfx与ylnx y轴右边

的图象，如图，由图知有2个交点，∴共有224个交点，故选C． 16．函数fxxπsin2x的零点的个数为（） 5π6A。16B。18C。19D.20

【答案】C 【解析】 由图象可知yx和ysin2x在0,上有9个交点， 5 xx和ysin2x都是奇函数，y和ysin2x在,0上有9个零点，又两函数55x都经过原点0,0,y和ysin2x有19个交点点,ysin2x向左平移公共单位可得

512又y专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

ysin2xxxππ19y的图象，与的图象仍有个交点，函数的零fxsin2x55π66点的个数为19,故选C.

17.已知函数f(x）＝x＋2,g（x）＝x＋ln x，h（x)＝x－错误!－1的零点分别为x1,x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________(由小到大).

【解析】 令y1＝2，y2＝ln x，y3＝－错误!－1，y＝－x，

∵函数f（x)＝x＋2，g（x)＝x＋ln x，h(x)＝x－错误!－1的零点分别为x1，x2，x3,即函数y1＝2,y2＝ln x，y3＝－x－1与函数y＝－x交点的横坐标分别为x1，x2，x3. 分别作出函数的图象,结合图象可得x1〈x2〈x3。

xxxx

18。若函数f(x)＝x－ax＋1在区间错误!上有零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 错误!

【解析】 由题意知方程ax＝x＋1在错误!上有解，

即a＝x＋错误!在错误!上有解，设t＝x＋错误!，x∈错误!，则t的取值范围是错误!. 所以实数a的取值范围是错误!.

19。已知函数f（x）＝错误!若函数g(x)＝f（x)－m有3个零点,则实数m的取值范围是 ． 【答案】 （0,1）

【解析】 画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．

2

2

由于函数g（x）＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

20.若函数f（x）＝(m－2)x＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0）和区间(1,2）内，则m的取值范围是 ． 【答案】 错误!

【解析】 依题意,结合函数f（x）的图象（图略）分析可知，m需满足错误! 即错误!解得错误!〈m<错误!。

21．已知f（x)＝错误!则函数g(x）＝f（x)－e的零点个数为 ． 【答案】 2

【解析】 函数g(x）＝f（x)－e的零点个数即为函数y＝f（x)与y＝e的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g（x)＝f(x)－e有2个零点．

xxxx2

22．已知函数f（x)＝错误!若存在实数b，使函数g(x)＝f（x)－b有两个零点，则a的取值范围是 ．

【答案】 (－∞，0)∪（1,＋∞）

【解析】 令φ（x）＝x（x≤a），h(x)＝x(x>a），函数g(x)＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x)的图象与直线y＝b有两个交点,结合图象（图略）可得a<0或φ(a）〉h（a)，即a〈0或a>a，解得a〈0或a〉1，故a∈(－∞，0）∪(1,＋∞)．

23．函数f（x）＝错误!a∈R，当0≤x<1时,f(x)＝1－x，则f（x)的零点个数为 ． 【答案】 1

【解析】 当x〈0时，必存在x0＝－e〈0,使得f(x0）＝0，因此对任意实数a,f（x)在

－a3

2

3

2

专题2.9 零点定理-奋战到底之2019年高考数学高分套路 Word版含解析

（－∞，0）内必有一个零点；当x≥0时，f（x)是周期为1的周期函数，且0≤x〈1时，

f（x)＝1－x。因此可画出函数的大致图象，如图所示,可知函数f（x）的零点个数为1.