在小学数学教学中培养数学思想方法的策略

在小学数学教学中培养数学思想方法的策略

无锡市安镇中心小学 黄芳

数学思想方法是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的对数学规律的理性认识。数学知识与数学思想方法是辨证统一的，学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法，这应该是数学课程的一个重要目的。

我们的新教材重视数学与现实世界的密切联系，提供了现实的，有趣的，富有挑战性的学习内容，创设了充分地进行数学活动和交流的机会，突出了学生在学习过程中的主体地位，有利于学生探索并掌握基本的数学知识技能和初步的数学思想方法，有利于培养学生的创新意识和实践能力，有利于学生素质的全面发展。

因此，如何在小学数学教学中渗透数学思想方法的课题研究，在新课程形势下，备受大家的关注与重视。新课程的大背景，新教材的推广，又为我们实施这一研究提供了很好的前提条件。

一．预设过程中，合理确定数学思想方法

首先，数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，教材中，大量的数学思想方法是蕴涵于表层知识中，处于潜形态的。有的数学思想方法与数学知识直接溶于一体，有的则与相关的数学知识溶于一体。因此，作为教师应该先深入挖掘具体教材中的数学思想方法，自己能够先将这些深层次的知识由潜形态变为显形态，由对它们的朦胧感受转变为清晰的理解。

其次，同一教材内容蕴涵的数学思想方法不止一种，需要重点渗透的可能只是某种思想方法，不必面面俱到全面到位。即使同一数学思想方法，在不同的教学阶段，也应该确定不同的要求。因此，在进行教学预设时，要合理细致地确定某一课时需重点渗透的数学思想方法。

二．探究过程中，适时渗透数学思想方法

数学知识的探究过程，实质上也是数学思想方法的发生过程，比如概念的形成过程，公式的推导过程，规律的发现过程，解法的思考过程等都蕴涵着丰富的数学思想方法。在课堂探究过程中，教师要根据不同的知识点，构建不同的教学模式，让学生在探究活动中领悟不同的数学思想方法。

1．化归的思想方法

“化归”就是转化和归结。在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对比较容易解决的或者已经有解决程序的问题，以求得问题的解答。在小学数学中处处都体现出化归的思想，它是解决问题的一种最基本，最常用的思想方法。在小学数学教学中，培养学生运用化归原则来解题，不仅能起到巩固旧知识，促进理解掌握新知识的作用，而且对提高学生解决问题的策略水平有着深远的影响。化归时，需要引导学生明确“已经能解决什么问题”，“现在需要解决什么问题”，“怎样将要解决的问题转化成已经解决的问题”等。

【案例】二年级下册的《两位数乘一位数连续进位的乘法》。例题在前一节课的基础上继续求4盒彩色笔一共多枝需要计算36×4，这是学生第一次遇到乘法计算时个位向十位进后，十位还要向百位进的连续进位问题。可以先鼓励学生估一估36×4大约一共多少，然后放手让学生自己根据已有经验列竖式计算。因为，学生在前一节课已经学习了两位数乘一位数不连续进位的乘法，理解了乘法进位的算理，也已经初步掌握了“估算—笔算—印证”的新计算策略。所以学习两位数乘一位数连续进位的乘法时，学生有能力通过迁移旧知自学探究新知。这里渗透的便是化归思想。

2．归纳的思想方法

“归纳”就是由个别的特殊的事例，推出一类事物的一般性结论的思想方法，它的基础是观察和实践。它可以分为完全归纳法和不完全归纳法，不完全归纳法又包括枚举归纳法和因果归纳法。在小学数学教学中培养学生的归纳能力时，需要注意以下几点：

（1）知识的获得：体现过程。引导学生经历分析，综合，比较，抽象，概括等思维的逻辑加工过程。 （2）知识的归纳：借助形象。引导学生经历由形象到抽象，由模糊到清晰的思维飞跃过程。

（3）例子的呈现：需要全面。在进行完全归纳时，所举例子应该典型全面，以保证归纳结论的可信度与说服力。

（4）最后的归纳：先行比较。

【案例】三年级下册的《年 月 日》。通过观察一些年历表的特征，发现归纳出一年中12个月的规律：一年有12个月，1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月有31天是大月；4月、6月、9月、11月有30天是小月；有些年份的2月有29天，既不是大月，也不是小月。这里渗透的就是不完全归纳思想。

3．类比的思想方法

“类比”就是根据两个或两类对象的相同或相似方面来推断它们在其他方面也相同或相似的一种思想方法，是一种从特殊到特殊的思想方法，又叫类比推理。在数学解题中，通过类比能发现新的命题，所得的结论虽然都具有或然性，但却为进一步

探究指出了目标，提供了线索，沟通了联系，使思维有了方向，有利于我们对问题的最后解决，因此类比也是数学发现的重要的和最基本的方法之一．在小学数学教学中，可以主要选择在以下四方面渗透类比思想：在结构特征上进行类比；在数量关系上进行类；在算理思路上进行类比；在思想内容上进行类比。

【案例】四年级下册的《约数和倍数》。有一位老师是这样进入新课的——

师：你们能够学着老师来说话吗？我是你们的老师。 生：我们是你的学生。

师：刚才我们描述的是什么关系？ 生：相互关系。

师：我是我妈妈的女儿。 生：你是你妈妈的女儿。 „„

以上围绕生活素材展开的铺垫谈话，与新课中即将接触到的约数与倍数关系就是在思想内容上进行了类比。 4．单位的思想方法

小学数学中，不管是数还是量的计算都得益于单位思想。计数，计量的教学中，首要问题是合理引入计数，计量单位。在教学过程中要结合计数，计量单位的教学，适当地展示它的简单过程和运用的思想方法，这对学生深刻理解知识发挥着重要的作用。

【案例】四年级下册的《升和毫升》。教师提出问题：“你知道这个冷水壶的容量是多少吗？”通过实际操作发现，用比较小的水杯去测量大约有这样的5杯水那么多；用比较大的水杯去测量大约有这样的4杯水那么多。由此让学生深刻体会到：测量或计算容量的多少也需要有统一的单位，任何量的量化都必须有一个标准，而且标准要统一。这样，自然地渗透了单位思想。

5．符号化的思想方法

英国著名哲学家、数学家罗素说过：数学就是符号加逻辑。数学符号在教学中占有相当重要的位置，它以其浓缩的形式表达大量的信息。符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。运用一套合适的符号，可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和逻辑，避免日常语言的繁复、冗长或含混不清。

【案例】二年级上册的《认识乘法》。例题出示：“电脑教室里，一张电脑桌放2台电脑，9张电脑桌一共放多少台电脑？”的问题。在学生写完算式以后，教师有意提问：“你们刚才在写算式的时候，怎么一边写算式一边在数数？”学生回答：“算式太长了，不数就不知道写了几个2了。”教师相机引导：“写9个2相加的算式都这样麻烦，那如果电脑教室里面有20张，30张电脑桌，写20个2，30个2相加的算式不是更麻烦吗？看来，我们有必要创造出一种新写法，把9个2相加写得简便一些。”在学生展开充分的再创造活动“发明”了很多符号以后，教师再正式介绍乘号，引入乘法等内容。在上面的再创造活动中，学生经历了这样一个对乘法符号的抽象过程，他们得到的不再是简简单单的一个符号，而是经历了一个比较深刻的由模糊到清晰的符号化过程。同时，在这样的过程中，学生领悟了知识的本质，也唤醒了他们内心深处研究者和创造者的角色意识。

6．数形结合的思想方法

数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．由此，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。

【案例】三年级下册的《小数的意义和读写》。我设计了猜数游戏——

（1）这是一块象小乌龟一样的卡通橡皮，它的价格比1元少，猜猜看可能是多少元呢？

（2）这是一只漂亮的小水壶，它的价格比1元多比2元少，猜猜看可能是多少元？把你猜的价格用彩笔写在白纸上，然后在小组里交流一下。

（3）相信你现在一定能填出这条数轴上的小数了吧。0的右面第1个点用哪个小数表示？第2个点呢？下面呢？

（4）仔细观察数轴上的数，你能发现什么呢？

通过数轴与小数的一一对应联系，使学生对小数的意义建立更加深刻地直观认识，同时潜移默化地渗透了数形结合思想。

数学思想方法在小学阶段只需要“渗透”，无须进一步“介绍”并“强调突出”。小学阶段需要渗透的数学思想方法很多，限于篇幅与能力，以上主要谈了如何在小学数学教学中渗透六种常见的数学思想方法的策略。

三．运用过程中，不断深化数学思想方法

传统的练习教学习惯于就题论题，练习的过程仅仅是巩固基础知识与基本技能的过程，经过练习学生的数学思维水平往往依然停留于原地。运用知识解决问题的练习过程，可以看成是数学思想方法反复运用的过程，在这样的反复运用过程中，学生的数学思想方法才有可能得到巩固与深化。

【案例】在读懂教材，发现教材中的“等积变形”思想方法以后，有一位老师是这样引导学生逐步深化“等积变形”思想方法的——

1．等积（和）思想

4+5=2+（ ） 18×1=（ ）×6 13+98=（ ）+52 （ ）×63=21×150 2．单位换算中的等量变形

1．5吨=（ ）千克 3580000毫升=（ ）升 2日=（ ）时 2800米=（ ）千米 3．物理学中的“能量守恒定律”

4．哲学中的“万变不离其宗”，“有得必有失”

如果“等积变形”仅仅描述几何形体的数量关系，这样的认识还是比较狭窄的，由几何现象中的“等积变形”推广到计数与计量中，进一步引申到物理学与哲学范畴中。至此，学生对“等积变形”这种数学关系的认识便上升到一种思维模式，真正形成数学思想方法。

四．小结过程中，适当提炼数学思想方法

课堂小结时，引导学生回顾“今天这节课上，我们学习了什么新知识”等类似的对知识进行系统整理的问题，是我们课堂小结的常用途径，但如果小结仅仅是停留在这样的问题归结上，忽视思想方法的提炼，将使数学教学停留于较低的思维层次上。

【案例】学会两位数乘一位数连续进位的乘法时，不妨多问一句：“我们怎样学会用两位数乘一位数连续进位的乘法”，这样的总结既关注了知识与技能，又关注了数学思想方法等方面，逐渐引导学生自觉养成学习后反思“学了什么”、“怎么学”的意识习惯。

问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立，数学规律的发现，还是数学问题的解决，核心问题在于数学思想方法的培养和建立。在小学数学中，数学思想方法的渗透有助于提高学生的学习效率，有助于构建学生的认知结构，有助于开发学生的大脑潜能，有助于培养学生的审美情趣，有助于发展学生的数学素养，乃至有助于学生一生的成长。

英国著名哲学家、数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。面对一个普通的数学公式S=πr2，任何具有小学文化程度的人都知道它表示圆的面积，数学的符号化语言能够不分地域到处通用，符号就是数学存在的具体化身。

一、符号化思想的形成与作用

符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。一种符号得到普遍采用往往要经历漫长岁月的不断改良和筛选。运用一套合适的符号，可以清晰、准确、简洁地表达数学思想、概念、方法和逻辑，避免日常语言的繁复、冗长或含混不清。

数学的符号语言是随着数学发展的需要而逐步形成的。16世纪以前，代数的书写基本上是文章式的，古希腊学者丢番图（约246～330）曾经用字母表示未知数和一些运算，成为符号代数的先驱。法国数学家韦达（1540～1603）有意识地系统地用字母表示数及其运算，使代数形成国际通用的符号体系。笛卡尔（1596～1650）对韦达使用的字母作了改进，他用字母表中前面的字母a，b，c，…表示已知数，用后面的字母x，y，z表示未知数。莱布尼茨（1646－1716）对各种符号进行了长期的研究，他在创立微积分时创造的许多符号一直沿用至今。

17、18两个世纪，符号化思想逐步形成结构和谐的系统，这个系统由三个层次构成：（1）基本符号即表示单个数学概念的符号，如表示已知量和未知量的符号a，x，表示图形的符号△、⊙、 等，它们是构成数学语言的“词汇”。（2）组合符号。若干基本符号的组合就构成组合符号，它们表示复杂的数学概念，形成数学语言的“词组”，如“3×2”“n！”“sinx”等。（3）公式符号，如果组合符号再与“＞”“＝”“≠”等表示对象间关系的基本符号按照一定的规则相联接，就构成公式符号，如“3

判断或一个命题。这样，由基本符号合成组合符号，进而联接成公式符号，构成数学中的判断与推理，数学的表述就实现了符号化。

符号化思想对数学的发展起着重要的推动作用。系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。比如，在《九章算术》里，古代数学家对数学题是一题一题地处理，思维停留在算术水平上。符号化思想形成后，算术思维上升为代数思维，就可以将上述问题转化为方程的研究，按照未知量的个数或次数的不同进行分类处理。又如，对于简单的代数式“（10＋x）2＝100＋20x＋x2”，若用古代文字表达则叙述得冗长繁杂。简洁、准确的符号化思想避免了日常语言的含糊性与歧义性，使数学思维能清晰、准确地进行。

美国数学史家D·J·斯特洛伊克说过：合适的符号带着自己的生命出现，并且它又创造出新生命来。数学家不仅借助原有符号规定新符号，而且在其它自然科学、社会科学、思维科学中，数学符号都得到了广泛的应用。

二、符号化思想在小学数学中的渗透 1.正确理解与使用数学符号

小学教科书中大致出现如下几类符号：（1）个体符号：表示数的符号，如1，2，3，…，0；a，b，…，x，π以及表示小数、分数、百分数的符号。（2）数的运算符号：＋，－，×（·），÷（：，/）。（3）关系符号：=，≈，＞，＜，≠等。（4）结合符号：（ ），[ ]，｛ ｝等以及表示角度“°”的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。

由于数学符号的抽象性和小学生思维习惯的具体性之间存在着矛盾，又由于符号常常是概念的代表，所以在使用符号时，既要注意符号与相应概念的联系，又要理解概念与实际对象的联系。比如“2”是一类非空有限等价集合的标志，事实上，每个自然数都表示一类非空有限等价集合的共同性质。 2.掌握日常语言与符号语言间的转化

数学教学实质上是数学语言的教学。在教学活动中，要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转化，即能将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。反之，也能将符号语言转化为问题，看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。因此，教师不能只把数学符号当作“一种规定的记号”简单地

教给学生，还应当把符号化思维渗透于教学的始终，以培养学生抽象思维的能力。比如，对于应用题教学，要引导学生作如下转化： 3.在填数中渗透变元思想

小学数学教科书在不同阶段，对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透，以便让学生逐步了解变元思想。如在不等式中用□或（ ）代替变元符号x，让学生填数。如6－□＞4，12＞5+□，7×（ ）＜40，8＜14-□。 虽然这样的题目只要求学生在“空格”中填一个数，但教师应明白，若将符号□换成x，则上述题目就是一元一次不等式。因此，教师可引导学生进一步思考。对于12＞5+□，空格内最多填几个数（非负整数）？其中最大的是几？这种思考能使学生初步了解变元思想。 4.在用字母表示数中渗透符号化思想

用字母表示数，可以简明地表达数量关系的一般规律。用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律。比如在陈述加法交换律时，除运用日常语言外，还用了数学符号语言，即字母等式“a＋b＝b＋a”。显然，它比用具体的数表示更加概括、明确，比用日常语言表示更加简明、易记。

又如，关于求积公式，第五册中长方形面积公式还用语言叙述：长方形面积=长×宽，但第八册中的平行四边形面积公式改用字母来表示：S＝ah。

通过以上各阶段的逐步过渡，学生将逐步领会用字母表示数的优越性，符号化思想也逐渐地初步形成。 1、符号化思想。

英国著名哲学家、数学家罗素说过：什么是数学？数学就是符号加逻辑。小学教材中大致出现如下几类符号：（1）个体符号：表示数的符号，如：1、2、3、4…，0；a,b,c,…，π，χ以及表示小数、分数、百分数的符号。（2）数的运算符号：+，-，×（·），÷（/，:）。（3）关系符号：=，≈，>，<，≠等。（4）结合符号：（），〔 〕等以及表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。

由于数学符号的抽象性和小学生思维习惯的具体性之间存在着矛盾，又由于符号常常是概念的代表。所以教师在教学中渗透符号化思想就要注意：①让学生正确理解与使用数学符号。在实际的教学中，学生在使用这些数学符号时往往会出现如下的错误。例如：在教学低年级文字题“90比60 多几？”小学生由于对加法的意义的不理解，往往看“多”就用“+”，看“少”就用“-”。误列式为“90+60”。又例高年级文字题“一个数的6倍少24是180，求这个数是多少？”学生也往往看见“倍”用“×”，看“少”就用“-”，误列式为“（180-24）×6”。象这样的例子，教师在教学中注意让学生理解符号的内涵，正确理解使用符号所表示的概念。如果只从解法上予以纠正而不从符号化思想上予以渗透，将事倍功半，学生今后还会出现类似的错误。②掌握日常语言与符号语言间的转化。数学教学实际上是数学语言的教学。在教学活动中，要帮助学生初步学会简单的数学

符号语言和日常语言的转化，即将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。反之，也能将符号语言转化为问题，看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。例如： 小营村有棉田75公顷， 已知一个数的60%是 解：设全村耕地面积是

是全村耕地面积的60%，全分析 转化 75，求这个数是多少？ χ公顷。 村耕地面积是多少公

顷？ χ×60%=75

日常语言 数学语言 符号语言

因此，教师在教学当中要引导学生用数学语言描述生活语言，而不要机械的把数学符号灌输给学生，从而培养学生抽象思维能力。③在填数中渗透变元思想。小学数学教科书在不同阶段，对变元思想有不同水平、不同形式的渗透，以便让学生逐步了解变元思想。例如：3.□7>3.27，45.16<45.1□，学生在方框里填上一个数很容易，但教师要明白，若将方框里填上χ就变成一元一次不等式。因此，教师应引导学生继续思考：方框内最多可以填几个数？这种思考能是学生初步了解变元思想。④在字母表示数中渗透符号化思想。在小学教材中，用字母表示数有表示运算定律，表示数量关系，面积体积公式等。例如：加法交换律a+b=b+a,路程=速度×时间用字母表示s=vt，等。教师在教学用字母表示数时要循序渐进，从学生的生活中、原有的认知结构结合起来自然的建构。